Нечеткие алгоритмы

Лекция № 5. Нечеткие алгоритмы

Понятие нечеткого алгоритма, впервые введенное Л.А. Заде, является важным инструментом для приближенного анализа сложных систем и процессов принятия решений. Под нечетким алгоритмом (fuzzy algorithm) понимается упорядоченное множество нечетких инструкций (правил), в формулировке которых содержатся нечеткие указания (термы).

Например, нечеткие алгоритмы могут включать в себя инструкции типа:

а) "х = очень малое";

б) "х приблизительно равно 5";

в) "слегка увеличить х";

г) "ЕСЛИ х - в интервале [4,9; 5,1], ТО выбрать у в интервале [9,9; 10,1]";

д) "ЕСЛИ х - малое, ТО у - большое, ИНАЧЕ у - не большое". Использованные здесь термы "очень малое", "приблизительно равно", "слегка увеличить", "выбрать в интервале" и т.п. отражают неточность представления исходных данных и неопределенность, присущую самому процессу принятия решений.

Две последние инструкции (г-д) представляют собой правила (или нечеткие высказывания), построенные по схеме логической импликации "ЕСЛИ-ТО", где условие "ЕСЛИ" соответствует принятию лингвистической переменной х некоторого значения А, а вывод (действие) "ТО" означает необходимость выбора значения В для лингвистической переменной у:

Рекомендуемые материалы

(х = А)→(у = В).

Указанные правила получили широкое распространение в технике. Механизм построения правил принятия решений в конкретной задаче выглядит при этом следующим образом. На основе заданной цели (рис.2.6) с помощью механизма упрощения, позволяющего выделить наиболее существенные и отсечь второстепенные факторы, определяется начальное состояние системы, желаемое конечное состояние и правила действий, переводящих систему в желаемое конечное состояние.

Набор таких правил, обеспечивающих получение "хорошего", как правило, приближенного решения поставленной задачи, реализуется с помощью механизма вывода.

Рассмотрим особенности выполнения нечетких правил на следующем простом примере. Допустим, что необходимо регулировать открытие охлаждающего вентиля φ_вых в зависимости от измеренного значения температуры воздуха Т_вх.

Рис 2.6 Построение правил принятия решений

Воспользуемся для этих целей двумя правилами, записанными в лингвистической форме, 1-е из которых имеет следующий вид:

ПРАВИЛО 1: "ЕСЛИ Температура = низкая, ТО охлаждающий вентиль = полуоткрыт".

Будем полагать, что нечеткие подмножества A₁ ("Температура = низкая") и B₁ ("Вентиль = полуоткрыт") определяются функциями принадлежности, приведенными на пис.2.7.

Рис.2.7. Функции принадлежности нечетких подмножеств А₁ и В₂

Если измеренное значение температуры Т_вх равно, например, 18 °С, то степень принадлежности этого значения подмножеству A₁ в данном конкретном случае составляет 0,2. Полагая, что меньшее значение степени выполнения условия "ЕСЛИ" должно сопровождаться уменьшением значений функции принадлежности вывода "ТО", ограничим возможные значения функции  на уровне 0,2, т.е. получим

                                                              (2.18)

(Соответствующая функция выделена в правой половине рис.2.7 заштрихованной площадью).

Сформулируем 2-е лингвистическое правило следующим образом: ПРАВИЛО 2: "ЕСЛИ Температура = средняя, ТО охлаждающий вентиль = почти открыт".

Функции принадлежности и , где А₂ и B₂ обозначают соответственно нечеткие подмножества, содержащиеся в условии и выводе правила 2, показаны на рис.2.8.

Рис.2.8. Функции принадлежности нечетких подмножеств A₁ и В₂

Степень принадлежности измеренного значения Т_вх = 18 °С подмножеству А₂ здесь равна уже 0,5. Следуя тому же приему, для функции принадлежности  получаем

                                                             (2.19)

Заметим, что приведенные выше правила 1 и 2 действуют совместно и связаны друг с другом с помощью союза "ИЛИ", т.е. можно записать: ПРАВИЛО 1: "ЕСЛИ Температура = низкая, ТО охлаждающий вентиль = полуоткрыт" ИЛИ

ПРАВИЛО 2: "ЕСЛИ Температура = средняя, ТО охлаждающий вентиль = почти открыт".

Но тогда результирующая функция принадлежности  для переменной  находится по формуле

                                            (2.20)

График полученной функции принадлежности представлен на рис. 2.9. Использованный в данном случае механизм логического вывода, выражающийся через операции нахождения минимума и максимума (2.18)-(2.20), получил название метода Максимума-Минимума (MAX-MIN- Inference).

Рис. 2.9. Функция принадлежности нечеткого множества

На практике часто используется еще один метод построения функции принадлежности выходного нечеткого множества, получивший название метода Максимума - Произведения (MAX-Product-Inference).

Суть этого метода заключается в следующем. При вычислении функций принадлежности вывода (заключения) "ТО" для каждого из правил осуществляется не ограничение их на уровне выполнения соответствующего условия "ЕСЛИ" (как это делалось в методе Максимума-Минимума), а пропорциональное уменьшение их значений в соответствии с уровнем выполнения указанного условия (рис. 2.10,а) с последующим использованием операции "ИЛИ" (рис. 2.10,6).

Важно отметить, что при использовании любого из указанных выше методов вывода (рис. 2.9, 2.10) результатом выполнения правил 1-2 является не конкретное число , а некоторое нечеткое множество, описываемое функцией принадлежности . В то же время данное решение не может считаться окончательным, поскольку сохраняется неопределенность выбора значения искомой переменной  внутри рассматриваемого интервала - носителя нечеткого множества .

Переход от полученного нечеткого множества к единственному четкому значению ()_о, которое и признается затем в качестве решения поставленной задачи, называется дефаззификацией (defuzzyfication).

Рис. 2.10. Построение механизма вывода с помощью метода

Максимума- Произведения

Перечислим некоторые из наиболее известных методов дефаззификации:

1. Метод Максимума - выбирается тот элемент нечеткого множества, который имеет наивысшую степень принадлежности этому множеству.

Если такой элемент не является единственным, т.е. функция принадлежности  имеет несколько локальных максимумов y₁, у₂, – y_m, то значениями , или если имеется максимальное "плато" между y₁ и у_m, то выбор среди элементов, имеющих наивысшую степень принадлежности множеству, осуществляется на основе определенного критерия.

2. Метод левого (правого) максимума - выбирается наименьшее (наибольшее) из чисел y₁, у₂, – ,y_m, имеющих наивысшую степень принадлежности нечеткому множеству.

3. Метод среднего из максимумов - в качестве искомого "четкого" значения у₀ принимается среднее арифметическое координат локальных максимумов .

4. Метод Центра Тяжести (Center-of-Area) –

в качестве выходного значения у₀ выбирается абсцисса центра тяжести площади, расположена под функцией принадлежности :

                                                                                            (2.21)

При необходимости вычисления у₀ на ЭВМ в реальном времени, с учетом реальных вычислительных затрат, обычно операцию интегрирования в (2.21) заменяют суммированием.

Существует простая возможность использования для этих целей взвешенного среднего значения

                                                                                                (2.22)

где у_i*, (i = l,2,...,n) – центральные значения нечетких подмножеств В_i(у) выходной переменной у; β_i – веса, учитывающие уровень выполнения условия "ЕСЛИ" 1-го правила, называемые также уровнями активности соответствующих правил; n - число правил вывода.

5. Модифицированный метод центра тяжести –

интегрирование (2.21) производится только в тех областях, где . Параметр используется здесь для подавления шумов, отсеивания влияния малосущественных для процедуры вывода факторов (на практике можно применять α = 0,05÷0,1).

Проиллюстрируем рассмотренные методы на примере дефаззификации  в процессе проектирования контейнерного крана с нечетким регулятором.

Метод центра максимума (СоМ)

Так как результатом нечеткого логического вывода может быть несколько термов выходной переменной, то правило дефаззификации должно определить, какой из термов выбрать.

Работа правила СоМ показана на рисунке.

Метод наибольшего значения (МоМ)

При использовании этого метода правило дефаззификации выбирает максимальное из полученных значений выходной переменной. Работа метода ясна из рисунка.

Метод центроида (СоА)

В этом методе окончательное значение определяется как проекция центра тяжести фигуры, ограниченной функциями принадлежности выходной переменной с допустимыми значениями. Работу правила можно видеть на рисунке.

На рисунках жирными стрелками выделены результаты процедуры дефаззификации, полученные соответственно методом центра тяжести и методом максимума. Незначительное различие полученных значений указывает на то, что выбор механизма вывода и метода дефаззификации может быть, вообще говоря, достаточно произвольным и во многом определяется соображениями простоты их вычислительной реализации.

В тех случаях, когда имеется несколько измеряемых входных переменных, механизм вычисления управляющих воздействий в принципе остается неизменным. Так, на рис. 2.11 показан процесс вычисления единственного управляющего воздействия (открытия охлаждающего -вентиля φ_вых) в зависимости от измеряемых четких значений температуры Т_вх и относительной влажности воздуха F_вх с помощью метода Максимума- Минимума.

В лекции "16. Основные положения теории ЧС" также много полезной информации.

Предполагается, что при этом используются 2 лингвистических правила:

ПРАВИЛО 1: "ЕСЛИ Температура = низкая ИЛИ Влажность = средняя, ТО Вентиль = полуоткрыт".

ПРАВИЛО 2: "ЕСЛИ Температура = низкая И Влажность = высокая, ТО Вентиль = полузакрыт".

Рис 2.11 Процедура логического вывода