Основные понятия теории случайных функций

5. Основные понятия теории
случайных функций

5.1. Понятие о случайной функции

До сих пор основным предметом исследования были случайные величины.

На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта.

Случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта, мы будем в отличие от обычных случайных величин называть случайными функциями.

Изучением подобных случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимается специальная отрасль теории вероятностей – теория случайных функций. Эту науку можно образно назвать «динамикой случайных явлений».

Теория случайных функций – раздел теорий вероятностей, развивавшийся в основном в 40-е – 60-е годы прошлого столетия. В настоящее время эта теория развивается и совершенствуется весьма быстрыми темпами. Это связано с непосредственными требованиями практики, в частности, с необходимостью решения ряда технических задач.

Известно, что за последнее время в технике все большее распространение получают системы с автоматизированным управлением. Соответственно все большие требования предъявляются к теоретической базе этого вида техники – к теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно воздействующих случайных возмущений (так называемых «помех»). Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Для того чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы управления, необходимо изучить ее реакцию на непрерывно воздействующие случайные возмущения, а единственным аппаратом, пригодным для такого исследования, является аппарат теории случайных функций.

Первым из основных понятий, с которыми нам придется иметь дело, является понятие случайной функции.

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее – какой именно.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции.

Рекомендуемые материалы

Приведем несколько примеров случайных функций.

Примерами случайных функций в энергетике, связанными
с метеорологическими условиями, могут быть: изменение располагаемой мощности и энергии гидростанций, зависящие от приточности рек; изменения суммарного спроса мощности и энергии в энергосистемах, зависящие как от изменения температуры наружного воздуха, так и от других факторов; отклонение напряжений в узлах нагрузок, зависящие от различных потребителей, так и от режима системы и времени.

Число примеров случайных функций, встречающихся в технике, можно было бы неограниченно увеличивать. Действительно,
в любом случае, когда мы имеем дело с непрерывно работающей системой (системой измерения, управления, регулирования), при анализе точности работы этой системы нам приходится учитывать наличие случайных воздействий (помех). Как сами помехи, так и вызванная ими реакция системы представляют собой случайные функции времени.

До сих пор мы говорили только о случайных функциях, аргументом которых является время t. В ряде задач практики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а от других аргументов. Например, характеристики прочности неоднородного стержня могут рассматриваться как случайные функции абсциссы сечения х. Температура воздуха в различных слоях атмосферы может рассматриваться как случайная функция высоты Н.

На практике встречаются также случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких. Например, аэрологические данные, характеризующие состояние атмосферы (температура, давление, ветер), представляют собой в общем случае случайные функции четырех аргументов: трех координат х, у, z и времени t.

Будем рассматривать только случайные функции одного аргумента. Так как этим аргументом чаще всего является время, будем обозначать его буквой t. Кроме того, условимся, как правило, обозначать случайные функции большими буквами  в отличие от неслучайных функций .

Рассмотрим некоторую случайную функцию X(t). Предположим, что над ней произведено п независимых опытов, в результате которых получено п реализаций (рис. 5.1). Обозначим их соответственно номеру опыта .

Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная), функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X(t) превращается в обычную, неслучайную функцию.

Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция X(t). Очевидно, она превратится в случайную величину в обычном смысле слова. Условимся называть эту случайную величину сечением случайной функции, соответствующим данному t. Если провести «сечение» семейства реализаций при данном t (рис. 5.1), мы получим п значений, принятых случайной величиной X(t) в п опытах.

Рис. 5.1

Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.

5.2. Характеристики случайных функций

Большое значение в теории вероятностей имеют основные числовые характеристики случайных величин, математическое ожидание
и дисперсия – для одной случайной величины, математические ожидания и корреляционная матрица – для системы случайных величин.

Для случайных функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин, и устанавливаются правила действий с этими характеристиками.

В отличие от числовых характеристик случайных величин, представляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем случае не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции  определяется следующим образом. Рассмотрим сечение случайной функции  при фиксированном t. В этом сечении мы имеем обычную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от t, т. е. представляет собой некоторую функцию t:

                                              .                                      (5.1)

Таким образом, математическим ожиданием случайной функции Х(t) называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.

Рис. 5.2

На рис. 5.2 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной линией – ее математическое ожидание.

Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции. Дисперсией случайной функции  называется неслучайная функция , значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

                                              .                                       (5.2)

Дисперсия случайной функции при каждом t характеризует разброс возможных реализации случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции.

Очевидно,  есть неотрицательная функция. Извлекая из нее квадратный корень, получим функцию  – среднее квадратическое отклонение случайной функции:

                                               .                                        (5.3)

Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма важные характеристики случайной функции; однако для описания основных особенностей случайной функции этих характеристик  недостаточно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две случайные функции  и , наглядно изображенные семействами реализаций на рис. 5.3 и рис. 5.4.

Рис. 5.3

У случайных функций  и  примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии; однако характер этих случайных функций резко различен. Для случайной функции  (рис. 5.3) характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в точке t случайная функция  приняла значение, заметно превышающее среднее, то весьма вероятно, что и в точке t' она также примет значение больше среднего. Для случайной функции  характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при различных t.
Напротив, случайная функция  (рис. 5.4) имеет резко колебательный характер с неправильными, беспорядочными колебаниями. Для такой случайной функции характерно быстрое затухание зависимости между ее значениями по мере увеличения расстояния по t между ними.

Рис. 5.4

Очевидно, внутренняя структура обоих случайных процессов совершенно различна, но это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его описания необходимо ввести специальную характеристику. Эта характеристика называется корреляционной функцией (иначе – автокорреляционной функцией). Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным t.

Пусть имеется случайная, функция  (рис. 5.5). Рассмотрим два ее сечения, относящихся к различным моментам: t и t', т. е. две случайные величины  и . Очевидно, что при близких значениях t и t' величины  и  связаны тесной зависимостью: если величина  приняла какое-то значение, то и величина  
с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. Очевидно также, что при увеличении интервала между сечениями t, t' зависимость величин  и  вообще должна убывать.

Рис. 5.5

Степень зависимости величин  и  может быть в значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом.

очевидно, он является функцией двух аргументов t и t'. Эта функция и называется корреляционной функцией.

Таким образом, корреляционной функцией случайной функции  называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений t, t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

                                       ,                               (5.4)

где ,  .

Из рассмотренных случайных функций  и  видно, что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случайные функции  и  имеют совершенно различные корреляционные функции. Корреляционная функция случайной функции  медленно убывает по мере увеличения промежутка ; напротив, корреляционная функция случайной функции  быстро убывает с увеличением этого промежутка.

Полагая , имеем:

                                  ,                           (5.5)

т. е. при  корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.

Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.

Так как корреляционный момент двух случайных величин  и  не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, т. е. не меняется при перемене аргументов местами:

Рекомендуем посмотреть лекцию "1.7 Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках".

                                            .                                     (5.6)

Вместо корреляционной функции  можно пользоваться нормированной корреляционной функцией:

                                           ,                                   (5.7)

которая представляет собой коэффициент корреляции величин , .

При  нормированная корреляционная функция равна единице.

                                  .                          (5.8)