Система. Элемент системы

Тема 2.  Система. Элемент системы

Говоря о системе, обычно имеют ввиду совокупность элементов и реализующиеся между ними определенные интересующие нас отношения с фиксирующими свойствами. Например, экономической системой можно назвать предприятие как совокупность цехов. Вместе с тем предприятие является лишь частью системы более высокого ранга – отрасли общественного производства.

Любой объект, принятый в качестве отправного, может быть представлен как элемент ( или подсистема) некоторой системы более высокого ранга и как система, по отношению к которой существуют некоторые совокупности систем более низкого ранга. Поэтому при анализе и проектировании конкретной системы возникает проблема определения того «участка» иерархии, которая входит в ее компетенцию и прежде всего элемента, принимаемого в качестве «первичного».

Любой объект обладает неограниченным множеством свойств. Однако при формировании системы над данным множеством объектов, принимаемых в качестве элементов, последние выступают как носители тех свойств, которые существенны для изучаемых функций. Так при планировании деятельности предприятия существенными свойствами его элементов (цехов) являются их производственные мощности и площади, количество рабочих, фонд заработной платы и тому подобные.

Элемент системы М – объект, выполняющий определенные функции и не подлежащий дальнейшему расчленению. Его связь с внешней средой, к которой в данном случае относятся  и другие элементы схемы, моделируются с помощью входов и выходов данного элемента. Предполагается, что через входы он испытывает воздействие на среды, а через выходы сам воздействует на нее (Рис 1.1).

Взаимодействие относительно обособленной системы со средой моделируется с помощью конечного числа входов и выходов.

Введем еще одно понятие - внутреннее состояние элемента. С его помощью количественно характеризуются существенные свойства самого реального объекта. Внутренне состояние элемента отображает интересующие нас потенциальные характеристики реального объекта, то есть количество информации, его пропускная способность и др.

Сопоставим с ним к-мерный вектор G, так, что попарно различным состояниям отвечают соответствующие значения этого вектора. Его компоненты (G₁, G₂, …, G_k) называют координатами состояния.

Векторы и множества допустимых значений их компонентов характеризуют возможные состояния элементов и интенсивности их входов и выходов. С их помощью описывается способ функционирования элемента.

Рекомендуемые материалы

                                                              (1.1)

Изменение состояния реального объекта не может происходить мгновенно. В элементе конкретной системы, моделирующем данный объект, этот переходной процесс описывается в общем случае системой дифференциальных уравнений, связывающих координаты состояния элементов с интенсивностями его входов.

Рисунок 1.1

При анализе и проектировании системы чаще всего имеют дело с зависимостями между входами элементов и его выходами. Это обуславливается тем, что конечной целью управления системы обычно является не приведение ее в заданное состояние, а достижение требуемого воздействия на внешнюю среду. Поэтому элемент рассматривается как динамический преобразователь входов в выходы:

{Y} = {Ω} {x, t} ,                 (1.2) 

где Ω  – символическое обозначение совокупности преобразования каждого входа в каждый выход.

Отметим важные частные случаи преобразования (1.2).

1. Если длительность переходного процесса в реальном объекте пренебрежительно мала в сравнении с длительностью рабочего процесса, то им пренебрегают и считают, что требуемые изменения его состояния происходят мгновенно то есть G=G(x). Тогда для данного случая зависимость (1.2) будет выглядеть как:

                {Y} = {Ω} {X}                (1.3)

и элемент рассматривается как статический преобразователь.

         2. Для линейного статического преобразователя соот­ношение (1.3) принимает вид:                      

                             Y=QX,                         (1.4)

где Q – матрица постоянных коэффициентов преобра­зований, т.е. параметров элементов.

 Связи в системе

Функционирование системы в качестве единого целого обеспечивается связями между ее элементами. В экономических системах связи могут организовываться в плановом порядке или складываться стихийно под воздействием рыночного механизма. Состав элементов и способов объединения определяет структуру системы. Формирование связей между элементами при их объединении в конкретную систему будем рассматривать как реализацию определенного соотношения над их входами и выходами.

Для описания системы будем пользоваться двумя способами:

1) Графический (схематический)

2) Аналитический – система уравнений

Схема преобразователя для упрощения будем обозначать с одним входом Х_i и одним выходом Y_j (Рис1.2.)

Точки α_i и β_i условные «концы» входа и выхода, не

Рисунок 1.2.

примыкающими к элементу, назовем входными и выходными полюсами. Противопоставим однозначно каждому из полюсов число d – допустимый диапазон (ограничение) интенсивности входа (выхода) и размерность r материального вещественного потока, протекающего через вход (выход).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.  Схемой над множеством элементов {М} назовем набор из {М}, для которого указано, какие их полюса считаются отождествленными (совмещенными). Причем отождествлять можно только полюса, к которым отнесена одна и та же размерность R. Отождествленному полюсу приписывается число d.

D = min (d_i, d_j)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Полюс схемы называется входным (внешним), если в него не поступают никакие выходы элементов схемы, в противном случае он считается выходным. Для полюсов схемы индуктивно определяется отношение подчиненности:

1. β à α – полюс β элемента подчинен полюсу α.

2. β à α и γ à β, то γ à α.

3. В остальных случаях отношение подчиненности не имеет места.

       По схеме (Рис 1.3.) легко определить какие из полюсов системы являются входными и выходными и какие из полюсов ее элементов отождествлены (совмещены). Скажем, полюс β₁ – результат отождествления выходного полюса элемента q₁(№1) и входного полюса элемента S (№5).

Обратим внимание на полюса b₄, g₂, d₂, которые лежат на замкнутой петле. Требование подчиненности этих полюсов будет соблюдено, если элементы φ(№4), Σ(№6) и f(№7) - преобразователи с запаздыванием их выходов относительно входов. В противном случае причинно обусловленная связь между ними пропадают и понятия «вход» и «выход» теряют смысл.

От схематического описания перейдем к аналитическому. При этом предполагается, что каждый из элементов выполняет преобразования свойственный ему до его подключения.

Рисунок 1.3.

Для каждого из ее элементов возьмем соответствующее ему уравнение связи между его входами и выходами с той оговоркой, что функциональные переменные переименовываются в соответствии с принятыми в системе. В нашем случае (для упрощения будем предполагать, что элементы являются статическими преобразователями) будут выглядеть следующим образом:

Y₁ = q_iX_i     (i=1.3)       

Y₆ = Y₃ + Y₄

Y₄ = φ(Х₄, Y₇)    

Y₇ = f (Y₅, Y₆)               (1.5)

Y₅ = Y₁ + Y₂                

Y_s = f₂ (Y₅, Y₆)

Число степеней свободы n системы определяется как разность между числом независимых переменных p и числом уравнений связи между ними c. В нашем случае c=8, p=12, n=4 то есть система обладает четырьмя степенями свободы.

При заданных четырех входах (Х_i) поведение детерминированной  системы будет однозначно определено функцией  Y = F [X_i (t)]  (i=1…4) описывающей траекторию выхода. Она может быть получена из (1.5) после соответствующих подстановок переменных.

Пример:

Y_i = q_{i *} X_i  (i=1,3,4);

Y₂ = X₂ + Y₆;

Y₅ = φ₁ (Y₁, Y₂);

Y₆ = φ₂ (Y₁, Y₂);

Y₇ = Y₅ + Y₃;

Лекция "Лекция 1" также может быть Вам полезна.

Y_S = f (Y₇, Y₄).