Линейные математические модели
![Лекция 3]()
2.2. Линейные математические модели
2.2. Линейные математические моделиНаиболее простыми являются так называемые линейные детерминированные модели. Они задаются в виде линейной формы управляющих переменных (х):
W = a0 + a1x1 + … + akxk
при линейных ограничениях вида
b1j x1 + b2j x2 + … + bkj xk ³ bj , j = 1,…, q1;
c1j x1 + c2j x2 + … + ckj xk = cj , j = 1,…, q2;
d1j x1 + d2j x2 + … + dkj xk £ dj , j = 1,…, q3.
Общее число ограничений m = q1 + q2 + q3 может превосходить число переменных (m > k). Кроме того, обычно вводится условие положительности переменных (xi ³ 0).
Поверхность отклика для линейной модели представляет собой гиперплоскость. Например, рассмотрим линейную модель двух переменных следующего вида:
W = –2x1 –3x2 (2.2)
Рекомендуемые материалы
при следующих ограничениях
2x1 + 3x2 £ 18;
x1 – 4x2 £ 4;
–2x1 + x2 £ 2;
х1 ³ 0; x2 ³ 0.
Область допустимых значений (область определения) OABCD для модели (2.2) образована ограничениями (2.3) (Рис. 2.2). Поверхность отклика представляет собой плоский многоугольник OA'B'C'D' (рис. 2.2, б).
При определенном соотношении ограничений множество допустимых решений может отсутствовать (пусто). Пример такого множества показан на рис. 2.3. Прямые АС и ВС ограничивают область допустимых значений сверху. Третье ограничение отсекает область допустимых значений снизу от прямой АВ. Таким образом, общей области, удовлетворяющей всем трем ограничениям, нет.
Линейные модели достаточно просты и поэтому, с одной стороны, предполагают существенное упрощение задачи, а с другой – допускают разработку простых и эффективных методов решения.
При исследовании ДЛА линейные модели используются редко и почти исключительно при приближенном описании задач.
Линейные модели могут использоваться при поэтапной аппроксимации нелинейных моделей (линеаризация задачи). Особенно эффективен этот прием при изучении небольших областей исследуемого пространства. Представление отдельных участков нелинейной поверхности отклика линейной моделью лежит в основе большой группы методов оптимизации, так называемых методов с линейной тактикой.
Исследование линейных моделей не представляет труда. В частности влияние каждой из переменных на характеристики модели вида
W = a0 + a1x1 + a2x2 + …+ akxk
задается ее коэффициентами:
, i = 1,…, k.
Для нахождения оптимума линейной модели Wопт разработан эффективный симплекс-метод.
К линейным иногда сводятся простейшие модели стоимости, рассматриваемые как совокупность производимых затрат.
Примером такой модели является классическая модель стоимости перевозок (транспортная задача) (Рис. 2.4).
Имеется k пунктов производства
(i = 1,…, k) и m пунктов потребления
(j = 1,…, m) некоторого продукта. Количество продукта, произведенного в каждом из k пунктов производства, равно ai; количество продукта, необходимого в каждом из m пунктов потребления, равно bj.
Предполагается равенство общего производства и потребления:
.
Количество продукта, перевозимого из i-го пункта производства в j-й пункт потребления, равно xij; стоимость перевозки единицы этого продукта – сij.
Суммарная стоимость перевозок СS задается линейной моделью:
при следующих ограничениях
К линейным также относятся модели в виде линейных дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных).
Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
Рекомендуем посмотреть лекцию "Гаметогенез и Эмбриогенез".
. (2.10)
Начальные условия записываются как
.
Линейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет вид
.
Модель, заданная в виде дифференциального уравнения в частных производных, включает начальные и граничные условия (условия на границе области определения функции F(t)).
