Геометрия лобачевского

4. Геометрия лобачевского

Перейдем к анализу другого открытия — открытия неевклидовой геометрии. Попытаемся показать, что и здесь речь шла о фундаменталь­ной проблеме. Рассматривая этот пример, мы выясним ряд других важных моментов истолкования фундаментальных открытий. Создание неевклидовой геометрии обычно представляется в виде решения известной проблемы пятого постулата геометрии Евклида. Эта проблема заключалась в следующем. Основу всей геометрии, как это следовало из системы Евклида, представляли пять следующих постулатов:

1) через две точки можно провести прямую, и притом только одну;

2) любой отрезок может быть продолжен в любые стороны до бесконечности;

3) из любой точки как из центра можно провести окружность любого радиуса;

4) все прямые углы равны;                            -    ,

5) две прямые, пересеченные третьей, пересекутся с той стороны, где сумма внутренних односторонних углов меньше 2d.

Уже во времена Евклида стало ясно, что пятый постулат слишком сложен по сравнению с другими исходными положениями его геометрии. Другие положения казались очевидными. Именно из-за их очевидности они рассматривались как постулаты, т.е. как то, что принимается без доказательств. Вместе с тем еще Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, т.е. положение, значительно более простое, чем пятый постулат. Отсюда ясно, почему к этому постулату всегда относились с подозрением и пытались представить его теоре­мой. И у самого Евклида геометрия строилась так, что сначала доказывались те положения, которые не опираются на пятый посту­лат, а потом уже этот постулат использовался для развертывания содержания геометрии.

Интересно то, что пятый постулат геометрии Евклида стре­мились доказать как теорему, сохраняя при этом убежденность в его истинности, буквально все крупные математики вплоть до Н.И. Лобачевского, Ф. Гаусса и Я. Больяи, которые в конце концов и решили проблему. Их решение складывается из следующих моментов:

Рекомендуемые материалы

— пятый постулат геометрии Евклида действительно является постулатом, а не теоремой;

— можно построить новую геометрию, принимая все Евклидовы постулаты, кроме пятого, который заменяется его отрицанием, т.е., например, утверждением, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное число прямых, парал­лельных данной;

В результате такой замены и была построена неевклидова геометрия.

Поставим теперь следующие вопросы.

— Можно ли считать, что только стремление доказать пятый постулат привело к созданию неевклидовых геометрий?

— Почему в течение двух тысячелетий ни у кого не возникало даже мысли о возможности построения неевклидовой геометрии?

Чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к истории науки.До Лобачевского, Гаусса, Больяи на Евклидову геометрию смотрели как на идеал научного знания. Этому идеалу поклонялись буквально все мыслители прошлого, считавшие, что геометрическое знание в изложении Евклида является совершенным. Оно представлялось образцом организации и доказатель­ности знания.                                          

У Канта, например, идея единственности геометрии была органи- ческой частью его философской системы. Он считал, что Евклидово восприятие действительности является априорным. Оно есть свойство нашего сознания, и потому мы не можем воспринимать действительность иначе. Вопрос о единственности геометрии был не просто математическим вопросом. Он носил мировоззренческий характер, был включен в культуру. Именно по геометрии судили о возможностях математики, об особенностях ее объектов, о стиле мышления математиков и даже о возможностях человека иметь точное, доказательное знание вообще. Откуда же тогда возникла сама идея возможности различных геометрий? Почему Н.И. Лобачевский и другие ученые смогли прийти к решению проблемы пятого постулата? Обратим внимание на то обстоятельство, что время создания неевклидовых геометрий было кризисным с точки зрения решения проблемы пятого постулата Евклида. Хотя математики занимались этой проблемой в течение двух тысячелетий, у них при этом не возникало никаких стрессовых ситуаций по поводу того, что она так долго не решается. Они думали, видимо, так

— геометрия Евклида — это великолепно построенное здание;

— правда, в ней имеется некоторая неясность, связанная с пятым постулатом, однако в конце концов она будет устранена.

Проходили, однако, десятки, сотни, тысячи лет, а неясность не устранялась, но это никого особенно не волновало. По-видимому, логика здесь могла быть такая- истина одна, а ложных путей сколько угодно Пока не удается найти правильное решение проблемы, но оно, несом­ненно, будет найдено. Утверждение, содержащееся в пятом постулате, будет доказано и станет одной из теорем геометрии. Но что же случилось в начале XIX в.? Отношение к проблеме доказательства пятого постулата сущест­венно меняется. Мы видим целый ряд прямых заявлений по поводу весьма неблагополучного положения в математике в связи с тем, что никак не удается доказать столь злополучный постулат. Наиболее интересным и ярким свидетельством этого является письмо Ф. Больяи его сыну Я. Больяи, который стал одним из создателей неевклидовой геометрии.

"Молю тебя,— писал отец,— не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий; ты затратишь на это все время, а предложения этого вы не докажете все вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных линии ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньюто­новских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совер­шенным даже в геометрии".

Почему такая реакция возникает только в начале XIX в.?

Прежде всего потому, что в это время проблема пятого постулата перестала быть частной, которую можно и не решать. В глазах Ф. Больяи она предстала как целый веер фундаментальных вопросов.

— Как вообще должна быть построена математика?

— Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях?

— Является ли она достоверным знанием?

— Является ли она вообще логически прочным знанием?

Такая постановка вопроса была обусловлена не только историей развития исследований, связанных с доказательством пятого постулата Она определялась развитием математики в целом, в том числе ее использованием в самых различных сферах культуры.

Вплоть до XVII в. математика находилась в зачаточном состоя­нии. Наиболее разработанной была геометрия, были известны начала алгебры и тригонометрии. Но затем начиная с XVII в. математика стала бурно развиваться, и к началу XIX в. она представляла довольно сложную и развитую систему знаний.

— Прежде всего под влиянием потребностей механики были созданы дифференциальное и интегральное исчисления.

— Значительное развитие получила алгебра. В математику органично вошло понятие функции (активно использовалось большое количество различных функций во многих разделах! физики).                                             

— Сложилась в достаточно целостную систему теория вероятности.

— Сформировалась теория рядов.

Таким образом, математическое знание выросло не только коли­чественно, но и качественно. Вместе с тем появилось большое число понятий, которые математики не умели истолковать.

— Например, алгебра несла с собой определенное представление о числе. Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной мере ее объектами. Но что такое отрицательные или мнимые числа, этого никто не знал вплоть до начала XIX в.

— Не было ясного ответа и на более общий вопрос, что вообще есть число?

— А что такое бесконечно малые величины?

— Как можно обосновать операции дифференцирования, интег­рирования, суммирования рядов?

— Что представляет собой вероятность?

В начале XIX в. никто не мог ответить на эти вопросы. Короче говоря, в математике к началу XIX в. сложилась в целом сложная ситуация.

— С одной стороны, эта область науки интенсивно развивалась и находила ценные приложения,

— с другой — она покоилась на очень неясных основаниях.

В такой ситуации по-другому была воспринята и проблема пятого постулата геометрии Евклида. Трудности истолкования новых понятий можно было понять так то, что неясно сегодня, станет ясным завтра, когда соответствующая область исследований получит достаточное развитие, когда будет сосре­доточено достаточно интеллектуальных усилий для решения проблемы.

Проблема пятого постулата существует, однако, уже два тысяче­летия. И до сих пор у нее нет решения. Может быть, эта проблема устанавливает некий эталон для истолкования современного состояния математики и уяснения того, что есть математика вообще?

Может быть, тогда математика — это вовсе и не точное знание?

В свете таких вопросов проблема пятого постулата перестала быть частной проблемой геометрии. Она превратилась в фундаментальную проблему математики.

Этот анализ дает нам еще одно подтверждение той идеи, что фундаментальные открытия суть решения фундаментальных проблем. Он показывает также, что фундаментальными проблемы становятся в рамках культуры, т.е., иначе говоря, фундаментальность исторически обусловлена. Но в рамках культуры не только формируются фундаментальные проблемы, в них, как правило, подготавливаются и многие компоненты их решения. Отсюда становится ясным, почему такие проблемы реша­ются именно в данный момент, а не в какое-либо иное время. Рассмотрим опять же в связи с этим процесс создания неевкли­довой геометрии. Обратим внимание на следующие интересные фраг­менты истории исследований в этой области. Доказательства пятого постулата Евклида проводились на протя­жении двух тысячелетий, но при этом они считались задачей второго рода, т.е. постулат представлялся теоремой Евклидовой геометрии. Это была задача с четко фиксируемым фундаментом для ее разрешения.

Однако во второй половине XVIII в. появляются исследования, в которых высказывается мысль о неразрешимости данной проблемы. В 1762 г. Кюгель, публикуя обзор исследований этой проблемы, приходит к выводу, что Евклид был, по-видимому, прав, считая пятый постулат именно постулатом. Независимо от того, как относился к своему выводу Кюгель, его вывод был очень серьезным, так как провоцировал следующий вопрос: если пятый постулат геометрии Евклида действительно является посту­латом, а не теоремой, то что же такое постулат? Ведь постулатом считалось положение очевидное, а потому не требующее доказательства.

Но подобный вопрос уже не являлся вопросом второго рода. Он представлял уже метавопрос, т.е. выводил мысль на философско-методологический уровень.

Итак, проблема пятого постулата геометрии Евклида начинала порождать совсем особый род размышлений.                                     

Перевод этой проблемы на метауровень придал ей мировоззренческое звучание.                      

Она перестала быть проблемой второго рода.

Другой исторический момент. Весьма любопытными представля­ются исследования, проводившиеся во второй половине XVIII в. Лам­бертом и Саккери. Об этих исследованиях знал Кант, который не случайно говорил о гипотетическом статусе геометрических положений. Если вещи-в-себе характеризуются геометрически, то почему бы им, ставил вопрос Кант, не подчиняться какой-либо иной геометрии, отлич­ной от Евклидовой? Ход рассуждений Канта был навеян идеями абст­рактной возможности неевклидовых геометрий, которые высказывались Ламбертом и Саккери.

Саккери, пытаясь доказать пятый постулат геометрии Евклида в качестве теоремы, т.е. смотря на него как на проблему ординарную, использовал способ доказательства, называемый "доказательством от противного". Ход рассуждений Саккери был, вероятно, следующим. Если мы примем вместо пятого постулата утверждение, ему противоположное, соединим его со всеми другими утверждениями Евклидовой геометрии и, выводя следствия из такой системы исходных положений, придем к противоречию, то тем самым мы докажем истинность именно пятою постулата.

Схема этого рассуждения очень проста. Может быть либо А, либо не-А, и, если все остальные постулаты истинны и мы допускаем не-А, а получаем ложь, значит, истинно именно А. Используя этот стандартный прием доказательства, Саккери стал развертывать систему следствий из своих предположений, стремясь обнаружить их противоречивость. Таким образом он вывел около 40 теорем неевклидовой геометрии, но противоречий не обнаружил.

Как же он оценил складывающуюся ситуацию? Считая пятый постулат геометрии Евклида теоремой (т.е. задачей второго рода), он просто заключил, что в его случае метод "доказательства от противного" не работает. Итак, смотря на эту проблему как на проблему второго рода, он, имея в руках новую геометрию, не смог правильно истолковать ситуацию.

Отсюда следуют два вывода:

1.5 Базис. Координаты. Размерность - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

— во-первых, в определенном смысле новая геометрия появилась в культуре уже до того, как была открыта неевклидова геометрия.

— во-вторых, именно верная оценка проблемы пятого постулата, т.е. трактовка ее как проблемы первого, а не второго рода, позволила Н.И. Лобачевскому, Ф. Гауссу и Я. Больяи прийти к решению проблемы и создать неевклидову геометрию. Надо было понять саму возможность создания таких геометрий. Саккери допускал ее лишь как логическую, сделав конструктивный шаг в решении проблемы евклидовского постулата в тради­ционном стиле. Но он вовсе не рассматривал ее всерьез. Как и вслед за ним Кант, считавший, что неевклидовы геометрии невозможны, хотя и логически допустимы.

Таким образом, история не только подготавли­вает проблему, но и во многом определяет на­правление и возможность ее решения.

Рассмотрим в таком ракурсе коперниканскую революцию.

Как хорошо известно, вовсе не Коперник открыл гелиоцентриче­скую систему. Ее создал Аристарх еще в античности Может быть, Коперник не знал об этом? Да ничего подобного! Он знал и ссылался на Аристарха. Но тогда почему же говорят о коперниканской?

Дело в том, что Коперник перенес уже известную модель в совершенно новую культурную среду, поняв, что с ее помощью можно решить целый ряд проблем. В этом как раз и заключалась суть его революции, а вовсе не в создании гелиоцентрической системы.