Методы оптимизации экономических моделей

Тема 4. Методы оптимизации экономических моделей

Вопрос 1. Понятие оптимизации модели.

Вопрос 2. Использование средства  Ехсе1 «Подбор параметра» и «Таблицы подстановки» для улучшения характеристик модели.

Вопрос 3. Оптимизация модели процедурой Поиск решения.

Вопрос 1. Понятие оптимизации модели.

С различными моделями и модельными представлениями люди встречаются постоянно. По существу, моделями являются карты дорог, фотографии, рисунки, различные описания, списки и многие другие знаковые представления информации.

Модели играют огромную роль в различных науках как средство для отражения структуры и свойств различных объектов. Выбор модельных представлений часто определяет успех научных исследований, поскольку от этого выбора зависит точность и достоверность получаемых выводов, прогнозов и рекомендаций.

Модель (в широком понимании) — образ (в том числе схема, чертеж, график, план, карта) или прообраз какого-либо объекта или системы объектов (оригинала данной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя». Так, например, моделью Земли служит глобус.

Рекомендуемые материалы

Модели по своей сути — чисто информационное понятие. Модели — это отражение наиболее существенных признаков, свойств и отношений явлений, объектов или процессов предметного мира. Например, фотографии и рисунки — это представления внешнего вида предметов, а чертежи и схемы раскрывают их структуру (внутреннюю организацию).

В то же время для одних и тех же явлений, процессов и объектов можно построить различные модели. Многообразие модельных представлений, связываемых с одними и теми же объектами, отражает различие точек зрения, интересов и потребностей людей в изучении этих объектов, а значит, в решении возникающих у них задач.

Различия между моделями определяются, с одной стороны, степенью их детальности, с другой — разницей выраженных в них внутренних связей отражаемых моделями процессов и явлений. Выбор степени детальности в подбираемых моделях зависит от целей исследования.

Модели можно классифицировать по ряду признаков. По способу построения (форме) модели можно разделить на:

а)       материальные модели, которые иначе можно назвать предметными. Они воспринимают геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение;

б)      информационные модели, которые нельзя потрогать или увидеть. Они строятся только на информации. Информационная модель — совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Базовый критерий целостности информационной модели — это адекватность модели оригиналу.

Исторически сложилось так, что первые работы по компьютерному моделированию, или, как говорили раньше, моделированию на ЭВМ, были связаны с физикой, где с помощью моделирования решался целый ряд задач гидравлики, фильтрации, теплопереноса и теплообмена, ме­ханики твердого тела и т. д. Моделирование, в основном, представляло собой решение сложных нелинейных задач математической физики с помощью итерационных схем, и по существу было оно моделированием математическим. Успехи математического моделирования в физике способствовали распространению его на задачи химии, электроэнергетики, биологии и некоторые другие дисциплины, причем схемы моделирования не слишком отличались друг от друга. Сложность решаемых на основе моделирования задач всегда ограничивалась лишь мощностью имеющихся ЭВМ.

В настоящее время под компьютерной моделью чаще всего понимают:

-        условный образ объекта или некоторой системы объектов (или процессов), описанный с помощью взаимосвязанных компьютерных таблиц, блоков-схем, диаграмм, графиков, рисунков, анимационных фрагментов, гипертекстов и т. д. и отображающий структуру и взаимосвязи между элементами объекта. Компьютерные модели такого вида мы будем называть структурно-функциональными;

-        отдельную программу, совокупность программ, программный комплекс, позволяющий с помощью последовательности вычислений и графического отображения их результатов воспроизводить (имитировать) процессы функционирования объекта, системы объектов при условии воздействия на объект различных, как правило, случайных факторов. Такие модели принято называть имитационными моделями.

Многие проблемы производства, проектирования, прогнозирования сводятся к широкому классу задач оптимизации, для решения которых применяются математические методы. Типовыми задачами такого плана являются, например, следующие:

· ассортимент продукции — максимизация выпуска товаров при ограничениях на сырье для производства этих товаров;

· штатное расписание — составление штатного расписания для достижения наилучших результатов при наименьших расходах;

· планирование перевозок— минимизация затрат на транспортировку товаров;

· составление смеси — достижение заданного качества смеси при наименьших расходах;

· прочие разнообразные задачи оптимального распределения ресурсов и оптимального проектирования и т.д.

При постановке задачи оптимизации определяют:

1) целевую функцию (критерий оптимизации) F = (x_j) → max (min, const), которая показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим. Возможны три вида целевой функции: максимизация, минимизация, назначение заданного значения.

2) ограничения  g_i (x_j) ≤ (=; ≥) b_i, которые устанавливают зависимости между переменными; могут быть односторонними и многосторонними.

3) граничные условия   d_j≤ x_j≤ D_j , которые показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

Решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым.

Важная xaрактеристика задачи оптимизации — ее размерность, которая определяется числом переменных п и числом ограничений т.

При п < т задачи решения не имеют. Необходимым требованием задач оптимизации является условие п > т.

Систему уравнений, для которых п = т рассматривают как задачу оптимизации, имеющую одно допустимое решение (ее можно решать как обычную задачу оптимизации, назначая в качестве целевой функции любую переменную).

Итак, задача имеет оптимальное решение, если она удовлетворяет двум требованиям:

· имеет более одного решения, т.е. существуют допустимые решения;

· имеется критерий, показывающий, в каком смысле принимае­мое решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим из допустимых.

В Ехсе1 для оптимизации могут быть применен ряд надстроек и средств, таких как «Поиск решения», «Таблицы подстановки», «Подбор параметра».

Вопрос 2. Использование средства  Ехсе1 «Подбор параметра» и «Таблицы подстановки» для улучшения характеристик модели.

«Таблицы подстановки» служат для решения задач, когда значение одной или двух исходных величин требуется изменить с целью определения наилучшего итога в случае использования их конкретных значений. Необходимым условием для выполнения подобных задач является ввод формулы, связывающей рассчитываемые параметры с исходными.

Формула в таблицах подстановки с одной исходной величиной должна находиться на одну строку выше и на один столбец правее первого значения изменяемой величины, при этом значения должны быть организованы в столбец ниже первого.

В задачах, включающих две исходные величины, формула и исходные величины, значение одной из которых организованы в столбец, а другой – в строку, должны образовывать прямоугольник (формула, таким образом, может занимать его левый верхний угол).

Средство Excel «Подбор параметра» используется в случае необходимости нахождения точки равновесия, т.е. оптимального параметра. Таким образом, например, может быть найдено количество  выпускаемых товаров, уравновешивающее затраты и прибыль предприятий по их выпуску и реализации.

Диалоговое окно «Подбор параметра» предлагает установить в ячейке, содержащей формулу разности между уравновешиваемыми параметрами, значение 0, изменяя значение ячейки, оказывающей непосредственное влияние на решение поставленной задачи. Задача будет решена, если каждый из параметров задать формулой, в которой будет ссылка на влияющую ячейку.

Для решения поставленной задачи графическим способом следует использовать «Мастер диаграмм», однако прежде следует произвести расчет, используя «Таблицу подстановки» с одной исходной величиной.

Вопрос 3. Оптимизация модели процедурой Поиск решения.

В MS Excel существует возможность с помощью надстройки Поиск решения найти решение, оптимальное в некотором смысле при нескольких входных значениях и наборе ограничений на решение.

Диспетчер сценариев способен запомнить несколько ре­шений, найденных данным средством и сгенерировать на этой основе отчет.

С помощью надстройки Поиск решения можно решать как линейные задачи (задачи линейного, целочисленного и стохастического программирования), так и нелинейные (задачи нелинейного программирования).

Работа по решению некоторой оптимизационной задачи всегда
начинается с построения математической модели, для чего необходимо ответить на следующие вопросы:                                              

- каковы переменные модели (для определения каких величин строится модель)?

- в чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?

- каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?

Стоит также учесть, что при конструировании модели формулировка ограничений является самой ответственной частью конструкции. В некоторых случаях ограничения очевидны, например ограничение на количество сырья. Другие же ограничения могут быть менее очевидны и могут быть указаны неверно.

Например:

- в модели с несколькими периодами времени величина материального ресурса на начало следующего периода должна равняться  величине этого  ресурса на конец  предыдущего  периода;

- в модели поставок величина запаса на начало периода плюс количество полученного должна равняться величине запаса на конец периода плюс количество отправленного;

- многие величины в модели по своему физическому смыслу не могут быть отрицательными, например, количество полученных единиц товара.

Таким образом, на данном этапе делаются выводы об исходных данных (детерминированные или случайные), искомых переменных (непрерывные или дискретные), о пределах, в которых могут находиться значения искомых величин, о зависимостях между переменными (линейные или нелинейные), о критериях, по кото­рым необходимо находить оптимальное решение.

Сюда же входит преодоление несовместности, а также неограниченности целевой функции: при максимизации целевой функции область допустимых решений должна быть ограничена сверху, при минимизации — ограничена снизу.

Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения прежде всего следует подготовить рабочий лист MS Excel, корректно разместить на нем все исходные данные, грамотно ввести необходимые формулы для целевой функции и для других зависимостей, выбрать место для значений переменных. Правильно ввести все ограничения, переменные, целевую функцию и другие значения в окно Поиск решения.

Поскольку большую часть задач оптимизации представляют собой задачи линейного программирования, т.е. такие, у которых критерий оптимизации и ограничения — линейные функции, в окне Параметры поиска решения следует установить флажок Линейная модель. Это обеспечит применение симплекс-метода. В противном случае даже для решения линейной задачи будут использоваться более общие (т.е. более медленные) методы.

Решая задачи с нелинейными зависимостями, следует:

- ввести предварительно предположительные значения искомых переменных (иногда легко получить графическое представление решения и сделать приблизительные выводы о решении);

- в окне Параметры поиска решения снять (если установлен) флажок Линейная модель.

Решая задачи целочисленного программирования, не следует забывать также о требованиях целочисленности.

Приведем описание диалоговых окон надстройки Поиск решения.

Опции настройки диалогового окна Поиск решения.

При нажатии кнопки Параметры в окне Поиск решения открывается окно Параметры поиска решения.

Опции настройки диалогового окна Параметры поиска

Ещё посмотрите лекцию "3 Гипестезия" по этой теме.

При необходимости может быть проведен анализ решения задачи оптимизации: добавляют представление решения в виде графиков или диаграмм, а также можно получить и отчет о поиске решения.

Отчеты бывают трех типов: Результаты, Устойчивость, Пределы.

Тип отчета выбирается по окончании поиска решения в окне Результаты поиска решения в списке Тип отчета (можно выбрать сразу два или три типа).

- Отчет типа Результаты содержит окончательные значения параметров задачи целевой функции и ограничений.

- Отчет типа Устойчивость показывает результаты малых изменений параметров поиска решения.

- Отчет типа Пределы показывает изменения решения при поочередной максимизации и минимизации каждой переменной при неизменных других переменных.