Проведение математического моделирования технологического процесса
3 Проведение математического моделирования технологического процесса.
3.1 Обоснование необходимости проведения процесса
Основной целью проведения эксперимента является разработка математической модели, адекватно описывающей процесс отжига ТЭМ, и как следствие, процесса деградации ТЭМ при их использовании. При использовании статистических методов планирования эксперимента математическое описание процесса обычно представляется в виде полинома
где y – функция отклика, а х – факторы исследуемого процесса.
3. 2 План эксперимента
План эксперимента определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве, т.е. условия для всех опытов, которые необходимо провести.
Выбираем центр плана, т.е точку, соответствующую среднему значению всех используемых факторов, в окрестностях которой будут ставиться опыты. Обычно в качестве центра плана принимают центр исследуемой области. В нашем случае центром плана является точка, соответствующая модулю, в котором ТЭ стравлен на 2,5мкм, и который подвергался отжигу в течении 451ч.
Выбираем диапазоны варьирования времени отжига и величины стравленного слоя ТЭ. Выбранные данные занесены в таблицу 2.
Рекомендуемые материалы
Таблица 2
| Уровень | Время отжига, [ч], Х1 | Величина стравленного слоя ТЭ, [мкм], Х2 | В безразмерной системе координат уровни факторов |
| Верхний | 902 | 5 | +1 |
| Нижний | 0 | 0 | -1 |
Выходной параметр R измеряется в [Ом].
3.3 Построение математической модели
В качестве метода исследования технологического процесса выберем полный факторный эксперимент (ПФЭ). В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий. Под взаимодействием факторов понимают эффект влияния изменения значений одного или нескольких факторов на характер изменения функции отклика от изменения другого фактора.
Планирование начнём с предположения, что модель имеет вид полинома первого порядка:
В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого фактора в отдельности, но и их взаимодействия.
Определим числа опытов N=uk , где u – число уровней каждого фактора (должно быть на 1 больше порядка полинома), k – число исследуемых факторов.
Для линейной модели и двух исследуемых факторов достаточно провести 4 опыта, т.е. опытные точки располагаются в вершинах квадрата (рис. 7) факторного пространства, а модель будет иметь вид:
Y = b0 + b1X1 + b2X2+ b12X1X2
где b0 – значение функции отклика в центре плана, коэффициенты b1 и b2 характеризуют степени влияния соответствующих факторов на функцию отклика, а b12 характеризует влияние взаимодействия факторов.
Х1
+1
-1 +1
X2
-1
Рис. 7. Расположение экспериментальных точек.
Для рассматриваемого случая матрица планирования будет иметь вид, представленный в таблице 3: Таблица 3.
| Номер опыта | X0 | X1 | X2 | X1X2 | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 |
| S2 |
| 1 | +1 | -1 | -1 | +1 | 2,931 | 2,954 | 2,931 | 2,926 | 2,935 | 1,58x10-4 |
| 2 | +1 | +1 | -1 | -1 | 3,288 | 3,317 | 3,252 | 3,28 | 3,284 | 7,15x10-4 |
| 3 | +1 | -1 | +1 | -1 | 2,832 | 2,842 | 2,823 | 2,835 | 2,833 | 0,62x10-4 |
| 4 | +1 | +1 | +1 | +1 | 3,11 | 3,1 | 3,1 | 3,121 | 3,108 | 1x10-4 |
Предварительная обработка результатов: в эксперименте были проведены 4 параллельных наблюдения для каждой комбинации факторов с целью повышения точности эксперимента. Поэтому необходимо рассчитать 
по формуле:
А также определить выборочные дисперсии по формуле:
Уменьшение знаменателя в последней формуле на 1 связано с тем, что величина среднего арифметического, относительно которой берутся отклонения, сама зависит от элементов выборки. 
Обработка результатов ПФЭ с целью составления уравнения математической модели:
1. Проверка воспроизводимости экспериментов, т.е. проверка однородности вычисленных по данным параллельных опытов дисперсий среднего арифметического значения функции отклика в каждом опыте, т.е. в каждой строке, по критерию Кохрена.
Критерий Кохрена применяется для оценки однородности нескольких дисперсий при равном числе повторов в каждом эксперименте, в частности, при проверке воспроизводимости эксперимента, состояшего из нескольких опытов.
Для его использования рассчитываются дисперсии экспериментальных значений функции отклика в каждом эксперименте. Очевидно, что недоверие будут вызывать наибольшие значения. Поэтому критерий Кохрена подсчитывается как отношение максимального значения изменчивости среди N опытов к сумме изменчивостей во всех опытах:
Найденное экспериментальное значение сравнивают с критическим Gkp , представляющим собою максимально возможное значение критерия G, при котором гипотеза об однородности дисперсий может считаться справедливой. Критическое значение определяется исходя из числа сравниваемых дисперсий N=4, числа параллельных опытов n=4 и заданного уровня значимости (р=0,01). Если Gэ<=Gkp, то «подозрительное» максимальное значение изменчивости S22 не является «инородным». В противном случае эксперимент не является воспроизводимым.
Gkp (0,01; 4,4)=0,78
Значит, «подозрительное» максимальное значение изменчивости S22 не является «инородным». Дисперсии однородны. Следовательно, эксперименты воспроизводимы.
2. Вычисление коэффициентов полинома по формуле
3. Оценку значимости коэффициентов.
Основой для оценки значимости является критерий Стьюдента, который в этом случае рассчитывается по формуле
где дисперсия ошибки определения коэффициента равна S2(bj) = S2(Y) / nN , где стоящая в числителе дисперсия воспроизводимости оценивается как среднее арифметическое группы выборочных дисперсий (т.е. дисперсий функции отклика по каждому опыту), а n – число параллельных опытов для каждого условия.
Коэффициент признается незначимым, если t для числа степеней свободы N(n-1) меньше критического значения, найденного по таблице. В нашем случае все tj>tкр. Делаем вывод, что все коэффициенты значимы.
После расчёта коэффициентов получается уточненная имитационная модель процесса.
Y = b0 + b1X1 + b2X2+ b12X1X2=3,04+ 0,156X1 – 0,0695X2 – 0,0185X1X2
4. Проверка адекватности уравнения.
Модель должна быть адекватна описываемому явлению.
Надо оценить отклонение предсказанного моделью значения выходного параметра (функции отклика) y^i от результатов эксперимента в каждой точке факторного пространства. Для оценки этого отклонения служит дисперсия адекватности:
Таблица 4.
| N |
|
|
| 1 | 2,935 | 2,935 |
| 2 | 3,284 | 3,284 |
| 3 | 2,833 | 2,833 |
| 4 | 3,108 | 3,108 |
где aзн – число значимых коэффициентов в аппроксимирующем полиноме.
В таблице 4 представлено сравнение экспериментальных данных и данных, полученных по математической модели.
. Для определения дисперсии адекватности делаем ещё один опыт, результаты которого приведены в таблице 5.
Таблица 5.
| Номер опыта | X0 | X1 | X2 | X1X2 | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 |
|
|
| 5 | +1 | +0,268 | -1 | -0,268 | 3,15 | 3,204 | 3,084 | 3,12 | 3,14 | 3,15 |
Сравним дисперсию адекватности и дисперсию воспроизводимости по критерию Фишера при числах степеней свободы f1 = N - aзн и f2 = N (n-1):
F = S2ад / (S2(y)/n)
Рекомендуем посмотреть лекцию "2 Электропривод для швейных машин".
Fэ = S2ад / (S2(y)/n)=10-4/(2,5875x10-4/4)=1,546
По таблице Fкр(0,01;1;12)=9,33
Fэ ≤Fкр, следовательно, модель адекватна.
Итак, полученная математическая модель имеет вид:
R = 3,04+ 0,156t – 0,0695∆ – 0,0185t∆
В данном уравнении время отжига t и величина стравленного слоя ∆ безразмерны. R – электрическое сопротивление.
