Геометрические модели плоских объектов

Лекция 8

Геометрические модели плоских объектов

Основные понятия

Положение точки в пространстве Rⁿ (n-мерном пространстве) задается радиус-вектором p=[p₁, p₂, …, p_n],  имеющим n координат p₁, p₂, …, p_n и разложение по n линейно-независимым базисным векторам e₁, e₂, …, e_n :

.

Таким образом положение точки на плоскости определяется радиус-вектором точки p=[p_x, p_y]= p_xe_x +p_ye_y или p=[r, φ] в полярной системе координат.

Расстояние между двумя точками p1 и p2 равно:

Линия на плоскости  может быть задана с помощью уравнения в неявной форме:

Рекомендуемые материалы

(НФ)        f(x,y)=0;

или в параметрической форме:

(ПФ)      p(t)=[x(t), y(t)].

В любой регулярной (гладкой и некратной) точке на линии p₀=[x₀, y₀]=p(t₀) возможна линеаризация кривой, т.е. проведение к ней касательной прямой, уравнения которой имеют вид

(НФ)         N_x(x - x₀) + N_y(y - y₀) = 0    или    N ◦ (p - p₀) = 0,

(ПФ)         x(t) = x₀ + V_x t,   y(t)= y₀ + V_y t   или   p(t) = p₀ + Vt.

Вектор нормали N=[N_x, N_y] ортогонален линии и направлен в ту сторону, где f(p)> 0.

Направляющий вектор линии  V=[V_x, V_y]  начинается в точке p₀ и направлен по касательной к p(t) в сторону увеличения  t.

Векторы N и V ортогональны, т.е.  N ◦ V = 0  или  N_xV_x + N_yV_y = 0.

Связь вектора нормали и направляющего вектора:

N=[V_y, - V_x],       V=[-N_y, N_x]

Способы описания (модели) прямой линии

Неявное уравнение прямой задается тремя коэффициентами A, B и D, составляющими вектор F=[A, B, D]:

(НФ):              Ax+By+D=0.

Хотя бы одно из чисел A или B должно быть ненулевым.

Если оба коэффициента ненулевые (A≠0 и B≠0), то прямая проходит наклонно к осям координат и пересекается с ними в точках (-D/A, 0) и (0, -D/B).

При A=0, B≠0 уравнение By+D=0 описывает горизонтальную прямую y= –D/B .

При A≠0, B=0 уравнение Ax+D=0 описывает вертикальную прямую x= –D/A.

Прямая проходит через начало координат: f(0,0)=0 при D=0.

Благодаря свойству прямой разделять плоскость на две полуплоскости с противоположными знаками, неявное уравнение позволяет определять положение точки (точек) на плоскости относительно прямой:

1) точка q лежит на прямой, если f(q)=0;

2) точки a и b лежат по одну сторону от прямой, если f(a)∙f(b)>0;

3) точки a и b лежат по разные стороны от прямой, если f(a)∙f(b)<0.

Для построения прямой по неявному уравнению необходимо и достаточно иметь либо две несовпадающие точки p₀ и p₁, через которые она проходит, либо точку p₀ и направляющий вектор V, с помощью которого вторая точка p₁ вычисляется как p₁=p₀+V.

Из неявного уравнения прямой   N=[A, B] Þ  V=[-B, A].

Нормальное уравнение прямой – прямая описывается с помощью точки p₀ и вектора нормали N и выводится из условия ортогональности векторов N и (p-p₀) для всех точек p, принадлежащих прямой    f(p)=N◦(p-p₀).

Неявная функция позволяет оценить положение точки p относительно вектора нормали прямой:

● при f(a)>0  точка a лежит в том же полупространстве, куда направлена нормаль, а угол  Ð(a-p₀, N) острый;

● при f(b)<0 угол Ð(b-p₀, N) тупой, а точка b и нормаль находятся по разные стороны от прямой.

Параметрическая функция прямой p(t)=p₀+Vt, где
V=[-N_y, N_x] удобна для задания и построения частей прямой – отрезков и лучей. Для этого необходимо указать пределы изменения параметра t:

● бесконечный интервал -¥<t<¥ не ограничивает протяженность бесконечной прямой;

● при t³0 получается луч, выходящий из точки p₀ в бесконечность в направлении вектора V;

● конечный интервал t₀≤t≤t₁ определяет отрезок прямой между точками p₀+Vt₀ и p₀+Vt₁.

Благодаря левой ориентации направляющего вектора V относительно вектора нормали N эквивалентная нормальной форме функция

позволяет определить положение точки относительно направления движения по прямой:

● при f(a)>0  точка a лежит справа от точки p₀, так что угол  Ð(a-p₀, V) положительный;

● при f(b)<0 угол Ð(b-p₀, V) отрицательный, а точка b лежит слева от точки p₀.

Неявная форма уравнения прямой, проходящей через две точки a=[a_x, a_y] и b=[b_x,b_y], выводится из условия принадлежности прямой этих точек и точки p=[x,y].

Выбрав направление движения по прямой от точки a к точке b, получим направляющий вектор V=b-a и параметрическую модель линии:

(ПФ):   x(t)=a_x+(b_x-a_x)t,   y(t)= a_y+(b_y-a_y)t   или   p(t)=a+(b-a)t.

Условие существования прямой очевидное:   V≠0, т.е. a≠b.

При изменении параметра  t от 0 до 1 движение точки происходит внутри отрезка ab от точки a до точки b.

Взаимное расположение графических элементов на плоскости

1. Три точки p₁, p₂, p₃ коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой, если

(p - a) ◦ (b - p)= |p - a|·|b - p| ,

.

Взаимное расположение прямых.

1. Две прямые совпадают, если  F₁ × F₂ =0₃  (векторное произведение равно нулевому вектору).

2. Две прямые параллельны, если

3. Две прямые ортогональны, если N₁◦ N₂=0 или V₁◦ V₂=0.

Взаимное расположение точки и прямой

1. Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
q=[q_x, q_y] на прямую, выглядит следующим образом:

(НФ):   N_y(x-q_x)-N_x(y-q_y)=0,

(ПФ):   p_┴(t)=q+Nt  или p_┴(t)=q+V_┴t , где  V_┴=[V_y, -V_x]=N.

2. Расстояние от точки q до прямой равно:

3. Зеркальное отражение точки q относительно прямой лежит на перпендикуляре к прямой на  расстоянии 2d от q в сторону, противоположную проекции вектора q-p₀ на нормаль N:

Пересечение двух прямых.

Пусть имеются две прямые, заданные уравнениями в НФ:

A₁x+B₁y+D₁=0           и          A₂x+B₂y+D₂=0,

тогда координаты точки пересечения вычисляются следующим образом:

Возможны следующие три случая:

1. A₁B₂-A₂B₁≠0, т.е. A₁/A₂≠B₁/B₂ – прямые не параллельны, точка пересечения единственная и ее координаты вычисляются по вышеприведенным формулам.

2. A₁B₂-A₂B₁=0, D₁B₂-D₂B₁≠0 или A₁D₂-A₂D₁≠0 – прямые параллельны и точек пересечения нет.

3. A₁B₂-A₂B₁=0, D₁B₂-D₂B₁=0 и A₁D₂-A₂D₁=0, т.е. прямые совпадают во всех точках.

Угол между двумя пересекающимися прямыми находится как угол между векторами нормали или направляющими векторами Ð(N₁, N₂) = Ð(V₁, V₂).

Уравнения пучка прямых и биссектрисы угла

Уравнение пучка прямых, заключенных между двумя, прямыми определяется следующим образом:

(НФ)

Информация в лекции "6.2. Организационно-технические мероприятия по световой маскировке" поможет Вам.

(ПФ)

Изменение параметра пучка в интервале 0≤λ≤1 дает такие промежуточные прямые, что вращение происходит по кратчайшим углам.

Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми получается  при λ=0,5, если |N₁|=|N₂| или |V₁|=|V₂|. В результате параметры биссектрисы можно найти по формулам

F_бис=|N₂|F₁+|N₁|F₂,      p_бис(t)=q+V_бисt,            V_бис=|V₂|V₁+|V₁|V₂.

Расчет биссектрис бывает необходим, например, при построении окружности, вписанной в треугольник. Как известно, ее центр лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов этого треугольника. При построении биссектрисы внутреннего угла следует учитывать направления подставляемых в формулу векторов сторон треугольника: они должны либо оба выходить из вершины, либо оба входить в нее. При несоблюдении этого правила по указанной формуле будет проведена биссектриса дополнительного угла треугольника, а окружность окажется вневписанной.