Статистическая сводка и группировка

ТЕМА 3.        Статистическая сводка и группировка

3.1. Понятие сводки и группировки, их виды

· Процесс упорядочения, систематизации и обобщения данных статистического наблюдения называется СТАТИСТИЧЕСКОЙ СВОДКОЙ.

Сводка включает комплекс операций: 1) группировка единиц наблюдения; 2) разработка системы статистических показателей для характеристики групп и объекта в целом; 3) подсчёт итогов по каждой выделенной группе и по всему объекту; 4) представление результатов группировки и сводки в виде статистических таблиц.

Отдельные единицы статистической совокупности объединяются в группы при помощи метода группировки.

· ГРУППИРОВКОЙ называется расчленение множества единиц изучаемой совокупности на группы (подсистемы, классы, подгруппы) по определённым существенным для них признакам.

· Признак, по которому производится разбивка единиц совокупности на отдельные группы, называется ГРУППИРОВОЧНЫМ ПРИЗНАКОМ (или, основанием группировки).

В зависимости от целевого назначения выделяют следующие виды статистических группировок.

Рекомендуемые материалы

1. ТИПОЛОГИЧЕСКАЯ группировка служит для выделения социально-экономических типов в разнородной совокупности (группировка государств по уровню экономического развития; населения по принадлежности к общественным группам)

2. СТРУКТУРНАЯ группировка используется для разделения однородной совокупности на группы, характеризующие её структуру, по величине (значению) варьирующего признака.

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ группировка служит для исследования взаимосвязи между явлениями и их признаками. Взаимосвязь проявляется в том, что с возрастанием значений факторного признака систематически возрастает или убывает среднее значение результативного признака. Особенности аналитической группировки: в основу группировки положен факторный признак; каждая выделенная группа характеризуется средним значением результативного признака.

В зависимости от количества группировочных признаков группировки бывают простые и сложные (комбинационные) группировки.

По очерёдности обработки информации выделяют первичные и вторичные группировки.

3.2. Принципы определения числа групп (интервалов) группировки

Число групп в группировке зависит от вида группировочного признака (атрибутивный или количественный), характера его вариации, а также от задач исследования.

ü Если в качестве группировочного выбран атрибутивный признак, то число групп в группировке будет таким, каково число разновидностей (видов, градаций) этого признака. В случаях, когда атрибутивный признак имеет большое число разновидностей (профессия, наименование выпускаемой продукции, наименование товара) и перечислить их все невозможно или нецелесообразно, то используют классификации.

ü Если группировка проводится по количественному признаку, то число групп определяется исходя из объема совокупности (числа единиц исследуемого объекта) и степень вариации группировочного признака:

а) при группировке по дискретному признаку, принимающему небольшое число значений, число групп будет равно числу этих значений (напр., разряд рабочего);

б) если дискретный признак принимает много значений, и выделение такого числа групп невозможно, или группировочный признак – непрерывный, в этом случае для определения числа групп (n) можно использовать формулу Стерджесса:

 n = 1 + 3,322 lgN, где N - число единиц совокупности.

После определения числа групп определяют интервалы группировки.

· ИНТЕРВАЛ – промежуток между максимальным и минимальным значениями признака в группе. Интервалы бывают: равные и неравные (в свою очередь, могут быть произвольными, прогрессивно возрастающими или убывающими, специализированными); открытые и закрытые.

Если строится группировка с равными интервалами (т.е. разность между максимальным и минимальным значением признака для каждой группы одинакова), то величина интервала (h) определяется по формуле:  , где x_max и x_min – соответственно, максимальное и минимальное значение группировочного признака в совокупности.

3.3. Статистические ряды распределения

После определения группировочного признака и границ групп строится ряд распределения (табл. 3).

· ВАРИАНТА (ВАРИАНТ) – это отдельные значения признака, которые он принимает в ряду распределения.

· ЧАСТОТА – число единиц совокупности, принимающих данное значение признака, численность каждой группы вариационного ряда. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, её объём.

· Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу, называют ЧАСТОСТЯМИ (относительными частотами).

Таблица 3 - Понятие и виды статистических рядов распределения

Для анализа рядов распределения используется их графическое изображение, позволяющее судить о форме распределения. Для изображения дискретного ряда применяется ПОЛИГОН ЧАСТОТ (ЧАСТОСТЕЙ), а интервального – ГИСТОГРАММА.

3.4. Анализ частотных распределений

В вариационных рядах распределения можно заметить определённую зависимость между изменением значений варьирующего признака и частот: частоты в этих рядах с увеличением значения варьирующего признака сначала увеличиваются, а затем после достижения какой-то максимальной величины в середине ряда уменьшаются. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются ЗАКОНОМЕРНО в связи с изменением варьирующего признака. Такие закономерности называются ЗАКОНОМЕРНОСТЯМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Цель статистического изучения вариационных рядов - выявление закономерности распределения и оценка ее характера. Закономерности распределения наиболее отчётливо проявляются только при массовом наблюдении. Поэтому основной путь выявления таких закономерностей состоит в правильном построении вариационных рядов распределения для достаточно большой численности статистической совокупности, оптимальных числе групп и величине интервала, при которых закономерность распределения видна более отчётливо.

Из математической статистики известно, что если увеличить объём совокупности и уменьшить интервал группировки, то полигон (гистограмма) распределения всё более и более будет приближаться к некоторой плавной линии - кривой распределения.

КРИВАЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ - графическое изображение вариационного ряда в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанного с изменением вариант.

Получение кривой распределения на основе полигона (гистограммы) можно представить лишь для гипотетического случая (бесконечно большое число единиц совокупности и бесконечно малая ширина интервала ряда). Только при этих идеализированных условиях кривая распределения будет отражать функциональную связь между значениями признака и соответствующими им частотами и представлять так называемое теоретическое распределение.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ называется кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающая влияние случайных для него факторов. При проведении анализа вариационных рядов целесообразно свести эмпирическое распределение к одному из хорошо известных видов теоретического (рассматриваются математической статистикой). При этом теоретическое распределение играет роль некоторой идеализированной модели эмпирического распределения, а сам анализ вариационных рядов сводится к сопоставлению эмпирического и теоретического распределений и определению степени различия между ними.

В статистической практике встречаются следующие разновидности кривых распределения:

а) ОДНОВЕРШИННЫЕ КРИВЫЕ - характерны для однородных совокупностей: симметричные (в симметричных распределениях частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой, значения средней, моды и медианы совпадают), умеренно асимметричные, крайне асимметричные;

б) МНОГОВЕРШИННЫЕ КРИВЫЕ (многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности; появление двух и более вершин требует перегруппировки данных с целью выделения более однородных групп).

ВЫЯСНЕНИЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ предполагает:

- оценку его однородности с использованием структурных средних (мода, мендиана, перцентили (квартили, децили)) и показателей вариации (см. тема 5);

- вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Наиболее распространённый способ определения показателя (коэффициента) асимметрии ():  или , где  - среднее значение признака; - мода, модальное значение признака (варианта, расположенная в центре упорядоченного ряда);  - среднее квадартическое отклонение; Р – удельный вес (в %) количества тех вариант, которые превосходят среднюю арифметическую в общем количестве вариант данного ряда; 50 – удельный вес (в %) вариант, превосходящих среднюю арифметическую ряда нормального распределения.

Если As = 0, то распределение считается симметричным.

При As меньше нуля - левосторонняя асимметрия (правая ветвь кривой короче, мода больше медианы и больше средней).

При As больше нуля - правосторонняя асимметрия (левая ветвь короче, средняя больше медианы и больше моды).

As более 0,5 (независимо от знака) считается значительной; если она меньше 0,25 - незначительной.

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (Ex ).

Наиболее точно Ех определяется по формуле с использованием центрального момента четвёртого порядка:

, где -  - условный центральный момент четвертого порядка.

Можно воспользоваться упрощенной формулой: , где Р – удельный вес (в %) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения (в ту или другую сторону от величины средней в общем количестве вариант данного ряда); 38,29 – удельный вес (в %) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения (в ту или другую сторону от величины средней в общем количестве вариант ряда нормального распределения).

В нормальном распределении Ex = 0, в плосковершинном распределении Ex отрицательный, и в островершинном Ех положительный.

Если на практике часто встречается один и тот же тип распределения частот (например, распределение населения по уровню доходов в различных странах), его целесообразно описать с помощью математической формулы, которая может служить для сравнения и обобщения различных совокупностей аналогичных данных.

В статистике широко используются следующие ВИДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ: нормальное, биномиальное, распределение Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет свою специфику и область применения в различных отраслях знания.

Чаще всего обращаются к НОРМАЛЬНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ, так как оно отражает распределение частот в совокупности под действием большого числа независимых факторов и причин, из которых ни одна не является преобладающей. Такая закономерность проявляется, например, в распределении отклонений в производственном процессе при нормальном уровне организации производства и технологии; в разбросе отклонений параметров качества от среднего значения; в распределении населения определённого возраста по размерам.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами (средней арифметической и СКО) и описывается формулой , где  - ордината кривой нормального распределения;  - стандартизованная (нормированная) величина;  - математические постоянные;  - варианты вариационного ряда и их средняя величина;  - среднее квадратическое отклонение.

                       

Часто возникают распределения, хотя и не отвечающие строго нормальному закону (нормальному распределению), но имеющие с ним сходство.

СВОЙСТВА НОРМАЛЬНОЙ КРИВОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

1) функция нормального распределения - ЧЁТНАЯ, т. е. f(-t) = f(+t). Следовательно, изображающая её кривая расположена симметрично относительно оси ординат, т. е.  = Мо = Ме;

2) функция имеет бесконечно малые значения при t = ±, т.е. ветви кривой удалены в бесконечность и асимптотически приближаются к оси абсцисс; чем больше значения признака отклоняются от средней, тем реже встречаются;

3) функция имеет максимум при t = 0, т.е. кривая распределения модального значения достигает при t = 0 или при ; величина максимума составляет .

4) при t = ± 1 функция даёт точки перегиба, следовательно, при отклонении значений признака  от средней  в положительном и отрицательном направлениях на одно стандартное (нормированное) отклонение (± от х) кривая даёт переход от выпуклости к вогнутости;

5) если случайная величина представляет сумму двух независимых случайных величин, следующих каждая нормальному закону, то она тоже следует нормальному закону.

Объективную оценку соответствия эмпирического распределения нормальному можно получить с использованием особых статистических показателей - КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ (К.Пирсона (хи - квадрат), В.И. Романовского, А.Н. Колмогорова и Б.С. Ястремского).

3.5. Структурные характеристики вариационного ряда

В качестве характеристик вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние – мода и медиана.

МОДА (модальное значение признака) отражает типичное, наиболее распространённое значение признака в изучаемой совокупности.

МОДА (Мо) - это варианта, наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

Пример определения моды по несгруппированным данным:

рабочие бригады, состоящей из 9 человек, имеют следующие тарифные разряды: 4 3 4 5 3 3 6 2 6;

в данной бригаде больше всего рабочих имеют 3-й разряд, он и будет модальным.

В дискретных рядах распределения модой является варианта с наибольшей частотой.

Если в ряду распределения два или несколько значений признака встречаются чаще других и одинаково часто, ряд называют мультимодальным или бимодальным. Наличие двух и более модальных значений признака говорит о неоднородности совокупности, возможно представляющей собой агрегат нескольких совокупностей с разными модами. Но всё-таки чаще встречаются ряды распределения с одной модой.

В интервальном вариационном ряду при непрерывной вариации признака, каждое значение признака встречается только один раз. В этом случае модой является условное значение признака, вблизи которого ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ[1] достигает максимума.

Для расчёта моды в интервальном вариационном ряду сначала определяют модальный интервал (интервал, которому соответствует наибольшая плотность распределения), а затем рассчитывают моду по формуле:

, где  - нижняя граница модального интервала;  - величина модального интервала;  - частота модального интервала;  - частота предмодального и постмодального интервала.

МЕДИАНОЙ (Ме) в статистике называется значение признака, расположенное в середине упорядоченного (ранжированного) ряда. Медиана выполняет функции средней величины для неоднородной (не подчиняющейся нормальному закону распределения) совокупности.

Для определения медианы по несгруппированым данным необходимо сначала произвести ранжирование этих данных: ранжированный ряд разрядов рабочих бригады: 2 3 3 3 4 4 5 6 6, центральным в этом ряду является 4-й разряд, следовательно, данный разряд и будет медианным.

Если ранжированный ряд имеет чётное число единиц, то медиана определяется как средняя арифметическая из двух центральных значений.

В дискретном вариационном ряду медианой является не требующее расчёта значение признака в той группе, в которой накопленная частота[2] превышает половину численности совокупности.

Пример: имеется распределение рабочих участка по уровню квалификации:

Тарифный разряд                    2      3      4      5      6    Итого

Число рабочих                         1      5      8      4      2     20

Накопленная частота              1      6     14    18    20

В третьей группе рабочих с 4-м разрядом накопленная частота превышает половину численности совокупности, следовательно, Ме = 4.

В интервальном вариационном ряду медиана определяется по формуле:

, где  - нижняя граница интервала, содержащего медиану;  - величина медианного интервала;  - сумма частот, численность совокупности;   - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;  - частота медианного интервала.

Медианным считается интервал, для которого накопленная частота превышает половину суммы всех частот ряда.

КВАРТИЛИ, ДЕЦИЛИ, ПЕРСЕНТИЛИ (перцентили, процентили) – это значения вариант, отделяющие соответственно 1/4, 2/4, 3/4 (квартили), 1/10, 2/10, …, 9/10 (децили), 1/100, 2/100, …, 99/100 (персентили) упорядоченной совокупности.

Порядок расчета этих характеристик аналогичен расчету медианы.

УПРАЖНЕНИЯ

Задача 3.1. Имеются данные о пластовом давлении (в атм.) при насосном способе эксплуатации 90 скважин:

Произведите разведочный анализ выборки: 1) постройте статистический ряд распределения, определив число групп как квадратный корень из объема выборки (); 2) изобразите результаты группировки в таблице, изобразите ряд распределения с помощью гистограммы, полигона и кумуляты, оцените характер распределения; 3) вычислите характеристики вариационного ряда (размах, среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение (СКО), коэффициент, вариации, структурные характеристики вариационного ряда (децили и квартили), асимметрию (скос), эксцесс), перечисленные характеристики можно вычислить с помощью встроенных статистических функций в пакете MS Excel.

Сформулируйте выводы.

Результаты построения статистического ряда распределения

Результаты расчета описательных статистик распределения

Задача 3.2. По данным о количестве израсходованных долот при механической скорости проходки 18 м/ч. на 100 скважинах

произведите разведочный анализ выборки: 1) постройте статистический ряд распределения, определив число групп как квадратный корень из объема выборки (); 2) изобразите результаты группировки в таблице, изобразите ряд распределения с помощью гистограммы, полигона и кумуляты, оцените характер распределения; 3) вычислите характеристики вариационного ряда (размах, среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение (СКО), коэффициент, вариации, структурные характеристики вариационного ряда (децили и квартили), асимметрию (скос), эксцесс), перечисленные характеристики можно вычислить с помощью встроенных статистических функций в пакете MS Excel. Сформулируйте выводы.

Результаты построения статистического ряда распределения

Результаты расчета описательных статистик распределения

---

[1] Плотность распределения – число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака. Абсолютная плотность определяется делением частоты на величину соответствующего интервала, а относительная плотность – делением частости (относительной частоты) на величину интервала.

[2] Накопленная частота показывает, сколько единиц совокупности имеют значение признака не большее, чем рассматриваемое.