Числовые ряды и их свойства
Часть 2. Числовые и функциональные ряды
Лекция 10. Числовые ряды и их свойства.
Числовой ряд 
– это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда 
.
Примеры
1. 1+
- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 
. Ее сумма равна 
,
2. 1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.
3. 1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).
Рекомендуемые материалы
При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно 
1+
, 
=1+
1+
- суммы n членов ряда – частичные суммы ряда 
.
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда – он называется суммой ряда 
.
Ряд называется расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то 
.
Доказательство. 
. Пусть ряд сходится, тогда 
.
Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.
Достаточный признак расходимости. Если 
, то ряд расходится.
Доказательство (от противного). Пусть ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда Противоречие с .
Пример. Ряд 
расходится, так как 
Пример Ряд 
расходится, так как 
.
Критерий Коши сходимости ряда.
(Это – критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда).
Для того чтобы ряд сходился (последовательность частичных сумм имела конечный предел), необходимо и достаточно, чтобы 
Критерий Коши расходимости ряда. (отрицание критерия Коши)
Для того чтобы ряд расходился необходимо и достаточно, чтобы 
Пример. Рассмотрим гармонический ряд 
, если выбрать 
. Удалось для 
выбрать , чтобы 
. Следовательно, гармонический ряд расходится.
Свойства сходящихся рядов.
1. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.
Доказательство. Для второго ряда частичная сумма будет равна 
. По теореме о предельном переходе в равенстве 
.
2. Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.
Сгруппируем члены ряда, например, так
. Видно, что частичные суммы группированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательности частичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то и подпоследовательность сходится к тому же пределу.
3. В сходящемся ряде можно отбросить конечное число первых членов 
. Полученный ряд будет сходиться, а его сумма будет меньше суммы исходного ряда на B.
Запишем частичные суммы второго ряда 
. По теореме о предельном переходе в равенстве 
.
Замечание. Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых k членов, называется остатком ряда и обозначается 
4. Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда. (Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3).
Поэтому сходимость ряда можно исследовать, «начиная с некоторого n».
5. Сходящиеся ряды можно складывать (или вычитать), получая сходящийся ряд с суммой, равной сумме (или разности) сумм исходных рядов.
Информация в лекции "5 - Систематический каталог" поможет Вам.
Рассмотрим два сходящихся ряда и 
. Рассмотрим ряд 
, где 
. 
. Переходя к пределу в равенстве, получим 
.
Примеры.
1. Ряд –5+7-8+100+1+0,5+0,25+0,125+… сходится. В самом деле, отбросив первых четыре члена ряда (свойства 3,4), получим сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
2. Ряд 
расходится. Он представляет собой сумму двух рядов: сходящейся геометрической прогрессии (нечетные члены) и гармонического ряда (четные члены). Если бы этот ряд сходился, то, вычитая из него почленно сходящийся ряд 
, мы должны были бы по свойству 5 получить сходящийся ряд. А получаем расходящийся гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд расходится.
3. Ряд 
сходится. Рассмотрим сходящийся ряд 
. Группируем его члены
, получаем исходный ряд. Следовательно, он сходится (свойство 2), и его сумма равна 1.
