Популярные услуги

Определенные интегралы (всех вариантов)
Любая задача по линалу
Любая задача по математическому анализу и по интегралам и дифференциальным уравнениям
Контрольная работа по рядам (КМ-3) ИДДО 2022
КМ-3 Важнейшие аспекты теории графов - любой вариант за 3 суток!
Сдам любой тест по дискретке в течение суток на положительную оценку!
Предельные теоремы и математическая статистика
НОМОТЕХ
Любая задача по Линейной алгебре и аналитической геометрии
Теория функций комплексного переменного

Приложения тройного интеграла

2021-03-09СтудИзба

Лекция 4. Приложения тройного интеграла.

Замена переменных в тройном интеграле.

Теорема. Пусть с помощью непрерывных функций x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z =z(u, v, w) имеющих непрерывные частные производные установлено взаимно однозначное соответствие пространственно односвязных ограниченных, замкнутых областей Dxyz, Duvw  с кусочно-гладкой границей. Тогда

   , где  - якобиан (определитель Якоби).

Теорема приведена без доказательства.

Цилиндрическая система координат.

Рекомендуемые материалы


Вводятся  цилиндрические координаты r, j, h.

x = r cosj, y = r sinj, z = h.  Вычислим якобиан

Пример Вычислить объем пространственного тела, заключенного между цилиндрической поверхностью  и эллиптическим параболоидом ..

Сферическая система координат.

Сферические координаты j, r, q.

x = r sinq cosj

y= r sinq sinj

z = r cosq.

Вычислим якобиан

Пример. Найти массу части шара (с центром в начале координат, радиусом R), находящейся в первом октанте, если плотность вещества шара  в каждой точке шара пропорциональна расстоянию этой точки от оси OZ.

Приложения тройного интеграла.

Геометрическое приложение вычисление объема любого пространственного тела.

По свойству 3 тройного интеграла , где  – объем области V.

С помощью двойного интеграла тоже можно вычислять объем, но только цилиндрического тела, а не произвольного.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 25 Падение западной Римской Империи.

Пример. Вычислить объем пространственного тела, ограниченного эллиптическим параболоидом  и шаром ( единичного радиуса с центром в точке (0, 0, 1))

.

Механические приложениявычисление массы пространственного тела, статических моментов, центра тяжести, моментов инерции  по формулам, которые выводятся аналогично соответствующим формулам для плоского тела с двойным интегралом ( - плотность вещества тела в каждой точке).

, , . Формулы для моментов инерции запишите сами (например, )

Пример. Определить координаты центра тяжести полушара ,  По симметрии  .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
441
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее