Анализ экономической системы

Тема 7. Анализ экономической системы

Методические вопросы анализа. Идентификация объекта

Под идентификацией объекта обычно понимают опре­деление его характеристик и приложенных к нему воздействий. В статистических задачах вероятностные характеристики внешних воздействий получаются путем обработки наблюдений. С помощью статистических мето­дов также находят и характеристики объекта.

Экономический объект, подлежащий идентифика­ции, чаще всего представляется перед исследователем как "черный ящик", обозреваемый со стороны его входов и выходов. Его идентификация реализуется с помощью экономико-статистической модели, описывающей зависимо­сти между входными и выходными перемен­ными. Будем полагать, что выходы взаимонезависимы, тогда задача идентификации объекта с n - выходами сво­дится к идентификации n - одновыходных "черных ящи­ков".

Построение экономико-статистической модели вклю­чает два последовательных этапа:

1. Выбор формы связи между переменными, выражен­ной в виде уравнения регрессии выходной перемен­ной Y на входные переменные Х_s (S=1,…, m)

2. Оценивание параметров регрессии.

Для первого этапа определяющее значение имеет каче­ственный анализ процесса, реализуемого объектом. Чаще всего для целей моделирования используют поли­номы и степенные функции.

Рекомендуемые материалы

Для второго этапа основным вопросом является вы­бор способа оценивания, обеспечивающего необходи­мые свойства получаемых оценок (состоятельность, несме­щенность, эффективность).

Наиболее распространенным является метод наимень­ших квадратов (МНК). Оценки, получаемые этим методом, будут несмещенными, оптимальными, если соблюдаются следующие условия:

1. Переменные Х_s контролируемые (то есть неслу­чайны), взаимонезависимы;

2. Отклонение ε, наблюдаемых значений перемен­ных от линии регрессии являются статистически неза­висимыми, случайными величинами со сред­ним равным нулю и конечной дисперсией;

3. Переменные X_s не коррелированны с возмуще­нием ε.

Статистические данные о входных и выходных пере­менных могут быть получены путем одномоментных наблюдений над множеством однотипных объектов или по временным рядам, получаемым в результате наблюде­ния траектории входов и выходов объекта.

При изучении экономических объектов чаще всего приходится прибегать ко второму способу формирования статистической информации.

 В силу самих свойств системы как совокупности взаимодействующих объектов между их состояниями суще­ствуют статистические связи, характер которых зави­сит от структуры системы. Естественно попытаться оценить их с помощью моделей охватывающих два множе­ства переменных:

1. g₁(t) ,…,  g_k (t);

2. X1(t),…,  X_m (t)

и формируемой в виде системы уравнений связей:

           (4.1)

где F_j            –  функции, выбранные на основе теоретиче­ских предпосылок, качествен­ного анализа и других соображений;

С₀, С₁, ..., C_τ –  параметры, оцениваемые по наблюде­ниям;

ε _j                  –  ненаблюдаемые случайные возмущения.

Такая модель может рассматриваться как стохастиче­ское обобщение детерминированной эконо­мико-математической модели (где ε _j  = 0).

Аппроксимация статистической зависимости

Пусть в результате наблюдений множество однород­ных объектов, получено n – пар значений (X_i, Y_j ) входной и выходной переменных. Анализ показывает, что Х и Y являются величинами случайными и можно предположить наличие стохастической связи между ними. Примем переменную Х за аргумент, а Y за функ­цию.

 Предположим, что в исходной совокупности стохас­тическая зависимость между указанными перемен­ными описывается уравнением регрессии Е (у) = F(x), где:

 Е (у) –математическое ожидание у, вид и пара­метры которой нам неизвестны. Но мы располагаем упомя­нутой выборкой из n  пар значений аргумента и слу­чайной функции Y(x). Задачей идентификации явля­ется:

1. выбрать функцию Y=F(x,C), аппроксимирую­щую функцию f(x), заданную выборочной табли­цей;

2. определить ее параметры и оценить на этой ос­нове параметры регрессии Y на X генеральной со­вокупности.

Предположим, что Х_τ и Y_τ - интенсивности входа и выхода изучаемого объекта, наблюдаемые в фиксирован­ные моменты времени (τ = 1,…, n). Ряды Х_τ и Y_τ явля­ются реализациями случайных нестационарных процес­сов. Поэтому при формировании зависимости:

Y (t) = F[x(t), C]                               (4.2)

необходимо учитывать особенности временных ря­дов, порождаемых этими процессами.

В общем случае наблюдаемые значения Y_τ формиру­ются в результате естественного переплетения следующих компонентов ряда:

1. регулярный компонент ỹ=ỹ_τ характеризующий об­щую тенденцию изменения во времени изучаемого показа­теля. Его называют тенденцией или трендом ряда;

2. периодический компонент со средним значением, равным нулю. Он образуется как совокупность наложен­ных друг на друга колебаний с различными периодами;

3. чисто случайных компонент, значения ε_τ которого не коррелированны. Обычно предполагают, что они не зави­сят от указанных выше компонентов.

Задача анализа временного ряда сводится к его преоб­разованию, обеспечивающему выделение (фильтра­цию) того или иного компонента, определяемого целью исследования, и к оценке его параметров. Выделяемый компонент рассматривается при этом, как полезная состав­ляющая ряда, а остальные как помехи.

Таким образом, речь идет о выборе преобразова­теля, называемого в данном случае фильтром, на вход которого поступает временная последовательность Y_τ .Его выходом является предписанная функция полезной составляющей ряда.

Пусть исследуемый ряд является реакцией дискрет­ного аддитивного случайного процесса, образован­ного суммой двух независимых составляющих: ре­гулярный Ỹ_τ, с математическим ожиданием, завися­щим от времени, и стационарной случайной помехи ε_τ  с математическим ожиданием равным нулю:

Y_τ = Ỹ_τ + ε_τ                                      (4.3)

Составляющую Ỹ_τ  будем считать тенденцией.

Нашей задачей является оценка ее параметров в ис­ходном процессе (4.3) по выборке из n-пар значений Y_τ и τ, доставляемой наблюдаемым рядом.

 Эта процедура осуществляется с помощью линей­ного преобразователя, на вход которого поступает последо­вательность Y_τ. Его выходом должна быть предпи­санная функция Y-непрерывная, аппроксимирую­щая составляющую Ỹ_τ (τ = 1,…, n).

Указанное преобразование обычно называют сглажи­ванием ряда, а математическую модель - сглажи­вающим фильтром.

В качестве аппроксимирующей функции чаще всего выбирают полиномы и экспоненты с постоянными параметрами:

                                         (4.4)

                       (4.5)

В некоторых случаях выделение компонента может быть осуществлено путем авторегрессивного преобразова­ния наблюдаемого ряда. Текущее значение контролируемого показателя зависит от его значения в предшествующие моменты времени, а его изменение за наблюдаемое время близко к стационарному. Тогда для модели процесса можно принять функцию:

                                    (4.6)

в которой параметры β_Ө подлежат оценке.

Оценка надежности регулярной составляющей, полу­ченной путем обработки временного ряда, основыва­ется только на изучении внутренней структуры его остаточных членов έ_τ. Можно рекомендовать следую­щую процедуру такой оценки:

1. Отфильтруем тенденцию и переходим к анализу отклонений от нее на основании ряда

      ε_τ = y_τ – Y_τ.                                         (4.7)

2. Если анализ процесса не дает оснований предпола­гать в нем наличие колебаний, то принимают гипо­тезу, что остатки (4.7) не коррелированы. Обычно огра­ничиваются автокорреляцией первого порядка и, если она незначительно отличается от нуля, то гипо­теза не отклоняется. Следовательно, модель мо­жет быть описана соотношением Y_τ  = у_τ  + ε_τ ,  где ε_τ   - случайные помехи взаимно независимы.

Предположим, что:

                          ;

                          ,

где ε_хτ  и ε_уτ   - стационарные случайные отклонения.

Для построения аппроксимирующей функции F и оценки ее параметров можно применить два способа.

При первом способе из обоих рядов исключаются тен­денции и затем решается задача оценки параметров регрессии У на Х, оперируя с отклонениями ε_х и ε_у как рядами независимых случайных величин.

Второй способ базируется на теореме Фриша  и Воу, согласно которой регрессия, построенная по отклоне­ниям от линейных тенденций, эквивалентна пря­мому включению времени как дополнительного фактора в уравнение регрессии для самих переменных.

 Нахождение параметров эмпирической

 зависимости методом наименьших квадратов

Бывают случаи, когда сама измеряемая величина за время измерений меняется вследствие непостоянства дру­гой величины, связанной с ней. В этих случаях будет наблюдаться статистический разброс, приводящий к случай­ным погрешностям. Этот разброс будет происхо­дить не относительно неизменного "истинного" значения или среднего значения измеряемой величины, а относи­тельно изменяющегося «истинного» значения.

Пусть в результате эксперимента мы получили ряд из­менений величины Y: у₁, у₂,...,у_n, соответствующих значе­ниям аргумента t₁,t₂, ...,t_n, которые могут быть пред­ставлены на графике в виде точек. Необходимо устано­вить эмпирическую зависимость между Y и t.

Очевидно, если соединить последовательно все эти точки, то получим ломаную линию, которая ничего об­щего не будет иметь с искомой зависимостью Y=f(t). Форма этой ломаной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений. Измеренные значения Yi будут в общем случае смещены относительно иско­мой кривой  Y=f(t) как в сторону больших, так и в сто­рону меньших значений, вследствие статистического раз­броса.

Задача состоит в том, чтобы по данным эксперимен­тальным точкам провести кривую, которая проходила бы как можно ближе к истинной функциональ­ной зависимости Y = f(t).

Теория вероятностей показывает, что наилучшим при­ближением будет такая кривая линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кри­вой будет минимальной. Этот метод называется мето­дом наименьших квадратов.

Предположим, что искомая зависимость выража­ется функцией Y = f(t, a₁, ..., a_m), где а_i – параметры. Значе­ния этих параметров определяются так, чтобы точки у_i располагались по обе стороны кривой у = f(x) как можно ближе к последней, то есть чтобы сумма квадра­тов отклонений измеренных у_i от функции Y=f(t) была бы наименьшей. Разброс точек Y_i относительно кри­вой Y=f(t) подчиняется закону нормального распределе­ния. Мерой этого разброса является диспер­сия σ² или ее приблизительное выражение - средний квад­рат отклонения.

                        (4.8)

Функция f(а) принимает минимальные значения при а = а_min, если ее первая производная , а ее вторая производная . При этом значение а = а_min. Для функций многих переменных эти условия заменяются требова­нием, чтобы частные производные, то есть. производные по параметру а_i удовлетворяли вышеупомянутым усло­виям, причем все остальные параметры a_i (j≠i) при вычисле­нии произвольных считаются постоянными.

Таким образом, из условий минимума получаем сис­тему уравнений для определения наилучших значе­ний параметра:

 (i=1,…,m;m<n)  (4.9)

Обычно форму зависимости у=f(t, a₁, ..., a_n) задают в виде полинома

          (m<n-1)      (4.10)

или в виде любой другой системы линейно-независи­мых функций φ_k(t):

        (4.11)

достаточно хорошо передающей общий ход зависимо­сти y=f(t). В случае выбора f(t) в виде (4.10) урав­нение (4.9) примет следующий вид:

   

В случае выбора разложения функция в форме (4.11) уравнение (4.9) примет следующий вид:

  

Решение этих систем линейных уравнений позво­ляет однозначно определить коэффициенты а_i разложе­ния Y=f(t). Изложенный выше способ применения ме­тода наименьших квадратов можно обобщить и на некото­рые случаи нелинейных зависимостей f(t, A) напри­мер:

Y = f(t, α, γ) = α e ^{-γ t}              (4.14)

В этом случае целесообразно искать минимум суммы  квадратов отклонений логарифмов этих же функ­ций:

то есть к системе уравнений

Решение которой дает значение параметров γ и ln α

                  

 Нахождение параметров линейной зависимости Y(t)=d+bt

Рассмотрим нахождение параметров линейной зависи­мости на следующим примере.

Пример №1. При изменении электрического сопротив­ления R проволоки при разной температуре tc (из семи серий измерений) получены следующие результаты:

                                                                                                  Таблица 4.1

                         

Найдем температурную зависимость сопротивле­ния проволоки R=R₀+at, используя метод наименьших квад­ратов.

1. Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

Из этого условия, дифференцируя его сначала по  R₀, а затем по a  получаем уравнения:

  далее  раскрывая скобки получаем:

Из первого уравнения выразим R₀:

                               

и подставляя это выражение во второе уравнение полу­чим:

         

       из него определим значение a

          

       

Подставляя в формулы численные значения полу­чаем:

Обратите внимание на лекцию "5.8. Обзор рынка программных продуктов".

     Ом/град

                                 Ом

       

 Таким образом, мы получаем

                    Ом.

Проведенный сравнительный анализ результатов изме­рения и результатов полученных по данной линей­ной зависимости показал (Таблица 4.1), что отклонение незна­чительно и составляет 0.01 в сумме по всем сериям.