ГЛАВА 3. Переменные потоки платежей

Переменные ренты - потоки платежей, члены которых изменяются во времени. Обычно такие изменения связаны с какими-либо обстоятельствами производственного или коммерческого характера. Например, планируется, что в связи с изменением производственных мощностей периодические поставки продукции изменяются с какого-то момента времени.

Переменные потоки платежей:

1. нерегулярные потоки (определенного закона изменения нет);

2. регулярные ренты (с определенным законом развития)

3.1. Нерегулярные потоки платежей

Обобщающие характеристики потоков можно получить только с помощью прямого счета.

3.2. Регулярные потоки платежей

3.2.1. Потоки платежей с кусочно-постоянным законом изменения

Рисунок 14 – Переменный поток платежей с кусочно-постоянным законом изменения

Рекомендуемые материалы

3.2.2. Потоки платежей с постоянным абсолютным изменением членов потока

В основе изменения величины членов ренты - арифметическая прогрессия, т.е. R_t= R₁ + (t - 1)a, где a - постоянное абсолютное изменение члена ренты (рис.15).

Обобщающие характеристики - результат наложения геометрической прогрессии, связанной с наращением или дисконтированием, на арифметическую прогрессию.

Рисунок 15 – Переменный поток платежей с постоянным абсолютным изменением платежей

При выплате раз в год наращение будет рассчитываться следующим образом:

Для удобства записи введем обозначение (1 + i) = r

Раскроем скобки и преобразуем полученное выражение (20)

В первой скобке мы имеем сумму членов геометрической прогрессии, где a₁ = R, q = r = 1 + i. Следовательно, сумму этой прогрессии можно записать как

Выражение, заключенное во второй скобке, обозначим Q. Тогда

Умножим величину Q на r и найдем разность

Или

Подставив вместо r его значение (1 + i), получаем

В окончательном виде наращение определяется по формуле

Современную величину переменной ренты с постоянным абсолютным приростом можно найти, зная, что S = A (1 + i)ⁿ , откуда A = S (1 + i)^-n.

После всех преобразований находим

где     v = (1 + i)^-1 - дисконтный множитель по ставке i.

При выплате p раз в год ряд имеет вид:

Отдельный член этого ряда определяется как

где     t = 1 ... np - порядковый номер члена ренты.

где     t - номер члена ренты tÎ (1 ... np),

 t/p - период от начала ренты до момента производства платежа R_t

3.2.3. Потоки платежей с постоянным относительным изменением членов потока

В основе изменения величины членов ренты лежит геометрическая прогрессия, т.е. R_t = R₁g^t-1, где g = 1 + k - относительное изменение члена ренты (k - темп прироста).

Обобщающие характеристики являются результатом наложения геометрической прогрессии, связанной с наращением или дисконтированием, на геометрическую прогрессию ряда (рис.16).

При выплате раз в год ряд при расчете современной величины имеет вид

Первый член равен R₁v, где v - дисконтный множитель, знаменатель прогрессии q = gv.

Рисунок 16 –
Переменный поток платежей с постоянным относительным изменением платежей

Зная, что S = A (1 + i)ⁿ , получаем

При выплате p раз в год современная величина будет рассчитываться следующим образом

Знаменатель прогрессии q = gv^1/p, первый член - Rv^1/p, где v - дисконтный множитель по ставке i

3.3. Непрерывные переменные потоки платежей

Подобные виды потоков используются обычно при анализе инвестиционных процессов. Поток платежей описывается некоторой функцией R_t = f(t), общая сумма поступлений за срок n

В этом случае при начислении процентов используется процентная ставка в виде силы роста.

Для расчета обобщающих характеристик необходимо определить конкретный вид функции потока платежей и значения ее параметров.

3.3.1. Линейно изменяющийся непрерывный поток

Современная величина такого потока платежей представляет собой интеграл , определенный на интервале [0, n].

Интеграл суммы равен сумме интегралов, константы можно выносить за знак интеграла,

Поэтому,

где      - коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

3.3.2. Непрерывный поток с экспоненциальным ростом

где     q - непрерывный темп прироста платежей.