8 Измерения

2021-03-09 СтудИзба

3.3. Измерения

Под измерением обычно понимают процесс нахождения отношения данной величины к другой однородной величине, принятой за единицу измерения. Результат измерения выражается некоторым числом, и благодаря этому становится возможным подвергнуть эти результаты математической обработке. Однако в отдельных случаях измерением называют всякий способ приписывания чисел изучаемым объектам и их свойствам в соответствии с некоторыми правилами. С таким взглядом чаще всего приходится встречаться в тех науках, где большей частью ограничиваются лишь сравнением исследуемых свойств по их интенсивности (эмпирическая социология, психология и другие гуманитарные науки).

Всякий раз, когда удается упорядочить то или иное свойство по степени его интенсивности с помощью отношений «больше», «меньше» или «равно», можно установить определенное соответствие между степенями этого свойства и некоторыми числами. Такой способ квантификации свойств используется во всех тех случаях, когда оказывается трудным или невозможным провести непосредственные измерения. Так, например, в минералогии широко используется шкала Мооса для определения сравнительной твердости минералов. Один минерал считается более твердым, если он оставляет на другом царапину. Чем тверже минерал, тем большее число ему соответствует на шкале Мооса: если твердость талька оценивается 1, то твердости алмаза соответствует 10.

Ясно, однако, что в данном случае приписывание чисел в известной мере произвольно. С равным успехом мы могли бы, оценить твердость талька 10, тогда соответственно изменилась бы степень твердости алмаза. Но главное состоит не в этом. Поскольку числа, характеризующее степень интенсивности свойства, выбираются более или менее произвольно, то с ними нельзя производить обычных арифметических действий. А это значительно затрудняет применение математических методов для обработки результатов эмпирического исследования.

Вот почему в точном естествознании не ограничиваются простым сравнением свойств в терминах «больше», «меньше» или «равно», а пытаются выразить их величину с помощью определенного числа. Но ,в этом случае приходится уже использовать специальную измерительную технику, чтобы выразить степень интенсивности исследуемого свойства не произвольно взятым, а точно определенным числом.

Из всего вышесказанного нетрудно понять, что измерение представляет довольно развитый этап количественного исследования явлений. Прежде чем люди научились измерять величины, они должны были уметь сравнивать различные свойства и их степени между собой, а еще раньше этого — овладеть техникой счета. Поэтому вряд ли целесообразно называть измерением всякий способ квантификации свойств и величин по степени их интенсивности. В действительности подобное сравнение представляет лишь один из этапов количественного анализа вообще и измерения в особенности.

Чтобы получить более полное представление об этом анализе необходимо предварительно познакомиться с теми видами понятий, которые служат основой последующего процесса измерения. С интересующей нас точки зрения все научные понятия могут быть разбиты на три больших класса: 1) классификационные, 2) сравнительные и 3) количественные.

Как показывает само их название, классификационные понятия отображают те или иные классы объектов или явлений. На базе таких понятий по существу и строятся различные научные классификации: растений — в ботанике, животных — в зоологии, минералов — в минералогии и т.д. Выделяя существенные признаки этих классов, классификационные понятия дают возможность отличать один класс от другого и поэтому, прежде всего, характеризуют их качественную природу. Вот почему они часто называются также качественными понятиями.

Рекомендуемые файлы

Но даже к таким понятиям возможно применить простейшие количественные методы анализа, в частности определить число элементов класса.

Сейчас всякий грамотный человек определяет количество элементов какого-либо класса вещей с помощью целых положительных, или натуральных чисел. Однако, как показывает история культуры, было время, когда люди не имели никакого представления об отвлеченных числах и тем не менее по-своему справлялись со счетом небольших совокупностей вещей. Операция счета по сути дела представляет процесс установления взаимно-однозначного соответствия между множеством сосчитываемых предметов и некоторым «эталонным» множеством.

Если на заре цивилизации в качестве такого «эталона» выбиралась пальцы рук и ног самого человека, затем камушки, ракушки и тому подобные предметы, то впоследствии люди постепенно осознали необходимость введения отвлеченных чисел. Эти числа и начинают в дальнейшем выступать в качестве абстрактного «эталона», пользуясь которым люди считают те пли иные совокупности предметов.

С помощью натуральных чисел определяется количество элементов конечных классов или множеств. Иногда это множество может оказаться пустым. В этом случае ему приписывается число ноль, характеризующее отсутствие элементов в классе. Не все множества, изучаемые в науке, являются конечными. В теоретическом естествознании нередко приходится рассматривать и множества бесконечные. Не говоря уже об астрономии и космологии, где постоянно обсуждаются проблемы, связанные с бесконечностью Вселенной, даже в физике, химии, молекулярной биологии бесконечные множества (например, всех потенциально допустимых уровней энергии атома) служат важным инструментом исследования закономерностей природы.

Для количественной характеристики таких бесконечных множеств вводятся особые трансфинитные числа (от транс… и лат. finitus – ограниченный - обобщенные порядковые числа), которые образуются по аналогии с обычными натуральными числами. Располагая трансфинитными числами, мы можем сравнивать различные бесконечные множества между собой. Существенным отличием трансфинитных чисел от обычных является резкое разграничение между кардинальными (количественными) и ординальными (порядковыми) трансфинитными числами. По-видимому, исторически люди также различали порядковые и количественные натуральные числа, но так как по математической структуре они совершенно эквивалентны, то впоследствии это различие отошло на второй план. Однако в процессе измерения переменных величин мы оперируем фактически с порядковыми числами, да и сам счёт в сущности представляет определенную последовательность операций, в ходе которой мы по порядку называем натуральные числа, начиная с 1 и кончая тем числом, которым завершается счет. Но как бы ни трактовать природу натуральных чисел, одно несомненно: счёт представляет необходимую предпосылку для измерения.

Прежде чем измерять, надо научиться считать.

Следующим этапом количественного анализа исследуемых свойств является их сравнение по степени интенсивности проявления того или иного свойства в том или ином предмете. Именно в процессе такого сравнения и сформировались те понятия, посредством которых выражается отношение между различными предметами по некоторому присущему им свойству. Такие понятия дают возможность определить, в каком отношении находится степень интенсивности некоторого свойства в различных предметах или в том же самом предмете, но в разные периоды времени. Если обозначить некоторое свойство через М, то различные отношения, которые могут существовать между предметами, обладающими этим свойством, легко выражаются в виде следующих математических утверждений:

М(а)>М(b),

М(а)<М(b),

М(а) = М(b).

Taк, например, один минерал может быть тверже пли мягче другого или быть одинаковой с ним твердости. Температура того же самого тела в разные периоды времени может быть то больше, то меньше или оставаться постоянной. Такие сравнительные понятия встречаются и в повседневной жизни, и в науке. По своему месту в познании они занимают промежуточное положение между классификационными и количественными понятиями.

В отличие от первых они дают более точную информацию об интересующем нас явлении или свойстве. В то время как классификационное понятие, например твердости, делит все тела на твердые и мягкие, соответствующее сравнительное понятие оценивает степень этого свойства в терминах «больше», «меньше» или «равно». Иначе говоря, вместо простого дихотомического деления изучаемых свойств на два класса сравнительное понятие устанавливает топологическое отношение между ними, т. е. место, занимаемое разными степенями интенсивности свойства в некоторой упорядоченной шкале. Так, мы видели на примере шкалы Мооса, что по степени твердости минералы можно расположить в определенном порядке, при котором большей твердости будет соответствовать и большее число.

Обнаружение определенного порядка в степени возрастания или убывания какого-либо свойства дает возможность сравнивать степени его проявления с помощью отношений «больше», «меньше» пли «равно». Поэтому о таком свойстве мы с полным правом можем говорить как о величине, хотя нередко под величиной понимают только такие свойства, степень проявления которых можно выразить числом. Однако при таком подходе слишком сужается класс величин, с которыми фактически имеет дело наука.

Главная трудность, с которой приходится встречаться при измерении величин, состоит в том, чтобы найти соответствующие процедуры измерения и единицы для сравнения. Проще всего такие единицы и процедуры устанавливаются в науках, изучающих неорганическую природу. В науках о живой природе сделать это значительно трудней, а там, где приходится учитывать чувства, ощущения, мысли и мнения людей, измерение кажется в принципе невозможным.

«Надо помнить, — писал в 30-е годы акад. Д.Н.Крылов,— что есть множество «величин», т. е. того, к чему приложимы понятия «больше» и «меньше», но величин, точно не измеряемых, например: ум и глупость, красота и безобразие, храбрость и трусость, находчивость и тупость и т.д. Для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть выражены числами, — они не составляют предмета математики». Действительно, все указанные величины нельзя оценить точно определенным числом. Противопоставляя их величинам, точно измеряемым, А.Н.Крылов хотел подчеркнуть значение численных, метрических методов в математике.

Между тем противники количественных методов исследования обычно ссылаются на подобного рода понятия психологии, этики и других гуманитарных наук, заявляя о принципиальной невозможности применения к ним понятий и методов математики. Но являются ли такого рода ссылки достаточно убедительными? Разумеется, никто не будет спорить с тем, что численные методы математики не нашли такого широкого применения в науках гуманитарных, как в естественных. И трудности здесь, действительно, существуют. Прежде чем ввести количественные понятия, надо попытаться установить для величин, встречающихся в таких науках, упорядоченную шкалу значений. Так, можно говорить о большей или меньшей степени чувства, ума, красоты и т.п., но кажется крайне искусственным оценивать эти понятия числом. Но это вовсе не значит, что к таким понятиям сравнительного характера не могут быть применены неметрические методы современной математики. И теория множеств, и в особенности теория отношений позволяют раскрыть логическую структуру сравнительных понятий, которая оказывается сложнее структуры классификационных понятий. В самом деле, даже отношение эквивалентности между величинами характеризуется такими логическими свойствами, как рефлексивность, симметричность и транзитивность. Так, если два тела являются эквивалентными по тяжести или весу, тогда они уравновешивают друг друга. Свойство рефлексивности выражает тот очевидный факт, что любое тело остается равным себе по тяжести. Симметричность характеризует обратимость отношения эквивалентности. Действительно, если мы поменяем местами два равных по тяжести тела, то весы будут по-прежнему оставаться в равновесии.

Наконец, свойство транзитивности дает возможность переходить от одних эквивалентных отношений к другим.

Если одно тело уравновешивает другое, а это в свою очередь — третье тело, тогда первое тело будет также уравновешивать третье. Эти свойства, кажущиеся нам весьма привычными, на самом деле играют существенную роль не только при анализе отношения эквивалентности, но и при характеристике процесса измерения. Если обозначить разные по другим физическим свойствам (кроме исследуемого общего им свойства) тела латинскими буквами х, у и z, то символически свойства отношения эквивалентности могут быть представлены так:

1) xRx (рефлексивность),

2) xRy — yRx (симметричность),

3) [(xRy) & (yRz)]>DxRz (транзитивность),

где R обозначает отношение эквивалентности, & — знак конъюнкции, а > — импликации, или логического следования.

Структура других отношений, например отношения «больше» или «меньше», не обладает свойствами симметричности и рефлексивности, хотя по-прежнему сохраняет свойство транзитивности. Действительно, если одно тело тяжелее другого по весу, тогда второе тело, конечно, легче первого, поэтому симметричность отношения здесь не сохраняется. Рассмотренные выше свойства отношений эквивалентности и неравенства неявно используются в любом процессе измерения.

Все это показывает, что сравнительные понятия хотя и являются менее точными, но все же служат основой для образования количественных понятий как генетически, так и логически. Как свидетельствует история науки, прежде чем придти к точным количественным понятиям, естествознание часто довольствовалось более слабыми сравнительными понятиями. Было время, когда температуру различных тел можно было описывать с помощью таких терминов, как «более нагретое или теплое тело», «менее теплое» и т.п. Эта неопределенность в значительной мере обусловлена тем, что без термометра установить степень нагретости тела очень трудно. Одному человеку кажется, что данное тело теплее, чем другое, второму представляется правильным обратное.

И даже у одного и того же лица под влиянием различных факторов тепловые ощущения могут меняться. После изобретения термометра и установления точной процедуры для измерения температуры был найден объективный способ численной оценки этой физической величины.

Такие же объективные способы измерения наука ищет и для исследования других свойств и величин, в том числе таких сложных, как психические. В этой связи следует упомянуть известный закон Вебера—Фехнера, который устанавливает зависимость интенсивности ощущения от соответствующих факторов внешней среды, например ощущения от давления на кожу различных грузов. Чтобы установить этот закон, необходимо было построить упорядоченную шкалу значений интенсивностей ощущений. Обнаружение упорядоченного характера интенсивности свойства часто свидетельствует о возможности дальнейшего его измерения.

Наиболее простой является процедура измерения так называемых экстенсивных величин, к которым относятся, например, такие основные физические величины, как длина, масса, время. Характерная особенность таких величин состоит в том, что при некотором объединении двух тел значение получающейся экстенсивной величины будет равняться арифметической сумме величин отдельных тел. Так, например, чтобы узнать вес двух тел, мы кладем оба тела на чашу весов и убеждаемся в том, что этот вес равен сумме весов отдельных тел. Подобно этому длина, площадь, объем, электрический заряд, энергия будут экстенсивными величинами, так как совокупное значение этих величин получается путем сложения численных значений отдельных величин. При этом сама физическая операция объединения двух тел а и в, обладающих определенными значениями М(а) и М(в)некоторой величины М, может быть весьма различной.

Так, при взвешивании тела ставятся на одну чашу весов, при измерении длины твердые тела совмещаются концами своих ребер и т.д.

Если обозначить специфическую операцию объединения двух тел кружочком, тогда совокупное значение величины М, получающееся в результате указанной операции, будет равно арифметической сумме численных значений величин обоих тел:

М (аов) = М(а) + М(в).

Величины такого рода часто называют также аддитивными, так как их совокупное значение получается путем суммирования значений отдельных величин. При этом следует иметь в виду, что арифметически складываются не сами величины, а их численные значения. Величины же могут лишь объединяться или соединяться посредством некоторой специфической операции, будь то соединение длин отрезков, объемов тел, сопротивлений проводников или даже помещение тел рядом на чаше весов.

Чтобы убедиться в том, что данная величина удовлетворяет принципу аддитивности, необходимо эмпирически найти такую операцию соединения двух или нескольких тел, соответствующие величины которых в сумме будут paвны совокупному значению величины, полученной в результате соединения тел. Так, например, если взять последовательное соединение проводников, то общее сопротивление в такой цепи будет равно сумме сопротивлений отдельных ее элементов. Поэтому указанная операция будет подчиняться принципу аддитивности.

Если же проводники соединены параллельно, то полное сопротивление в цепи не будет равно сумме сопротивлений отдельных проводников и, следовательно, сама операция не будет аддитивной, хотя величина, обратная сопротивлению, т. е. проводимость цепи при параллельном соединении, будет аддитивной, в то время как при последовательном соединении — неаддитивной.

Эти примеры показывают, что аддитивный или неаддитивный характер величины нередко зависит от специфики той операции, посредством которой происходит соединение двух или нескольких тел.

В огромном большинстве случаев все экстенсивные величины подчиняются принципу аддитивности. В противоположность этому неэкстенсивные, или интенсивные, величины не удовлетворяют этому принципу. Например, если смешать два объема воды с температурой в 40 и 60 градусов, то в результате их общая температура не будет равна 100 градусам.

Самое существенное отличие интенсивных величин от экстенсивных состоит в том, что они характеризуют не индивидуальные, а коллективные, статистические свойства объектов. Как известно, температура представляет статистическое свойство огромного числа хаотически движущихся молекул тела. Поэтому и величина, измеряющая это свойство, относится не к отдельной молекуле, а ко всей их совокупности в целом. Другими словами, если экстенсивное свойство относится к любому объекту некоторой однородной системы, то интенсивное не распределяется между составляющими ее объектами. Оно выражает характеристику целого коллектива. Это обстоятельство значительно затрудняет процесс измерения интенсивных величин.

В принципе любой процесс измерения состоит в установлении взаимно-однозначного соответствия между величиной и некоторым множеством чисел. Это соответствие описывается с помощью точных правил, которые называются правилами измерения. Чем сложнее величина, тем в большем количестве правил измерения мы нуждаемся. Действительно, если для измерения экстенсивных величин достаточно всего трех правил, то процедура измерения такой интенсивной величины, как температура, требует уже пяти правил.

Правила для измерения экстенсивных или интенсивных величин точно формулируют, каким образом приписываются числа этим величинам. Для экстенсивных величин в качестве наиболее важного правила будет выступать принцип аддитивности, согласно которому при соединении двух или нескольких тел некоторая их общая величина будет в точности равняться арифметической сумме величин отдельных тел. Таким образом, здесь определенной эмпирической операции соединения тел и, следовательно, присущих им величин будет соответствовать арифметическая операция сложения чисел, которые служат значениями этих величин. В символической форме это правило можно представить так:

М(хоу) = М(х) + М(у).

Второе правило указывает, что если две величины являются эквивалентными, то их численные значения будут равными. Вот почему это правило часто называют правилом равенства. Следует иметь в виду, что установление эквивалентности тех или иных величин происходит с помощью определенной эмпирической процедуры. Так, эквивалентность длин отрезков проверяется с помощью наложения одного отрезка на другой, равенство тел по тяжести устанавливается с помощью весов. Согласно второму правилу, качественная эквивалентность величин находит свое отображение в равенстве их значений, т.е. чисел.

Если М(х)~М(у), то М(х) = М(у),

где символ ~ обозначает отношение эквивалентности.

Наконец, третье правило характеризует единицу измерения и тем самым принятую шкалу для сравнения.

M(x)

---- = Р,

М(е)

где М(х) представляет измеряемую величину, М(е) — единицу измерения и Р — некоторое число, являющееся результатом измерения. В качестве единицы измерения обычно выбирается некоторое стандартное тело или процесс, с помощью которых могут быть выражены численные значения соответствующих величин. Так, в физике для измерения длины выбирается либо сантиметр (в системе CGS), либо метр (в системе MKS). В качестве единицы массы (веса) в первой системе берется грамм, во второй — килограмм.

Измерение интенсивных величин представляет более сложную процедуру, и поэтому здесь мы нуждаемся в дополнительных правилах. Прежде всего, мы должны иметь правила, с помощью которых можно было бы сравнивать различные интенсивности. Такое сравнение, как мы видели, достигается с помощью отношений эквивалентности и неравенства. Если две интенсивные величины являются эквивалентными, то им приписывают одинаковые численные значения. Поэтому первое правило для измерения интенсивных величин в принципе не будет отличаться от правила равенства для экстенсивных величин.

Если М(х) ~ М(у), то М (х) = М(у).

С помощью отношения неравенства достигается упорядочение величин по степени возрастания или убывания их интенсивности. Второе правило измерения устанавливает, что большей интенсивности величины соответствуёт и большее число. Наоборот, меньшей интенсивности приписывается меньшее число. Таким образом, с помощью этого правила отношение порядка между интенсивностями можно отобразить в отношении порядка между соответствующими им численными значениями.

Если М (х) ≠ М (у), то М (х) > М (у) или М (х) < М (у).

Хотя в формулировках первых двух правил мы использовали понятие числа, теоретически вполне допустимо сравнение различных экстенсивных величин и без чисел.

Но такое сравнение не будет столь эффективным, как в случае, когда оно осуществляется с помощью чисел.

Чтобы построить шкалу значений интенсивной величины и установить единицу для измерения, необходимо определить две крайние точки шкалы. Эти точки обычно соответствуют началу отсчета, или нулевой точке, и концу отсчета. Так, например, в метрической шкале Цельсия за нулевую температуру принимается температура замерзания воды, в качестве второго значения выбирается температура кипящей воды. Эти заранее выбранные точки шкалы устанавливаются с помощью специальных двух правил. Помещая теперь ртутный термометр сначала в замерзающую воду, а затем в кипяток, мы можем отметить уровни ртути в трубке термометра. Пользуясь термометром, мы можем точнее сравнить температуры двух тел, чем это можно сделать с помощью субъективных ощущений тепла. Такое сравнение по-прежнему можно осуществить с помощью понятий «больше», «меньше» или «равно».

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 21 Православное вероучение и богослужение.

Для перехода к количественным (метрическим) понятиям необходимо иметь проградуированную шкалу температур. В качестве шкал обычно используются изменения тех или иных физических свойств тел. В частности, в термометрах с ртутью или со спиртом наблюдения основываются на расширении их объема при нагревании и сжатии при охлаждении. Чтобы получить простую шкалу для измерения температур, следует принять такое важное правило: если разность между двумя любыми объемами столбика ртути равна разности между двумя соответствующими объемами, тогда шкала будет показывать одинаковую разность температур.

Если V(x1)-V(x2) = V(у1)-V(y2), то T(x1)-T(x2)=T(y1)-Т(у2).

Разделив шкалу на 100 равных частей, мы получим единицу измерения — градус. Аналогично определяются единицы измерения других интенсивных величии.

Измерение способствует формированию количественных понятий, хотя сами эти понятия непосредственно не возникают из процесса измерения. В противоположность этому сторонники операционализма утверждают, что каждое количественное понятие определяется с помощью тех эмпирических процедур, которые служат для измерения соответствующих величин. Однако в таком случае пришлось бы вместо одного понятия длины, температуры, силы тока и других количественных понятий ввести столько различных понятий, сколько существует эмпирических процедур для измерения этих величин.

Свежие статьи
Популярно сейчас