Экономико-математический анализ

Тема 11. Экономико-математический анализ полученных оптимальных  решений

 

Экономико-математический анализ - важный этап моделирования экономических задач. Любая модель лишь упрощенно, отражает реальный экономический процесс, и это упрощение сказывается как на исходной информации, так и на получаемых результатах. В связи с этим невозможно рассматривать процесс выборки решений как одноразовое аналитическое действие.

Экономико-математический анализ решений осуществляется в двух основных направлениях:

- вариантные расчеты по моделям с сопоставлением различных вариантов плана;

- анализ каждого из полученных решений с помощью двойственных оценок.

Вариантные расчеты могут осуществляться при постоянной структуре самой модели, но с изменением величины конкретных показателей модели или при варьировании элементов самой модели: - изменение критерия оптимальности, добавление новых ограничений на ресурсы или на способы производства, расширение множества вариантов и так далее.

Одно из эффективных средств экономико-математического анализа - объективно обусловленные оценки оптимального плана. Такого рода анализ базируется на свойствах двойственных оценок. Мы установили общие математические свойства двойственных оценок для задач на оптимум любой экономической природы. Однако экономическая интерпретация этих оценок может быть совершенно различной для разных задач.

Экономические свойства оценок Y_j оптимального плана:

Рекомендуемые материалы

1. Оценки как мера дефицитности ресурсов.

2. Оценки как мера влияния ограничения на функционал.

3. Оценки - инструмент определения эффективности отдельных вариантов.

4. Оценки - инструмент балансирования суммарных затрат и результатов.

                                                                                             

   Таблица 7.3

На основании информации в таблице 7.3. составим план производства, максимизирующий объем прибыли и проиллюстрируем свойства.

В результате решения задачи симплексным методом получим следующий оптимальный план:

X = (200; 400;0; 200; 0)

f(X) = 40X₁ + 60X₂ = 32000

Y = (40/3; 0; 20/3)

g(Y) = 2000y₁ + 1400y₂ + 800y₃ = 32000

Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов

         Объективно обусловленные оценки выражают степень дефицитности, ограниченности факторов производства по отношению к потребностям,  заданным целевой функции. Количественно степень дефицитности находит выражение в предельных оценках эффективности факторов производства и эффективности с точки зрения их вклада в целевую функцию. Все факторы, не лимитирующие производство, получат нулевые оценки.

 В нашем примере: объективно обусловленные оценки труда Y₁ = 40/3, оборудования сырья Y₂ = 0, Y₃ = 20/3. Это свойство вытекает из второй теоремы двойственности.

если Y_i > 0, то

если , то Y_i = 0, i = 1, ..., m

     Дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане () имеет положительную оценку Y_i > 0;  не дефицитный, не полностью используемый ресурс (для которого  ) имеет нулевую оценку Y_i = 0.

     В нашем примере сырье не является дефицитным ресурсом:

                4X₁ + X₂ ≤ 1400

                4_*200+ 400=1200<1400=b₂

                1200 < 1400

                Y₂ =0.

     Тогда как ресурсы, «труд» и «оборудование» используются полностью.

 

         Труд:                 2Х₁ + 4Х₂ ≤ 2000,      

                                2_*200 + 400 = 2000 = b₁;  Y₁ = 40/3.

     Оборудования: 2Х₁ + Х₂ ≤ 800,       

                             2_*200 + 400 = 800 = b₃; Y₃ = 20/3.

     Чем выше величина оценки Y_i, тем острее дефицитность i-го ресурса. В нашем примере труд более «дефицитен», чем оборудование 40/3 > 20/3.

Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал

Величина объективно обусловленной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на единицу (на основании теоремы об оценках   ∆f(x) = Y_i∆b_i). Так, в нашем примере увеличение фонда времени работы оборудования на один млн., (∆b₃ = 1) привело бы к росту максимальной прибыли на 6,6 единиц (∆f(x) =Y_i  ∆b_s=20/3_*1=6.6).

В связи с этим понятна и нулевая оценка, полученная для сырья. Поскольку сырье используется не полностью, то увеличение его запасов не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму его прибыли.

Однако, необходимо иметь в виду, что оценки позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений  объема ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими.

Значение второго свойства состоит в том, что оно позволяет выявить направление мероприятий по устранению «узких» мест, обеспечивающие наибольший экономический эффект, а также целесообразные изменения в структуре выпуска продукции с позиции общего оптимума.

Однако для данной функции оценок оптимального плана весьма существенное значение имеет их предельный характер.

 Точной мерой влияния ограничения на функционал являются оценки лишь при малом приращении ограничения.

Рассмотрим модель исходной задачи в матричной форме.

где  =(Х₁, Х₂, ..., Х_n) - вектор неизвестных,

       = (С₁,С₂,…,С_n) - вектор коэффициентов при неизвестных в целевой функции;

       В=(b₁,b₂,…,b_n) – вектор свободных членов ограничений исходной задачи.

      - матрица коэффициентов в системе ограничений.                             

Приведем задачу к канонической форме, для чего введем m дополнительных переменных. Задача примет вид:

где вектор неизвестных переменных Х будет теперь иметь размерность n+m. Размерность матрицы А также изменится и будет m(n+m).

Пусть известен оптимальный план. Разобьем вектор Х на 2 подвектора: Х^* > 0 и Х⁰ = 0. В первый включим неизвестные, вошедшие в базис оптимального решения, то есть ненулевые в оптимальном плане. Соответственно матрицу А разобьем на две подматрицы: А^* (размерностью m^. m) и A⁰ (размерностью m^. n).

Первую из них сформируют те столбцы матрицы А, которые соответствуют ненулевым неизвестным в оптимальном плане. Тогда матрица А^*. Х^* + А^0. Х⁰ = В. Так как произведение А^0. Х⁰ = 0, то А^*. Х^*=В.

Умножив обе части последнего равенства на матрицу, обратную матрице А^*, получим А^{*-1 .} А^*Х^* = А^{*-1 .} В. Так как произведение А^*-1А^* = Е, где Е - единичная матрица, то получим Х^* = А^{*-1 .} В. Обозначим А^*-1 через D , тогда

Х^* = D^. B                                      (7.12).

 

           Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска продукции Х. Изменим размер выделяемых ресурсов, то есть дадим приращение ∆В  вектору В. Тогда Х+∆Х = D (В+∆В) = DB + D∆B.

С учетом того, что Х=DB, можно записать выражение

              ∆Х = D∆B                                   (7.13).

Это соотношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске продукции при изменении ограничений исходной задачи.

Второе свойство двойственных оценок означает, что изменение значений величины b_i приводит к увеличению или уменьшению функций f(). Это изменение определяется величиной Y_i и может быть установлено лишь тогда, когда при изменении величин b_i значения переменных Y_i соответствующей двойственной задачи в оптимальном плане остаются неизменными. В связи с этим необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы линейных уравнений АХ = В, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Это имеет место тогда, когда среди компонент вектора Х = ВD отсутствуют отрицательные компоненты. При этом следует помнить, что элементы матрицы  D= А^*-1, обратной матрицы А, составленной из компонент векторов Х базиса, который определяет оптимальный план задачи, взяты из столбцов векторов, образующих первоначальный единый базис.

Исходя из этого, получаем следующие оценки нижних и верхних пределов устойчивости двойственных оценок при изменении каждого ограничения в отдельности. Пределы уменьшения (нижняя граница) определяются по тем X_k,  (k= 1,…,m)  для которых соответствующие элементы d_ki  > 0:

     для d_k,i > 0   (7.14)

             

Пределы увеличения (верхняя граница) определяются по тем X_k, для которых d_k,i < 0.

   для  d_k,i < 0         (7.15).

                                                    

Ослабление какого-либо i-го ограничения приводит к тому, что с определенного момента можно изменять структуру (набор векторов) в базисе плана, но это ведет к скачкообразному уменьшению величины оценки. Так продолжается до тех пор, пока i-й ресурс вообще перестанет быть дефицитным и оценка обратится в ноль.

Определим интервалы устойчивости двойственных оценок в нашем примере. Матрица А имеет следующий вид:

                               

После приведения задачи к канонической форме матрица А примет следующий вид:

                              

С ненулевыми значениями в оптимальный план вошли Х₁^* = 200, Х₂^* = 400, и Х₄^* = 200. Следовательно, матрица А^* будет составлена из первого, второго и четвертого столбцов матрицы А:

             

      

Для вычисления интервалов устойчивости необходимо найти матрицу D=A^*-1.

                         ;

При определении интервалов устойчивости по формулам (7.14, 7.15) примем:

      Х₁^* = 200 = Х_{k = 1}; Х₂^* = 400 = Х_{k = 2}; Х₄^* = 200 = Х_{k = 3}.

Интервалы устойчивости первого ресурса, труд, равны:

∆b₁^(-) = min {x₂/d₂₁; x₃/d₃₁} = min (400/1/3; 200/1/3) = min (1200; 600) = 600;

∆b₁⁽⁺⁾ = | max (x₁/d₁₁) | = | max (200/-1/6) | = 1200.

b₁ = {b₁ - b₁^(-); b₁+b₁⁽⁺⁾} = {2000 - 600; 2000 + 1200} = {1400; 3200}

То есть при изменении запасов ресурса «труд» в пределах 1400 до 3200 единиц его двойственная оценка не изменится.

 Второй ресурс «сырье» в оптимальном плане используются не полностью, и поэтому не имеет верхней границы интервалов устойчивости.

∆b₂^(-) =  (x₃/d₃₁) = 200/1 = 200;

b₂ =  {b₂ - ∆b₂^(-)  ; b₂ }= {1400 – 200; 1400} = {1200; 1400}.

Интервалы устойчивости третьего ресурса «оборудование» - равны:

∆b₃^(-) =  (x₁/d₁₃) = 200/ 2/3 =300;

∆b₃⁽⁺⁾ = | max {x₂/d₂₃; x₃/d₃₃} | = | max {-1200; -85,714} | = |85,714| =85,7144;

b₃ = (b₃-∆b₃^(-); b₃-∆b₃⁽⁺⁾) = {800-300; 800+85,714}= {500; 885,714}.

В нашем примере определим величину изменения объема прибыли от реализации продукции при увеличении ресурса «труд» на 12 единиц. Эти изменения находятся в интервалах устойчивости двойственных оценок, в связи с чем можно воспользоваться двойственностью оценок оптимального плана: ∆f(x) = 40/3^. 12 = 160=Y1∆b_i.

Следовательно, объем прибыли увеличится на 160 единиц.

Такой же ответ мы получили бы, если бы решили задачу с новыми ограничениями по ресурсу «труд».

Новый оптимальный план равен:

X₁^* =198;

X₂^* =404;

f(x)=32160.

∆ f(x)=32160-32000=160.

Как видно, структурных сдвигов не произошло, но значения переменных в плане изменились: продукции вида А может быть выпущено на две единицы меньше, а продукции вида Б – на четыре единицы больше. Значение целевой функции при новых ограничениях увеличится на 160 единиц.

Свойство 3. Оценки – инструмент определения  эффективности отдельных  вариантов с позиции общего оптимума

 

Это свойство вытекает из второй теоремы двойственности:

если  X_j > 0, то ,    j = 1, ..., n

если , то X_j = 0        j = 1, ..., n

 Согласно этим положениям, для положительных значений неизвестным в оптимальном плане (X_j > 0) соответствующие сопряженные условия в системе ограничений двойственной задачи обращается в равенство, а для нулевых значений (X_j = 0), не вошедших в оптимальный план, сопряженные с ними двойственные условия, обращаются в неравенства.

В рассмотренной задаче на получение максимальной прибыли величина Y_i – это оценка ресурса. Если ресурс «оборудование», то это прокатная оценка оборудования (тенге /станко-час). Она характеризирует ограниченность фонда времени работы оборудования i, что не позволяет применять i-е оборудования лишь при тех технологических способах. При одних технологических способах «недополучают» прибыль, а при других – используют менее эффективные ресурсы.

 В оптимальный план задачи на получение максимальной прибыли может быть включен лишь тот способ (вариант), для которого прибыль, недополученная из-за отвлечения дефицитных ресурсов, покрывается полученной прибылью C_j. Разница между недополученной и полученной прибылью служит характеристикой способа производства:

∆j = ,

если ∆j > 0, то производить невыгодно,

если ∆j ≤ 0 – производство выгодно.

С помощью объективно обусловленных оценок можно определять эффективность новых технологических способов производства и рентабельность новых изделий.

Вернемся к нашему примеру. Мы составили оптимальный план производства максимизирующий прибыль от реализации продукции. При этом были получены объективно обусловленные оценки используемых ресурсов. В дальнейшем предприятию были предложены на выбор три новых изделия, за счет которых можно расширить номенклатуру выпускаемых изделий. Затраты ресурсов на каждое изделие и прибыль от реализации представлены в следующей таблице 7.4.:

Таблица 7.4.

Определим изделия, выгодные для предприятия, с точки зрения принятия критерия.

Для решения задачи воспользуемся соотношением: ∆j =  и рассчитаем характеристики новых изделий.

Для изделия В: ∆В=6^. 40/3+0^.2+20/3^.3-80=20.

Следовательно выпускать это изделие невыгодно, то есть затраты на его изготовление не покрываются полученной прибылью  ∆В=100-80=20 >0. 

 Для изделия Г: ∆Г=4^. 40/3+20/3-70=160/3+20/3-70=180/3-70=60-70=-10, -10<0 – производство изделия  выгодно.

 Для изделия Д:   ∆Д=2^. 40/3+(20/3)^.2-45=80/3+40/3 - 45=40-45=-5, -5<0, то есть изделие выпускать выгодно.

Люди также интересуются этой лекцией: 6.3. Подходы к проектированию ИС.

Свойство 4. Оценки – инструмент балансирования

суммарных затрат и результатов

 Это свойство вытекает из первой теоремы двойственности, где устанавливается связь между функционалами прямой и двойственной задач, то есть f(x)=g(y).

 Это свойство позволяет в целом составить и сбалансировать затраты и результаты экономической системы. В широком смысле под результатом понимается вклад в достижение общей цели системы, а под затратами – упущенные возможности достижения этой цели.

В конкретных задачах такого рода соотношение затрат - результаты в точке оптимума (то есть равновесие затрат и результатов) имеет различное экономическое содержание.

В нашей задаче экономический смысл равенства функционалов прямой и двойственной задачи состоит в том, что максимум прибыли может быть получен лишь при минимуме недополученной прибыли от использования дефицитных ресурсов.