Синтез дискретных систем

ЛЕКЦИЯ № 22

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ

ЖЕЛАЕМЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

План лекции:

1. Требования к динамике системы и их учет при решении задачи синтеза.

2. Построение желаемых логарифмических псевдочастотных характеристик.

3. Непрерывная коррекция импульсных систем.

22.1. Требования к характеристикам  системы и их учет при решении задачи синтеза.

Рекомендуемые материалы

        

Задача синтеза состоит в построении системы, обладающей желаемыми характеристиками.

         Одним из наиболее распространенных методов синтеза является метод желаемых логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЖЛАЧХ), позволяющий сформировать систему с требуемыми  статическими и динамическими характеристиками. При его использовании задается неизменяемая часть системы и указываются возможности введения тех или иных корректирующих устройств. Требования, предъявляемые к системе, формулируются как требования к ее логарифмическим амплитудным  псевдочастотным характеристикам (ЛАПЧХ).

         Метод ЖЛАЧХ позволяет учитывать следующие основные требования:

         а) требования к точности системы в установившемся режиме;

         б) требования к запасам устойчивости и качеству процессов управления (колебательность, перерегулирование и так далее);

         в) требования к быстродействию системы.

         Для импульсных систем, помимо перечисленных требований могут формулироваться требования непосредственно к цифровому алгоритму управления, например, алгоритм коррекции должен быть устойчивым, может быть задан максимальный порядок алгоритма коррекции и так далее.

         В соответствии с этими требованиями строятся желаемые ЛАПЧХ (ЖЛАПЧХ). Задача синтеза состоит в определении корректирующего устройства, при котором система в целом имеет характеристики, близкие к желаемым.

         Рассмотрим, каким образом при построении ЖЛАПЧХ учитываются требования, предъявляемые к системе.

         Требования к точности часто формулируются как требования к величине ошибки в установившемся режиме при отработке типового воздействия. Типовым воздействием обычно является гармонический сигнал с амплитудой Авх и частотой , то есть:

.

         Ошибка , устанавливающаяся в системе по окончании переходного процесса, определяется выражением:

         ,                       (22.1)

 где - передаточная функция  замкнутой системы по ошибке.

Из приведенной выше формулы (22.1) следует, что :

 .

Если ошибка  не должна превышать известную величину , то для этого достаточно потребовать, чтобы , то есть

 .                                                            (22.2).

Как известно из ранее рассмотренного материала, связь между ПФ разомкнутой системы W(z) и ПФ   для одноконтурной импульсной системы задается выражением:

 .

Так как на частоте   обычно справедливо приближенное равенство:

,

то условие (22.2) можно записать в виде:

Учитывая, что в рабочем диапазоне частот псевдочастота приближено равна действительной круговой частоте,  в последнем выражении можно перейти  к псевдочастоте:

    ,                                   (22.3)

где  .

Неравенство (22.3) представляет собой ограничение, накладываемое на низкочастотную часть ЛАПЧХ. ЛАПЧХ разомкнутой ИС должна проходить выше точки с координатами:

.

Требования к точности ИС могут формулироваться различным образом. Например, для статической системы может быть задана допустимая ошибка   отработки единичного ступенчатого воздействия. Тогда коэффициент усиления системы должен удовлетворять условию:

.

Устойчивость замкнутой системы может контролироваться с помощью запасов устойчивости. Понятие запасов устойчивости по амплитуде и фазе даны при рассмотрении ЛАПЧХ. Отметим только, что обычно принимают запасы устойчивости по амплитуде и фазе не менее 10 Дб и 30⁰ соответственно.

Показатели качества переходного процесса, как и для непрерывных систем обычно определяются при воспроизведении системой ступенчатого входного сигнала. Это такие показатели, как время переходного процесса, перерегулирование и так далее.

Требования, предъявляемые к качеству переходного процесса, трудно сформулировать количественно в терминах частотных характеристик. Практически они обычно проверяются уже после синтеза, с помощью численного расчета переходных процессов в синтезируемой системе. Здесь возможны лишь некоторые частные рекомендации. Например, если в низкочастотной области, вплоть до частоты среза ЛАФЧХ ИС и приведенной НЧ совпадают, то для предварительной оценки времени регулирования и перерегулирования могут быть применены методы теории непрерывных систем. С помощью известных номограмм в зависимости от времени регулирования и перерегулирования может быть выбрана частота среза  для ЖЛАХ приведенной НЧ, совпадающая с .

22.2. Построение желаемых частотных характеристик.

Построение желаемых ЛАПЧХ является первым этапом синтеза. При этом учитываются предъявляемые к системе требования, а также возможности реализации желаемой ЛАПЧХ при заданной неизменяемой части системы.

Построение желаемых ЛАПЧХ для того или иного класса систем регулирования обладает своими особенностями.

Учитывая, что в низкочастотной области псевдочастотные характеристики импульсных систем совпадают с высокой степенью точности с частотными характеристиками, методика выбора низкочастотной части ЛАПЧХ ИС, совпадает с аналогичной методикой  для непрерывных следящих систем.

Параметры низкочастотной части ЛАЧХ выбираются на основании допустимого значения ошибки и вида воздействия.

Часто точный закон изменения управляющего воздействия неизвестен, а задана только максимальная скорость и максимальное ускорениеуправляющего воздействия. В этом случае удобно использовать эквивалентное синусоидальное воздействие , наибольшее значение первой производной которого равно заданному максимальному значению скорости, а наибольшее значение второй производной - максимальному значению ускорения:

.

Из этих соотношений амплитуда и частота эквивалентного синусоидального воздействия определяются по следующим зависимостям:

.

Учитывая, что в низкочастотной части ЛАПЧХ, псевдочастота практически совпадает с циклической частотой, можно сформулировать следующие требования к низкочастотной части ЛАПЧХ.

Заданная ошибка слежения в системе не будет превышена, если ЛАПЧХ разомкнутой системы проходит не ниже точки А_к (рис.22.1) с координатами:

Рис.22.1.

Рассмотрим крайние случаи, то есть если скорость сигнала на входе максимальна (), а ускорение убывает, то контрольная точка будет двигаться по прямой с наклоном -20 дБ/дек в диапазоне частот

При уменьшении  в 10 раз,  также уменьшится в 10 раз,а L_k увеличится на 20 дБ, следовательно наклон желаемой ЛАЧХ слева от частоты  равен 20 дБ/дек.

Если же ускорение равно максимальному, а скорость убывает, то контрольная точка движется по прямой с наклоном -40 дБ/дек в диапазоне частот   .

Таким образом, низкочастотная часть характеристики определяется из условия точности системы в установившемся режиме работы. Наклон первой асимптоты соответствует требуемому порядку астатизма системы. В большинстве случаев порядок астатизма при синтезе системы не изменяется, и тогда наклон первой низкочастотной асимптоты совпадает с наклоном первой низкочастотной асимптоты приведенной непрерывной части.

Среднечастотный участок определяется быстродействием, которое связано с частотой среза  и такими качественными показателями системы, как запасы устойчивости по амплитуде и фазе. Он состоит из асимптоты с наклоном

-20 дБ/дек. Протяженность участка определяется требованиями к показателям качества. Так, чем данный участок длиннее, тем ближе переходный процесс к апериодическому.

Высокочастотная часть желаемой ЛАПЧХ определяется тем, что ПЧХ дискретной системы содержат неминимально-фазовые звенья типа .

Следовательно, если сформировать желаемую ЛАПЧХ без учета таких звеньев, то контур управления окажется неустойчивым, что, как правило, недопустимо. Таким образом, желаемая ЛАПЧХ должна содержать все неминимально-фазовые звенья, располагаемые  в характеристике дискретной системы.

И так, допустим система должна воспроизводить класс входных сигналов (заданы максимальные значения скорости и ускорения), с ошибкой не превышающей величину , и обладать заданными запасами устойчивости . Задан тип импульсного элемента (с экстраполятором нулевого порядка) и величина интервала квантования Т.

Порядок построения ЖЛАПЧХ в этом случае включает в себя следующие этапы:

1. Исходя из требований, предъявляемых к точности ИС формируется низкочастотная часть:

- определяем параметры эквивалентного гармонического сигнала;

- определяем псевдочастоту  и строим контрольную точку 20lg;

- строим запретную область для низкочастотной части;

2. Исходя из требований, предъявляемых к быстродействию выбираем частоту среза и проводим асимптоту в среднечастотной части ЛАПЧХ ИС с  наклоном -20 дБ/дек;

3. Сопрягаем низкочастотную область (вторую никочастотную асимптоту со среднечастотным участком. Частоту сопряжения  выбираем по возможности ближе к частоте . Это обеспечивает реализацию ЖЛАПЧХ с наименьшим коэффициентом усиления и требуемыми запасами устойчивости.

4. Так как располагаемая псевдочастотная характеристика обязательно содержит в числителе неминимально-фазовое звено  , то в качестве сопрягающей частоты среднечастотного участка с высокочастотным, выберем величину .                При построении фазовой характеристики следует учесть неминимально-фазовый характер высокочастотной асимптоты (рис.22.2).

Рис.22.2.

5. Проверяем обеспечение требуемых запасов устойчивости и при необходимости корректируем построенные характеристики варьируя коэффициентом усиления и частотами . Может встретиться случай, когда в системе необходимо обеспечить требуемый показатель колебательности. В этом случае на плоскости ЛАФЧХ строят запретную область по  колебательности системы и требуют, чтобы фазовая характеристика не заходила в нее.

Подробная методика учета колебательности описана в учебниках Солодовникова, Бессекерского и Попова.

22.3. Непрерывная коррекция импульсных систем.

После построения желаемых ЛАПЧХ необходимо определить корректирующие устройства, обеспечивающие достаточно хорошее приближение частотных характеристик синтезированной системы к желаемым.

         В ИС применяются непрерывный и дискретный способы коррекции. В первом варианте осуществляется коррекция введением в систему непрерывных фильтров, во втором - применением дискретных корректирующих устройств.

         Рассмотрим вкратце непрерывный способ коррекции.

         Непрерывное корректирующее устройство вводится в непрерывную часть системы последовательно или параллельно с имеющимися непрерывными звеньями, образуя местные обратные связи и так далее (рис.22.4).

         Далее, по построенной ЖЧХ  легко определить w- ПФ   и от нее с помощью обратного - преобразования, о котором говорилось выше, перейти к обычной ПФ ПНЧ синтезированной системы W_НЧ(p), то есть

.                                    (22.4)

         Непрерывное КУ должно обеспечить ЛАФЧХ непрерывной части, соответствующие ПФ (22.4). Исходя из схемы включения КУ, можно определить его ПФ.

Рис.22.4.

Когда мы рассматривали определение z-ПФ, то сформулировали правило: для случая, если непрерывные звенья не разделены ИИЭ, то необходимо сначала найти эквивалентную ПФ, а затем выполнять z-  преобразование.

         Рассмотрим более подробно определение W_КУ(p):

.

Но ПФ  содержит в себе и ПФ ОУ W_НЧОУ(p) и ПФ КУ W_КУ(p), то есть:

W_Ж(p)= W_НЧОУ(p)W_КУ(p).

Для получения W_КУ(p) необходимо осуществить деление W_Ж(p) на W(p):

W_КУ(p)= W_Ж(p)/ W_НЧОУ(p).

Так как

,

 при этом .

Недостатками такого подхода являются:

- W_КУ(p), как правило, имеет больше нулей, чем полюсов, то есть получаем физически нереализуемое корректирующее устройство;

Рекомендация для Вас - Лекция №3 Индивидуальное развитие организмов.

- трудно оценить влияние изменения параметров ОУ на ПЧХ.

         Таким образом, обычно такой способ не позволяет непосредственно определить ПФ корректирующих устройств, так как, либо оно не отвечает условиям физической реализуемости, либо оказывается слишком сложным.     

         Возможен другой подход к синтезу непрерывных корректирующих устройств. Он состоит в том, что сначала находят ЖЛАЧХ непрерывной части, которой соответствовали бы ЛАЧХ дискретной системы, удовлетворяющие предъявленным требованиям. Далее синтез корректирующих устройств ведется также, как и для непрерывных систем.

Здесь необходимо отметить, что приближенная реализация непрерывной коррекции может привести к существенному изменению ПФ W^*_w(w). При этом частотная характеристика   может отличаться от желаемой, причем заранее оценить эти отличия очень трудно.

         Таким образом, при изменении параметров и структуры коррекции невозможно заранее оценить последующие изменения ЛАФЧХ дискретной системы. Для этого нужно каждый раз выполнять  - преобразование и строить ЧХ. Поэтому синтез непрерывных КУ обычно представляет собой перебор различных вариантов с последующим анализом каждого из них и выбором наилучшего. От этого недостатка свободны другие способы коррекции, которые будут рассмотрены далее.