Принцип аргумента
Принцип аргумента.
Теорема. Логарифмический вычет функции относительно контура С равен приращению аргумента при обходе контура С, деленному на , равно разности между числом нулей М и числом полюсов N функции в облости D, ограниченной контуром С:
Док-во:
1)
2) Внутри С будет иметь конечное число нулей, т.к. она аналитическая в замкнутой области. В силу Утв1 и Утв2 :
3)
Рекомендуемые материалы
Теорема Руше.
ЕСЛИ G – односвязная область, С – замкнутый контур, ограничивающий G,
и аналитические в G и на С, на С, на С, - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции , - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции +, ТО .
Док-во:
1)
2)
3)
Вектор из начала координат в точку, при такой конфигурации образа С, ни одного оборота не совершит. .
4)
Пример. Найти количество нулей, которые имеет функция в круге .
,
при :
имеет нуль кратности 5 w имеет 5 нулей.
Утв. Если , то имеет n корней.
Док-во:
С:
имеет нуль кратности n, т.о. имеет n нулей.
Теорема. Если , аналитическая в G , то - аналитическая.
Док-во:
Рекомендуем посмотреть лекцию "18 Россия при правлении Александра II (1855-1881)".
1)
1) аналогично доказываем
2) Из пунктов 1) и 2) следует, что для F выполнены условия Коши-Римана, следовательно F аналитическая.