Приложения тройного интеграла
Лекция 4. Приложения тройного интеграла.
Замена переменных в тройном интеграле.
Теорема. Пусть с помощью непрерывных функций x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z =z(u, v, w) имеющих непрерывные частные производные установлено взаимно однозначное соответствие пространственно односвязных ограниченных, замкнутых областей Dxyz, Duvw с кусочно-гладкой границей. Тогда
, где - якобиан (определитель Якоби).
Теорема приведена без доказательства.
Цилиндрическая система координат.
Рекомендуемые материалы
| Вводятся цилиндрические координаты r, j, h. x = r cosj, y = r sinj, z = h. Вычислим якобиан |
Пример Вычислить объем пространственного тела, заключенного между цилиндрической поверхностью и эллиптическим параболоидом ..
Сферическая система координат.
Сферические координаты j, r, q. x = r sinq cosj y= r sinq sinj z = r cosq. Вычислим якобиан |
Пример. Найти массу части шара (с центром в начале координат, радиусом R), находящейся в первом октанте, если плотность вещества шара в каждой точке шара пропорциональна расстоянию этой точки от оси OZ.
Приложения тройного интеграла.
Геометрическое приложение – вычисление объема любого пространственного тела.
По свойству 3 тройного интеграла , где – объем области V.
С помощью двойного интеграла тоже можно вычислять объем, но только цилиндрического тела, а не произвольного.
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 25 Падение западной Римской Империи.
Пример. Вычислить объем пространственного тела, ограниченного эллиптическим параболоидом и шаром ( единичного радиуса с центром в точке (0, 0, 1))
.
Механические приложения – вычисление массы пространственного тела, статических моментов, центра тяжести, моментов инерции по формулам, которые выводятся аналогично соответствующим формулам для плоского тела с двойным интегралом ( - плотность вещества тела в каждой точке).
, , . Формулы для моментов инерции запишите сами (например, )
Пример. Определить координаты центра тяжести полушара , По симметрии . ,