Определители

§4. Определители

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

                                          .

Найдем x₁ следующим образом: чтобы исключить x₂, умножим первое уравнение на a₂₂ и из полученного уравнения вычтем второе, умноженное на a₁₂:

                               .                                 (1)

Обозначим D = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁, D₁ = b₁a₂₂ – b₂a₁₂.

Для определения x₂ поступим так: умножим второе уравнение на a₁₁ и из полученного уравнения вычтем первое, умноженное на a₂₁:

                                 (a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁)x_{2 =} a₁₁b₂ – a₂₁b₁.                                  (2)

Обозначим D₂ = a₁₁b₂ – a₂₁b₁.

Рекомендуемые материалы

Из (1) и (2) видно, что если D ¹ 0, то система имеет единственное решение[1], определяемое формулой

                                           .                                            (3)

Величина D называется определителем матрицы второго порядка

.

Вообще определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначается  и равно произ­

ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Например,

                                      .

Из сказанного следует, что величины D₁ и D₂ в (3) тоже являются определителями:

                                    .

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

                                    .                                      (4)

Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка  называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: , берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: , берутся со знаком "-". Определитель третьего порядка обозначается так:

.

Например,

Решая систему (4), например методом Гаусса, можно получить равенства

                                  D×x₁ = D₁; D×x₂ = D₂; D×x₃ = D₃,                                   (5)

где

                           .

Из формул (5) видно, что если D ¹ 0, то единственным образом определяется решение системы:

                                             .

Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5).

Дадим определение определителя

квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.)

Сформулируем понятие n! (читается эн факториал): если n – натуральное (целое положительное) число, то n! – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

                                        n! = 1×2×3×¼×(n –1) n.

Например,

                                         5! = 1×2×3×4×5 = 120.

Замечание: в некоторых книгах вместо термина "определитель" используется термин "детерминант" и определитель матрицы A обозначается detA.

Определителем n-го порядка называется сумма n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя[2] . (Произведения отличаются одно от другого набором элементов.) Перед каждым произведением ставится

знак "+" или "-". Покажем, как  определить, какой нужно ставить знак перед

произведением.

Так как в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то произведение в общем виде можно записать так:

                                             a_1i×a_2j×a_3k×¼×a_ns.

Здесь  i, j, k, ¼, s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й, ... n-й строк, соответственно. Ясно из сказанного выше, что каждое из чисел i, j, k, ¼, s равно какому-либо из чисел 1, 2, ..., n, и что все числа i, j, k, ¼, s – различные.

Расположенные в данном порядке

                                                 i, j, k, ¼, s,

эти числа образуют "перестановку" из чисел 1, 2, ..., n (перестановкой называется заданный порядок в конечном множестве).

Взаимное расположение двух чисел в перестановке, когда большее стоит впереди меньшего называется инверсией. Например, в перестановке  три инверсии; в перестановке  – шесть инверсий.

Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если число инверсий нечетное.

Теперь можно сформулировать правило: произведение a_1i×a_2j×a_3k×¼×a_ns берется со знаком "+", если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "-", если нечетную.

Из определения определителя можно вывести следующие его свойства.

1. Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на .

2. Определитель, имеющий две равных строки (два равных столбца), равен нулю.

3. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число.

4. Определитель транспонированной[3] матрицы равен определителю исходной матрицы.

5. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному.

До сих пор было показано, как вычислять определитель второго и третьего порядков. Чтобы вычислить определитель более высоких порядков, пользуются формулой Лапласа разложения определителя по строке или столбцу:

              detA = a_i1(–1)ⁱ⁺¹M _i1 + a_i2(–1)ⁱ⁺²M _i2 +¼+ a_in(–1)ⁱ⁺ⁿM _in =

                                ₌ a_1j (–1) ^1+jM _1j + a_2j(–1)^2+jM _2j +¼+ a_nj(–1) ^n+jM _nj

Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. M_ij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение
(–1)^i+jM_ij обозначается A_ij и называется алгебраическим дополнением элемента a_ij.

Пусть D – определитель четвертого порядка: . Представим его разложение по второй строке:

,

и по второму столбцу:

.

Аналогичным образом можно вычислить D, разлагая его по первой, третьей, четвертой строке или по первому, второму или четвертому столбцу.

Вычисление определителя четвертого порядка сводится в худшем случае (если среди элементов нет нулей) к вычислению четырех определителей третьего порядка.

Аналогичным образом вычисление определителя 5-го порядка сводится к вычислению 5-ти определителей 4-го порядка и т.д.

Для того, чтобы получить представление о том, что такое определитель n-го порядка, не прибегая к определению на предыдущей странице, можно поступить так: выучить, как вычисляются определители 2-го и 3-го порядков и как по методу Лапласа сводить вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителя n – 1-го порядка. Тогда становится понятным, как вычислять определитель 4-го порядка, затем 5-го порядка и т. д.

Из сказанного следует, что вычисление определителя 5-го порядка можно в общем случае свести к вычислению 20-ти(!) определителей 3-го порядка, что очень затрудняет задачу.

Вычисление определителя упрощается, если воспользоваться свойством 5. Пусть D – определитель четвертого порядка:

.

Этот определитель разложим по третьей строке, так как там есть нуль и, что особенно важно, –1. Задача заключается в таком преобразовании определителя D, чтобы получить нули на месте a₃₁ и a₃₃. К первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –2, а к третьему столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3. Второй столбец, с помощью которого проводились преобразования, остается без изменений.

Таким образом вычисление определителя 4-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 3-го порядка:

.

Пусть теперь D — определитель 5-го порядка:

.

Предположим, что мы решили разложить его по первому столбцу. Можно поступить следующим образом. Оставим первую строку без изменений. Вторую строку умножим на 3 и прибавим к ней первую, умноженную на –2. При этом обязательно за знак определителя выносится множитель  (см. свойство 3). Вместо третьей строки пишем сумму третьей и умноженной на  первой. Четвертую строку умножаем на 3 и прибавляем первую, умноженную на –4, опять вынося множитель  за знак определителя. Пятую строку умножаем на 3, прибавляем к ней первую, умноженную на –5 и опять выносим  за знак определителя. Теперь получим

.

Теперь вычисление определителя 5-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 4-го порядка.

Рекомендация для Вас - 18 Причины принятия христианства.

Таким образом, пользуясь свойствами определителя и методом Лапласа, можно вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению лишь одного определителя порядка n – 1.

[1] Если говорить строго, то из (1) и (2) следует, что если решение существует, то оно единственным образом выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Чтобы доказать существование, надо подставить две формулы (3) в систему и убедиться в том, что оба уравнения обращаются в верные равенства.

[2] Попробуйте доказать сами, что таких произведений, отличающихся одно от другого набором элементов существует ровно n!

[3] i-я строка исходной матрицы A, имеющей m строк, является i-м столбцом транспонированной матрицы . Например,

.

Операцию транспонирования матрицы можно назвать поворотом на 180^° вокруг главной диагонали.