Ряд Тейлора
Лекция 15. Ряд Тейлора.
Ряд Тейлора.
Рядом Тейлора называется степенной ряд вида 
(предполагается, что функция 
является бесконечно дифференцируемой).
Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при 
, то есть ряд 
.
Теорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.
Доказательство. Пусть 
и степенной ряд сходится в интервале 
. Подставим в разложение 
, получим
.
Так как степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же интервале, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Его вновь можно дифференцировать почленно и т.д. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием. 
=
, 
, 
, 
,
Рекомендуемые материалы
, 
, 
,
Продолжая этот процесс, получим 
. Это – коэффициенты ряда Тейлора. Поэтому степенной ряд есть ряд Тейлора.
Следствие. Разложение функции в степенной ряд единственно.
Доказательство. По предыдущей теореме коэффициенты разложения функции в степенной ряд определяются однозначно, поэтому разложение функции в степенной ряд единственно.
Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.
Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя коэффициенты разложения по формуле , где .
, 
(интегрируя предыдущую формулу)
, 
.
Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли это разложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.
Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой он построен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при 
.
Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестра
Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора .
.
Если ряд Тейлора сходится к 
, то 
. Но по формуле Тейлора 
. Следовательно, 
.
Достаточность. Если , то , а 
- частичная сумма ряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции .
Теорема. Пусть все производные функции ограничены в совокупности одной константой. 
Тогда ряд Тейлора сходится к функции .
Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлора
, так как показательная функция растет медленнее, чем n!. Поэтому (по предыдущей теореме) ряд Тейлора сходится к функции .
В качестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены в совокупности единицей на всей оси.
В разложении функции ex на отрезке [a, b] все производные функции ограничены константой eb, поэтому ряд для функции ex сходится к ней на любом конечном отрезке.
Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент, следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.
Рассмотрим разложение в ряд функции 
. Предположим, что ряд сходится к функции 
. Можно, дифференцируя ряд почленно, установить справедливость соотношения 
(выведите его в качестве упражнения). Решая это дифференциальное уравнение, получим 
.
Применение степенных рядов.
1. Вычисление значений функций
Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью 
.
По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.
. Из этого неравенства найдем n, n=2. 
.
Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантный ряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по сумме прогрессии.
2. Вычисление интегралов.
Пример. Вычислить 
3. Решение дифференциальных уравнений.
Пример. 
1 способ. Представим 
в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами до 
(n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую и правую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается система алгебраических уравнений и определяются коэффициенты.
.
Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому в разложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциального уравнения.
Разложение проводится по степеням (x - x0), если начальные условия заданы в точке x0.
В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальное условие задано в нуле.
.
Подставляем разложения в правую и левую части уравнения 
.
= . 
.
Удерживаем в разложении члены четвертых степеней, в коэффициентах при x5 будут
Отсюда 
2 способ. Представим в виде ряда Тейлора.
Обратите внимание на лекцию "Часть 73".
