Моделирование производственных процессов

· 7. Моделирование производственных процессов

· 7.1. Дискретные производственные процессы (ДПП)

Это производственные процессы, связанные с поточным производством штучных изделий (труб, часов, автомобилей и т. д.). Математическое моделирование ДПП необходимо на этапе проектирования производственного процесса. Имитационное моделирование динамики ДПП используется наряду со статическими расчетами и оценками.

Процесс разделяется на элементарные действия. Элементарные действия должны быть достаточно простыми и удобными для их описания с помощью стандартных математических схем. После этого необходимо построить математическое описание взаимодействия элементарных действий и получить общее математическое описание процесса. Элементарные действия или группы действий называют производственными операциями. Технологические операции (обработка детали, сборка изделия и т. д.), контроль качества изделий, упаковка – типичные операции.

Разделение процесса на элементарные действия можно провести множеством способов, процесс разделения не является формальным. Операция приводит к изменению свойств объекта, над которым произведена операция, то есть необходимо определить совокупность характеристик (свойств) объекта. Если производство работает, технологические линии установлены, то проблема в грамотной эксплуатации и настройке оборудования. Тогда операцию можно рассматривать, как оператор, изменяющий свойства объекта.

Модель производственной операции может быть представлена как динамическая система (детерминистическая и стохастическая), а модель производственного процесса как многоуровневая сложная система.

Многообразию производственных операций сопоставляют три абстрактные операции:

1. операция обработки;

2. операция сборки;

Рекомендуемые материалы

3. операция управления.

Система характеристик полуфабрикатов (заготовки, изделия, детали, сборные узлы и т. д.):

4. Начальный момент времени рассмотрения полуфабриката в связи с данным производственным процессом.

Пусть i – номер станка (агрегата, линии и т.д.), j – номер полуфабриката определенного типа;  t_ij – момент поступления  j-го экземпляра полуфабри­ката к i-му станку (иногда t₁ – начальный момент в истории полуфабриката, в других случаях вводят t_0j – момент появления полуфабриката в производственном процессе.

Пример. t_0j – момент выхода заготовки из нагревательной печи; t_1j – момент поступления к станку, выполняющему первую операцию; t_j – момент поступления j-го экземпляра к какому-то станку; {t_j} – может быть детерминированной или случайной. Для детерминированных {t_j} часто используется определение t; через t_j-1 по формуле

,

где Dt – постоянная величина. Для случайных {t_j} используют два вида формализации

а) – случайное отклонение от детерминированных t_j;

б) t_j – случайный поток однородных событий.

Количественные характеристики полуфабриката (размеры, температура, координаты, твердость, вязкость и др.) – непрерывные распределения характеристик).

Качественные характеристики полуфабриката (годен – не годен, проверен – не проверен, прошел – не прошел (обработку на данном станке), смазан – не смазан, окрашен – не окрашен и т.д.) – дискретные распределения случайных величин обычно принимающих значения {0, 1}. Иногда случайная величина принимает конечное множество значений годен (высший класс, первый, второй и т. д.). Дискретные признаки вида полуфабриката также появляются при кодировании вида полуфабриката {1, 2, 3, …}.

Характеристики полуфабриката разделяются на:

5. координаты состояния (изменяются по ходу производственного процесса);

параметры (фиксированы в рамках данного производственного процесса).

Операция обработки – такое элементарное действие над полуфабрикатом, в результате которого изменяется хотя бы одна координата состояния полуфабриката.

Пример.

6. Изменение размеров полуфабриката (резанье, ковка, штамповка и т.д.).

7. Изменение положения полуфабриката в пространстве (транспортировка, повороты).

8. Сообщение дополнительного признака (окрашен, проверен).

Иногда к обработке относят естественные акты производственного процесса – остывание, высыхание, окисление.

Замечание. Любой комплекс оборудования, обеспечивающий выполнение операции обработки будем называть станком. Каждая операция обработки выполняется формализованным станком.

· 7.2. Математическое описание операции обработки

Пусть t^н – момент начала операции обработки; t^оп – длительность обработки (оп – операция). Пусть заданы значения всех состояний a_k(t) полуфабриката для t £ t^н. Требуется определить значения  для t ³ t^к, где t^k = t^н + t^оп – момент окончания операции обработки.

Математическое описание операции обработки в общем случае имеет вид

,

где b_I – параметры станка, могут быть случайными величинами.

Кроме этого, необходимо определить режим функционирования станка во времени. Пусть  - момент поступления j-го экземпляра полуфабриката к станку; t^г – время на подготовку станка к выполнению следующей операции и t^г = t^к + t^г – момент готовности станка к выполнению операции.

Пусть операция может начаться в любой момент когда:

9. станок готов к работе;

10. очередной полуфабрикат поступил.

Тогда, если дополнительные простои оборудования исключаются, то

.

Любые дополнительные простои станка могут быть учтены путем включения в t^г.

Замечание. В случае процессов с централизованным управлением производственными циклами, например, когда режим работы станков обработки деталей жестко синхронизирован с режимом сборки изделий на конвейере, предполагают, что операция обработки может начаться только в моменты времени, отстоящие друг от друга на величину t^т – длительность такта, т. е. допустимыми моментами начала операции могут быть следующие: t₀ + kt^т, k = 0, 1, 2, … При этом станок должен быть готов к работе и полуфабрикат должен поступить, т. е. должно выполняться:

.

Если для некоторого k=k^* неравенства выполнены, то

.

Величины t^г, t^т, t^оп могут быть случайными. t^г - обычно случайная величина, закон распределения которой зависит от характеристик станка, а иногда от характеристик полуфабриката. t^т – обычно детерминированная величина, зависящая от свойств станка. t^оп – зависит от свойств станка и от параметров полуфабрикатов. Например, длительность обработки металлов резанием зависит от размеров полуфабриката, а длительность горячей штамповки от температуры. t^об – может быть детерминированной, зависящей от свойств станка или случайной зависящей от параметров станка и полуфабрикатов.

Абстрактная операция сборки – предполагает участие нескольких (не менее двух) полуфабрикатов. Различают ведущий полуфабрикат (сборный узел) и ведомые полуфабрикаты (детали, присоединяемые к узлу).

Для многих производственных процессов выбор ведущего полуфабриката в качестве ведущего оказывается условным, особенного для первых сборочных операций.

Абстрактная операция сборки – элементарное действие производственного над ведущим и ведомым полуфабрикатами, в результате которого изменяется значение хотя бы одной из координат состояния ведущего полуфабриката за счет присоединения к нему ведомых, а соответствующие ведомые полуфабрикаты прекращают существование.

Начало операции сборки t^н. Пусть t^п – момент поступления узла,   - моменты поступления деталей. Тогда

.

· 7.3. Математическое описание процессов сборки и управления

Операцию сборки удобно представить в виде следующих этапов.

11. Установка деталей на узле.

12. Крепление деталей.

13. Регулировка узла.

Длительность операции

,

где t^у – длительность установки; t^кр – длительность крепления; t^рег - длительность регулировки.

Операции обработки и сборки составляют фундамент любого производственного процесса.

Операции управления дают информацию необходимую для согласованной работы элементов производственного комплекса. Например, регулирование скорости производственного процесса, регулирование усилий, температуры или других основных параметров, распределение полуфабрикатов между параллельно работающими станками или линиями, выработка признаков прекращения или возобновления подачи полуфабрикатов к станку или линии в зависимости от длины очереди, контроль хода производства и качества продукции и т. п.

Считаем, что существует некоторый набор оборудования, называемый управляющим устройством, который обеспечивает выполнение данной операции управления. Операцию управления может выполнять устройство или человек-оператор.

Переработка информации в управляющем устройстве. Пусть рассматривается комплекс производственного оборудования (станок, группа станков, технологическая линия) с параметрами b_k, k = 1, 2, …, m. Рассмотрим очередной i-й акт ПП, связанный с этим комплексом, например, операцию или группу операций, Значения параметров оборудования i-м акте ПП обозначим b_ki. Обозначим  - состояния полуфабрикатов до начала i-го акта,  – состояния после i-го акта. Операция управления дает информацию о требуемых изменениях технологических режимов и строения производственного процесса (ПП) для данного комплекса производственного оборудования. Эта информация представляется в виде поправок Db_k к параметрам производственного оборудования

.

Пусть t^н – момент начала операции управления, t^оп – длительность, t^к = t^н + t^оп – момент окончания.

Привязка операции управления (ОУ) к производственной операции. Иногда ОУ заканчивается до начала производственной операции, а начина­ется после поступления полуфабриката (в этом случае задача управления настроить станок на параметры полуфабриката). В другом случае требуется поддержать стабильное состояние параметра a₁ или стабильных режимов работы оборудования, тогда считают, что операция управления начинается после производственной операции. Бывает, что производственная операция и операция управления выполняются одновременно.

Нормальное течение ПП – все контролируемые параметры находятся в допустимых пределах. Выход параметров за допустимые пределы - нарушения (отклонения) течения ПП от нормального. Основные нарушения - расстройство режима синхронизации, выход из строя элементов оборудования и ремонт, периодические наладочные мероприятия.

Расстройство режима синхронизации. Идеальная синхронизация

.

Интервалы времени, определяющие синхронизацию отдельных актов ПП бывают случайными величинами. Следствием этого является ожидание, образование очереди полуфабрикатов у занятых станков или простои станков в ожидании полуфабрикатов.

Следствия расстройства режима синхронизации. Пусть очередной полуфабрикат поступил, а станок занят (выполняет операцию или находится в стадии подготовки к работе), тогда:

14. полуфабрикат ожидает начала операции и нормальное течение ПП не нарушается;

15. происходит срыв ПП, когда обрабатываемый полуфабрикат или поступивший или оба вместе исключаются из ПП, например, уходя в брак, с заданными вероятностями;

16. полуфабрикат ожидает начало операции в течении времени t^ис и если

,

то ПП протекает нормально, иначе в момент времени t^п + t^ис полуфабрикат исключается из ПП.

Уточнения, связанные с судьбой полуфабриката исключенного из ПП:

17. полуфабрикат уходит в брак;

18. полуфабрикат хранится вблизи станка и поступает на обработку в период простоя станка из-за отсутствия полуфабрикатов;

19. полуфабрикат дорабатывается вручную или иным способом.

Случай 2 подразумевает появление нового параметра станка – объем местного склада для ожидающих полуфабрикатов. В общем случае t^ис - случайная величина с заданным законом распределения. Иногда t^ис детерминированная, зависящая от состояния и параметров полуфабрикатов.

Меры по борьбе с переполнением местного склада. Если n – количество полуфабрикатов на складе и n < n^*, то ПП протекает нормально. При n = n^* подача полуфабрикатов прекращается. Иногда это приводит к срыву работы некоторых станков или ПП в целом.

Расстройства синхронизации из-за задержек в поступлении полуфабрикатов влекут за собой простои станков. Если

,

т. е. в момент t^г полуфабрикат еще не поступил, то возникают следующие возможности:

20. станок не работает до момента t^п и нормальное течение ПП не нарушается;

21. станок работает вхолостую, нормальное течение ПП не нарушается;

22. происходит срыв ПП.

Замечание. В случае 2 учитывается время холостой работы станка для подсчета времени наработки оборудования.

Появление брака. Пусть полуфабрикат появляется в результате выполнения j-й операции на i-м станке. Рассмотрим  - вероятность того, что полуфабрикат бракованный (- вероятность того, что полуфабрикат годный).

Вероятность  зависит от параметров полуфабриката и параметров станка. Наиболее существенной является зависимость от параметров станка, которые описывают его состояние как функцию времени на интервале времени, прошедшего от момента последней наладки станка. Иногда брак является следствием факторов, влияющих на параметры полуфабриката.

Срыв процесса из-за недостаточной надежности оборудования. В случайные моменты времени выходят из строя отдельные элементы производственного оборудования (ПО). Пусть станок обеспечивает выполнение операции обработки и состоит из устройств (блоков), которые будем называть первичными элементами. Каждый блок может находиться в двух состояниях: исправен, неисправен. Выход блока из строя – случайное событие.

Пусть t^отк – длительность безотказной работы блока (случайная величина). Рассмотрим функцию распределения F(t) случайной величины t^отк

.

При моделировании часто считают, что

 - плотность распределения,

где l - среднее количество отказов, приходящееся на единицу времени (интенсивность отказов).

Площадь кривой : S = 1.

Среднее время T_ср безотказной работы определяется формулой

.

В общем случае произвольного распределения t^отк получаем

.

Закон распределения t^отк или другие вероятностные характеристики (среднее значение, дисперсия и др.) определяют по опытным данным на основе статистического материала.

Последствия отказов. Судьба полуфабрикатов:

23. полуфабрикат уходит в брак, то есть при выходе из строя блока появляются дефекты в полуфабрикате;

24. полуфабрикат уходит в брак с вероятностью p^бр или остается годным с вероятностью 1- p^бр;

25. если полуфабрикат остался годным, то его обработка продолжается после ввода станка в строй;

26. если полуфабрикат остался годным, то он дорабатывается вручную или на резервном оборудовании.

После ремонта отказавшего оборудования возможно продолжение обработки полуфабриката. Перед началом операции обработки для t^оп было сгенерировано значение t¢, но это значение не было реализовано из-за отказа оборудования. Операция выполнялась некоторое время t^*<t¢.

27. После ремонта операция продолжается в течение времени t¢-t^* (время доработки полуфабриката).

28. Иногда время доработки оказывается отличным от t¢-t^*.

28.1. Время доработки меньше t¢-t^*, то есть вместе с ремонтом производится наладка станка, смена или заточка резцов и т. д., что способствует ускорению обработки полуфабриката.

28.2. Время доработки больше t¢-t^* (повторный ввод оборудования в режим или исправление дефектов, вызванных отказом).

Появляется новая случайная величина t^д – время дополнительной обработки полуфабриката после отказа оборудования и ремонта. Закон распределения t^д зависит от параметров станка и полуфабриката.

Состояния станка после отказа блока:

29. при выходе из строя блока, выходит из строя весь станок;

30. при выходе из строя блока, снижается качество работы станка (увеличивается вероятность брака, снижается время между наладками, увеличиваются отклонения состояний изделий  после операции от их требуемых значений.

Для станка важно знать: сколько времени понадобится на ремонт и когда станок будет готов к работе. Предполагается, что сломанный блок может быть отремонтирован (заменен) в течение интервала времени t^рем. t^рем – случайная величина с законом распределения, зависящим от характеристик используемого оборудования.

Принципы описания отказов и их следствий, описанные для операции обработки, сохраняются и для операции сборки и управления.

Типы отказов оборудования.

31. Быстрый ремонт (замена детали). Другие блоки не затрагиваются.

32. Длительный поиск и устранение неисправности. Затрагиваются многие блоки, производится их наладка

Пусть t^отк – время безотказной работы в случае быстрого ввода оборудования в строй;  - время безотказной работы в случае длительного ремонта. t^отк и  - случайные величины с законами распределения F(t) и . Начало отсчета для t^отк,  - момент окончания последней наладки станка.

Предположение. Если отказ первого типа, то t^отк отсчитывается с момента отказа, временем ремонта пренебрегаем. Если отказ второго типа, то определяются:  - время ремонта,  - момент ввода в строй. Затем в момент  определяются новые реализации случайных величин t^отк и  и работа модели начинается заново.

Влияние износа или нарушения взаимодействия блоков оборудования на судьбу полуфабриката и станков:

1. В результате износа увеличивается доля бракованных изделий после операции. Пусть p^бр является функцией t - t^н, t^н – момент окончания последней наладки оборудования. На практике используется p^бр(t):

,

где t^кр – момент времени, начиная с которого сказывается износ оборудования. Иногда

.

Нужный характер зависимости обеспечивается подбором параметров g и s.

33. Износ оборудования приводит к увеличению разброса координат состояний полуфабриката после операции, т. е.

,

где  - дисперсии координат a₁, a₂, …, a_n состояний полуфабриката до операции;  дисперсии координат  состояний полуфабриката после операции.

Износ оборудования приводит к увеличению среднего значения t^оп (иногда и дисперсии t^оп).

Для предупреждения износа производится наладка оборудования.

Формализация процесса наладок (прерывание ПП).

34. Период T^н между последовательными наладками имеет постоянную длительность.

35. Очередная наладка производится в момент когда  (– суммарное время работы станка).

36. Очередная наладка назначается когда вероятность брака p^бр, дисперсии  параметров изделия после операции или разброс длительности t^оп выходят за допустимые пределы

t^н – длительность наладки, в общем случае случайная величина. Иногда очередная наладка производится после каждого полученного бракованного изделия или полуфабриката.

· 7.4. Организация очереди и подсчет средней длины очереди

Очередь, с которой мы встречаемся в быту, предполагает накопитель Н. если в каждый момент поступления заявки знать длину очереди L_i, то среднюю длину можно определить по формуле

,

где n – количество заявок.

Пусть в одноканальную систему поступила i-я заявка в момент t_i. Пусть L[I - 1] – количество заявок в очереди на момент t_i-1. В очереди находятся заявки, которые могут дождаться и пройти обслуживание. Заявка либо обслуживается, либо стоит в очереди, либо получила отказ.

Пусть ТН[J] – J = 1, L[I --1], ТН[J] – момент поступления заявки, находящейся в очереди с момента t_i-1. Пусть t^обсл – момент времени поступления заявки, которая обслуживается в момент t_i. Тогда время начала  обслуживания заявки определяется как

Если  и , то заявка попадет в очередь и будет обслужена. При таком подходе мы увидим в очереди лишь те заявки, которые будут обслужены, что не соответствует реальности.

Будем считать основанием для включения в очередь само появление заявки. Сколько заявка находится в очереди? Пока не дойдет до начала обслуживания. В момент начала обслуживания принимается решение об обслуживании или исключении, т. е. в момент  заявка исчезает из очереди, она либо начинает обслуживаться, либо попадает в отказ. То есть при появлении заявки t_i – она запоминается в очереди ТН(J) = t_i, L[I] = L[I - 1] + 1. В момент , L[I] = L[I] - 1, т. е. очередь увеличивается в момент поступления нового t_i и уменьшается в момент начала обслуживания, точнее, принятия решения об обслуживании или исключении. На первом шаге для t₁ очереди нет и канал свободен.

Важно, что происходит раньше появление t_i+1 или принятие решения . Если t_i+1 раньше, то очередь растет, если  раньше, то очередь убывает.

Вывод. Точками изменения очереди являются не только t_i, но и , т. е. формулу для среднего надо изменить.

Может быть случай, когда L[I] = 0 – заявки поступают редко и успевают обслуживаться, очереди нет, или заявки поступают часто, что приводит к образованию очереди. Алгоритм должен все это обрабатывать.

Свойства очереди.

37. Каждая заявка попадает сначала в очередь.

38. В очереди могут быть заявки с произвольными номерами (неоднородность по времени обслуживания).

39. Длина очереди изменяется в момент поступления очередной заявки и в момент принятия решения об обслуживании или отказе.

Обратите внимание на лекцию "12. Частотные критерии устойчивости импульсных систем".

Заявки. t[I] – моменты появления заявок , t[I] Î [t₀, t₀ + T], t[I + 1] > t[I]. По реализации можно сформировать массив t^н[I] – моментов начала обслуживания I-й заявки, которая будет обслужена и массив N[I] – номеров заявок, которые будут обслужены.

.

Если

.

Нужно сформировать объединенный массив  и каждому  сопоставить количество заявок в очереди.

Для очереди нужен массив моментов рассмотрения i-й заявки t^р[I], i-я заявка рассматривается после (i - 1)-й и в тот момент, когда для нее подойдет момент начала обслуживания, т. е. от t_i до t^н[I] заявка в очереди.