Последовательность преобразования аналогового сигнала
2.3 Последовательность преобразования аналогового сигнала в цифровой
Преобразование включает в себя три основные операции: дискретизацию по времени, квантование по уровню и кодирование.
Дискретизация по времени
Операция дискретизации состоит в том, что по заданному аналоговому сигналу s (t) (рис. 1.1 а) строится дискретный сигнал S (nT), причем s (nT) = s (t). Физически такая операция эквивалентна мгновенной фиксации выборки значения непрерывного сигнала s (t) в моменты времени t=nT, после чего образуется последовательность выборочных значений {s (nT)}.
Теоретически процесс дискретизации можно представить как умножение исходного сигнала s (t) на некоторую решетчатую функцию х(nТ) с единичной амплитудой (рис. 1.3). В качестве такой функции чаще всего используют дискретную дельта-функцию d ((n - m) Т) которая определяется следующим образом:
Тогда операция дискретизации будет эквивалентна амплитудной модуляции дельта-функции d((n-т) Т) функцией s (t)
Таким образом, смысл дискретизации по времени заключается в том, что некоторому непрерывному сигналу ставится в соответствие произвольный по величине и дискретный по времени сигнал. Естественно, что такая замена допустима лишь в тех случаях, когда дискретный сигнал полностью представляет исходный.
Рекомендуемые материалы
Каким должен быть интервал Т между отдельными отсчетами? При малом интервале между отсчетами их количество будет большим и точность последующего восстановления сигнала также будет высокой. Но будет иметь место избыточность информации. Если же интервал между отсчетами взять большим, то количество отсчетов уменьшится, однако погрешность восстановления непрерывного сигнала может оказаться больше допустимой. Оптимальным следует считать такой интервал между отсчетами, при котором исходный сигнал с заданной точностью представляется минимальным числом отсчетных значений. В этом случае все отсчеты будут существенными для восстановления исходного сигнала.
Способ дискретизации, согласно которому выбираются интервалы между отсчетами целесообразно оценивать по величине ошибки восстановления исходной функции. Поскольку дискретный сигнал s (nT) в моменты времени t = nT сохраняет информацию об аналоговом сигнале s (t), то последний, может быть восстановлен. Для этого дискретный сигнал достаточно пропустить через фильтр низких частот (ФНЧ), полоса которого соответствует полосе частот исходного сигнала. Тогда в идеальном случае восстановленный сигнал SВОССТ(t) –на выходе такого фильтра будет идентичен исходному сигналу s (t). Схема дискретизации и восстановления исходного сигнала изображена на рис. 1.3.
Условие, при котором восстановление исходного сигнала s (t) по его дискретным значениям s (nТ) будет возможным, сформулировано в известной теореме В. А. Котельникова (теорема отсчетов):
Всякий непрерывный сигнал, имеющий ограниченный частотный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга на интервалы времени Т = 1/(2×Fmax), где .Fmax — максимальная частота в спектре сигнала.
Иначе, дискретизация по времени не связана с потерей информации, если частота дискретизации fД = 1/Т в два раза выше указанной верхней частоты сигнала Fmax.
Согласно теореме Котельникова, нет необходимости передавать бесконечное множество всех значений непрерывного сигнала s(t), достаточно передавать лишь те его значения (рис. 1.2), которые отстоят друг от друга на расстоянии T = 1/(2×Fmax). Для восстановления сигнала s(t) на вход идеального фильтра низких частот, имеющего полосу пропускания частот от 0 до Fmax, необходимо подать последовательность узких импульсов с амплитудой, соответствующей дискретным отсчетам сигнала s(t,) в моменты времени t = nT
Использование теоремы Котельникова встречает определенные трудности: допущение об ограниченности частотного спектра для реальных сигналов никогда не выполняется. Так, любой ограниченный во времени непериодический сигнал всегда имеет бесконечный спектр. Поэтому определение верхней границы частотного спектра Fmax обычно производится приближенно (например, по критерию 90%-ного содержания энергии или средней мощности сигнала).
Учитывая сказанное, частоту дискретизации по времени обычно принимают в 1,5 -2,5 раза больше значения, рассчитанного по теореме Котельникова, т.е. fД = (3-5)Fmax.
Квантование по уровню
Квантованием сигнала по уровню называется замена непрерывной шкалы уровней сигнала s(t) дискретной шкалой уровней. Если мгновенное значение уровня сигнала находится внутри интервала, расположенного между двумя дозволенными дискретными уровнями, то вместо него передается значение, соответствующее ближайшему дозволенному уровню. Необходимость квантования вызвана тем, что цифровые вычислительные устройства могут оперировать только с числами, имеющими конечное число разрядов.
Квантование по уровню может осуществляться с равномерным или неравномерным шагом. При равномерном квантовании динамический диапазон изменения сигнала делится на L—1 равных частей (т. е. интервалы между всеми уровнями квантования одинаковы). При неравномерном квантовании деление производится на L — 1 неравных частей. Таким образом, получаем шкалу уровней квантования.
Динамический диапазон сигнала s(t) делится на интервалы, называемые шагами квантования. Уровни квантования при этом располагаются внутри шагов квантования. Шаг квантования обычно обозначают Dх, и для i-го уровня шаг квантования будет Dxi. Если значение сообщения в некоторый момент времени (обычно этот момент совпадает с моментом взятия отсчета по времени s(nT)) находится внутри i-ro шага квантования Dxi, то значение сообщения заменяется значением i-го уровня si(nT). Оптимальным в смысле точности воспроизведения квантованного сигнала является расположение уровня квантования в середине шага квантования. Процедура квантования по уровню представлена на рис. 1.4.
Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. При равномерном квантовании (Dx = const) число разрешенных дискретных уровней xi составляет
L = (smax – smin)/Dx,
где smax и smin — соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала. Чем меньше значение Dх, тем меньше получаемая ошибка — шум квантования, которая вычисляется как разность между текущим значением сигнала в момент времени s(nT) и его дискретным представлением si(nT):
d(si) = s(nT) - si(nT).
Если в результате квантования любое из значений сигнала s(t), попавшее в интервал (si(nT)—Dх/2; si(nT) + Dх/2), округляется до si(nT), то возникающая при этом ошибка d(si) не превышает половины шага квантования, т. е.
max |d(si)| = 0,5×Dх
Если функция x(t) заранее неизвестна, а шаг квантования Dх достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала (smax – smin) , то принято считать ошибку квантования d(si) случайной величиной, подчиняющейся равномерному закону распределения. Тогда, как показано на рис. 1.5, плотность вероятности f(d) для случайной величины d принимает значение 1/Dx) внутри интервала (-Dх/2; +Dх/2) и равна нулю вне этого интервала. В данном случае дисперсию D [d] ошибки квантования d находят как
Если максимальная разность (при равномерном квантовании) между истинным значением сообщения и квантованным значением не превышает Dx/2, то среднеквадратичная ошибка квантования при этом составит
Обратите внимание на лекцию "Журналистская информация как товар".
,
т. е. будет меньше максимальной ошибки в 
раз.
Кодирование
Уровни квантования образуются путем разбиения всего диапазона, в котором изменяется аналоговый сигнал, на ряд участков, каждому из которых присваивается определённый номер. Эти номера кодируются заранее выбранным кодом. Поскольку цифровые системы оперируют с двоичными числами, т. е. числами, выражающимися в виде поразрядных комбинаций всего двух цифр — «нулей» («0») и «единиц» («1»), то номера уровней квантования также кодируются двоичным кодом, а их число L выбирается равным 2n, где n – количество разрядов двоичного числа.
Если сигнал однополярный, то все двоичные коды 2n уровней будут выражать положительные значения аналогового сигнала.
Очевидно, что единственным способом уменьшения погрешности квантования является увеличение числа разрядов кода, которым обозначаются уровни квантования. Каждое увеличение разрядности кода на единицу вдвое увеличивает число уровней квантования и, следовательно, вдвое уменьшает погрешность квантования. Но какой бы высокой ни была разрядность кода, погрешность квантования всегда будет присутствовать.
