Ответы: Задачи для подготовки к экзамену

Распознанный текст из изображения:

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

х 9 Π— 5 -3 4 1 6 х+ 1 Π— 1 '3 — 2 13 ! 1

Задачи индивидуального домашнего задании

1. Алгебра матриц

Крамера

5 — 2 О О

— 3 1 Π0

1О'. Найти А,если А =

О О 7

О 0-2 /

5-7 2 1

1. Найти ранг матрицы — ( 4 — 2 3

2 5 — 1 /О

(2 1!

11*. Найти ~

'!О Л)

12'. Найти

с ох ел — мп (р

13'. Найти

хм с/л сслх ез

х, — 2.х, + .т,. + х, = О

2. Решить систел1у уравнений гх, + х, + 2хз ьЗх, = 0

2х, — 5.х, + 2Х,, — х, = 0

методом Гаусса. Сделать проверку.

6х — (1 — ()у+ 3: = (!

3!х+ у ~ 2х = О имеет нетривиальные решения?

(2+!) — у х=О

х х+/ х+2

3'. При каких значениях параметра ( система уравнений

14. Решить уравнение .т+ 3

х+Г>

х+1 х+5 =0

.т+ 7 х+ /(

Найти зги решения.

х, ч. 2л., у Зх; — л., = О

,, — х, + х, + гхх =

х, + 5х, + 5х; — /х, =

15 Решить неравенство / l — 2 > О

4. Решить систему уравнений

х +Лхт+7л; — тл = — ((

(1 с'! ( ) 1'!

1. Вычислить (/+/)А+ (1 — ()В, где А = ~ ), В = ~

2. Найти АВ и ВА, если А =(2 -3 -1), В

О

/ О

(2 Π— 31

3. Найти АВ и ВА, если А =~ ) В= — 1 2 .

~/ 1 — 2)

О -3

(! 21 ( 2 — Зл!

4 Найти АВ-ВА, где А=~ ),В=~

~. () ~- ()

( / 2 31

5. Найти АА и А' А, если А = ~ — ( —.)

1 О

(2 0 -Зл!

6. Найти (АВ/ ~,если А=~ ),В= — 1 2

(! 1 -2)

0 -3

( ( 2 01

7. Найти(АА /,если А =~

о

-1 -/ -/

(2 -31 ( — 2 -/!

8.Найти (АВ! -В А, где А=~ ),В=~

~ -)

/ 2 2

9. Найти А,если А = 2 / — 2

2 — 2 1

16'. Найти все значения х, при которых определитель равен нулю:

( 2 — /!

17. Пусть 1(х) = х -5х+ 3. А = ~ ) . Найти !(А)

-~3 3)

~( 1'!

18. Пусть ((т)=х — Зх+2х ~ — х, А= ). Найти Г(А).

1(/ 1)'

19",Верныли формулы (А+В) =А +2АВ+В . (А-В)(А+В)=А — В~ для квадратных матриц?

20'. Найти все квадратные матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие условию Х = О . Существуют ли такие

матрицы с с/е(Х и О?

21'. Найти все квадратные матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие условию Х = В. Чему может равняться

с/е( Х?

22'. Найти все квадратные матрицы Х второго порялка, уловлетворяюшие условию Х = Х. Чему может равняться

с/е! Х?

23'. Доказать, что А = ВВ' - симметричная матрица

х+2У= — 3

24. Решить систему уравнений двумя способами: с помощью обратной матрицы и методом Крамера.

(гх — у = (

— х+2у+ = =-/

25. Решить систему уравнений 2х — = = 0 двумя способами: с помощью обратной матрицы и методом

Зх-у=9

(( 2'! (-2 З О1

26. Решитьуравнение АХ =В,где А =( ),В=~

12 3) 1-1 1 5)

— 3 / 2

(31 /!

27. Решитьуравнение ХА = В, где А = 0 1 3, В=~ 0 7 — 2)

5 — 2 — 1

28. Решить уравнение ХА = В+ 2Х, где А = ~ ). В = ~

2. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

методом Гаусса Вылелить общее решение однородной

— з

системы и частное решение неоднородной систслсы Сделать проверку.

Распознанный текст из изображения:

3. Векторьь Скалярное, векторное, смешанное произведения

1 Даны точки А(/, 2, !), В(2. — /. 3). ('(3, а, ф). При каких значениях а н /) точка Г' лежит на прямой АВ«

". Коллинеарны ли векторы с. = -/и — 2Ь. с/ = Ь вЂ” 2а, построенные на векторах а = (/. -2. 5) и Ь = (3, — 1, /))!

3 Даны три последовательные вершины параллелограмма А(/, 1, «) В(2 3 — 1). ('(-2. 2, О). Найти координаты

четвертой вершины /) .

4 Даны две смежные вершины параллелосрамма А( — 2. 6). В(2. //) и точка пересечения его диагоналей М (2, 2) .

Найти две другие вершины.

5. Доказать,что четырехугольник с вершинами,4(2, /, — «). В(/. 3, 5). ('(7, 2. 3), /)(//, О, — 6) есть параллелограмлс

Найти длины. его сторон.

6. Найти точку пересечения медиан в треугольнике с вершинами А(-5. 7, 2). В(/, «, — /) и ('(,, «, 5)

7. Даны вершинытреугольника А(З,— 1. 5). В(«, 2,— 5) и ('( — «. О. 3). Найти длину медианы. проведенной из

вершины А .

8. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами А( — /, — 2. «), В(- «, — Р. О) Г'(3. — 2. /).

9. Даны вершины треугольника А(-/.-2, «), В(-«,— 2, О) ('(3,-2, /). Найти величину его внешнегоугла при

вершине В.

10 Даны вершины четырехугольника Л(/, 2, 3) В(7, 3. 2) С(- 3. О, 6). /)(9, 2. «). Доказать, что его диагонали

взаимно перпендикулярны.

11. Найти угол между диагоналями А(' и В/) параллелогралсма.если заданы три его вершины А(2, 1, 3).

Н(5, 2,— 1) Г'(-3. 3,— 3).

12. Проверить, что точки А(3. — /. 2) В(1, 2, — /). С(-1, 1,— 3), !?(3.-5, 3) служат вершинами трапеции. Найти длины

ее параллельных сторон.

13. Известно, что )а~ = 3, ~Й~ = 5. Определить, при каком значении Л векторы а+ ЛЬ и а — ЛЙ будут

перпендикулярны.

14. Найти угол, образованный единичными векторами р и с!, если известно, что векторы и = рл Рс! и Ь =Зр-«с!

перпендикулярны.

15. Найти длину диагоналей параллелограмлса, построенного на векторах а = р -Зс!, Й = 5р л 2с/. если известно, что

Я=Р,/2, Я=З, 4с,./)= — ".

16. Определить угол между векторами и н Ь, если известно, что (а — Ь ) + (и+ РЬ~ = 2(/ и Ц = /, ~Й) = 2.

17 Вычислить плошадь треугольника с вершинамн А(/, !. /). В(2.3. «). ('(«, 3, 2) .

18 В треугольнике с вершинами А(1,-1,2) В(5,— 6,2) и ('(/,3,-/) найти длину высоты В/).

19. Известно, что ]а~='(У)= 5, х'.!и,Ь)= — '. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и-2Ь и

«

а+ Зл

20 Известна, что ~а~=!Ь1= /, х.(и,Й)= — Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и+2Ь и Ри+ Ь

21. Вычислить плошадь параллелограмма, диагоналями ко~араго служат векторы 2и — Ь и «сс-5Ь, где а и Ь-

ст

единичные векторы и «'.!и, Ь) = — .

22. Найти объем пирамиды с вершинами Г)( — 5, — «, //) А(2. 3. 1) В(«, 1, — 2),(:(6, 3, 7).

23. Вычислить объем тетраэдра ОЛВГ', если Г)Л = Зс л «). ()В = — 3) +/с,()(' = 2) + 5/с .

24. Компланарны лн векторы а = -Рс+ /+ /с Ь = с — 2/+ 3/с, с = !«с — /3/+ 7/с Я

25. При каком значении Я векторы а(2,3./ЬЬ(5;1,2), с(-!.5. «) будут компланарны7

26. Втетраэдрес вершннамн А(/. 1. /), В(2, О, 2), ('(2. 2, 2). /)(3, «, -3) вычислитьдлнну высоты,

проведенной из точки I )

27 Доказать, что точки А(/,0,7), В(-/.— /,2)('(2,-2,2) /)(, /,9) лежат водной плоскости.

28. Векторы и. Ь, с образует правую тройку. взаимно перпендикулярны и ~и~ = «, ~Ь = 2, ',с = 3 Вычислить и Ь с .

29 Векторы и л, с обраэун>т левусо тройку ~сс = /, ~Ь~ = 2 ~с~ = 3 и х(а Ь)= —, с1и, с.' Ь. Вычислить и Ьс,

3

4. Прямая н плоскость

4.1. Прямая на плоскости

1. Составить уравнения параллели и перпендикуляра к прямой 2х+ у+ / = О, проходящих через точку М(2, «).

Сделать чертеж

2 Составить уравнение прямой, проходящей черезточки А(/.-/) и В(-2,— 7).

3. Показать, что точки А(2, !), В( — 3 3) ( (7,-/) лежат на одной прямой. Найти ее уравнение.

4. В треугольнике с вершинами А(-2,-/). В( — /. 2).('(/.//) найти уравнение медианы, проведенной из вершины А.

5. В треугольнике с вершинами А(-2,-/), В( — /, 2)Л (/ О) найти уравнение вьщоты, проведенной из вершины А.

6. Втреутольнике с вершинамн А(-2,-!), В(-1,2)Г (/,О) найти уравнение средней линии, параллельной стороне В('

7. Найти расстояние от точки М(2. /) до прямой 2«+ Зу — / = 0

8. Найти расстояние между прямыми 2«+Зу-1=0 и — «х — 6у-3 =0

9. Найти угол между прямыми х+Зу — 2=0 н Рх+уе/=О.

4.2. Прямая и плоскость в пространстве

!О. Составить уравнение плоскости, проходящей через ~очку А(-3,1,«) параллельно пдоскости

— 7х+ 2у+ .- — 2 = 0

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Ь/(2, - 3, — /) параллельно векторам а(2, — «. — /) и

Ь(1,2,3) .

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(/. /, /) и В(2,3,— 1) параллельно вектору и(!), — 1,2).

!3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(3, — /,2), В(«, — /, — !), С(2,0,2) .

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л(/,1. — 1) перпендикулярно плоскостям

2х — у+5«+ 3= 0 и «+Зу — = — 7 =0

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, - /5, /) и В(З. /,2) перпендикулярно плоскости

Зл -у — 5= = О.

16, Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей черезточку М(-2,/,О) параллельно

«ул! = — 2

прямой—

— 3 5 0

17. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А(«,— /. /) и В(3, 3,-/).

18 Даны вершины треугольника А(3.-/ 5) В(« 2,— 5) и (( — «03). Составить канонические и параметрические

уравнения мелианы, проведенной из вершины А .

19. Даны вершины треугольника А(1,-1, 3) В(З,-З, с)) Г (-5. //, 7). Составить канонические и параметрические

уравнения средней линии, параллельной стороне ВС

20. Доказать, что точки А( — 3.-7,-5). В(0;l,— 2),С(2,3,0) лежат на одной прямой, причем точка В расположена

между А и ( . Составить каноническиеуравнения этой прямой.

х — 2у+ 3=+ 1= 0

21 Составить канонические и параметрические уравнения прямой ~

~ 2.х + у — «. — В = О

22. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(/;3.5) параллельно

З.х — у + 2: — = 0

прямой

«Зу-2=+3 =0

23. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(-3, 2,0)

перпендикулярно плоскости 2х -5= + / = О .

24. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(0, /, 2) гсерпендикулярно прямой

.«+1 с — 2

Π— /

25. Составить уравнение плоскости, проходящей через то <ку М(2,-3, 5) перпенликулярно прямой

Рх+ г — 2«+ /= 0

хлу+ †5

« †/ у+1 =+/

26. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(20./) и прямую—

I ' — /

° Е .Ф Ф я ф~ Ъ~

а

\ я и

Распознанный текст из изображения:

х-/ у+2

27, Убедиться. что прямые — = — — =:

2 — 3 4

уравнение этой плоскости.

х+1 у+3 "— 4

31. Найти угол между прямыми — = — ' =: и

! — 2 2

» = -3/+/

2

4/+ /2

х+2 у-2 . (-»+ и — =

32. Доказать, что прямые — = — =: и 1

1 -2 1 (х-у — 5=

=О

параллельны.

— 8=0

пересечения.

х —. у-2 = — !

и — — = ' = — принадлежат одной плоскости и составить 3 2 — 2

» — / л +2

28 Составить уравнение плоскости, проходящей через нару параллельных прямых — = — ' =: и

3 /

»+/ ~+3

-4 -6 — 2

29. Найти угол между плоскостями х — ту+ 2= =О и 5х+ Зу — 2 =О.

х-( у+2 = х+1 у+11 х«6

30. Найти точлу пересечения прямых — = = — и — =—

2 — 1 -2 1 2 !

( х-у+2х-/=0 ! х+у+ з=О

33. Доказать, что прямые ~ и ~ ' скрещиваются.

(2х+ у- а+2 =/! (2» — 3: =О

( .т+ у-=+4=0 х+3 гь3 "-/

34. Доказать, что прямые ~ " и — = — =: пересекаются и найти нх точку

(2х — Зу-х — 5=0 4 1 2

х — 1 у ." — 1

35. Найти угол между прямой — = — = — и плоскостью 6т-Зу+ 2=+1 = О.

4 12 -3

х-/ у =-6

36. Найти точку пересечения прямой — = — =: и плоскости бх-Зу+ 2х = О.

4 /2 — 3

(2х- у+ 5=0

37. Доказать. что прямая г и плоскость 4»+ Ау+ 6х — 3 =О перпендикулярны.

Зу-4=-9=0

38. Найти проекииюточки А/5,2.-1! на плоскость 2х-у+ 3=+23=0.

39. Найти точку, симметричную точке А '4,-3, 1! относительно плоскости х + 2у —: — 3 = О.

40. Найтирасстоянисотточки А/.!. 2, 4/до плоскости 6.» — 2у-3= — 6 =О

4 !. Найти расстояние между плоскостями -х + 2у — = + 1 = 0 и 2» — 4у+ 2=+ 3 = О.

х — 1 у-2 = — 3

43. Найти проекцию точки А/'4, 3. !О/ на прямую — = — '

2 4 5

т+2 у-1

44. Составить канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А(5, 3. /) на прямую—

/ 2 3

х-/ у =+1

45. Найти расстояние от точки М(З. 1, 2) до прямой

2 / 0

х — / у =+/

46. Найти точку, симл»етричную точке Л/(3, /, 2) относительно прямой — '

2 / О

5. Кривые н певеркности второго порядка

1 Составить уравнение эллипса с фокусами в точках /; ! 1,0! и 1:г / 1,О/ и балыпой полуосью, равной 2. Сделать

чертеж.

2. Составить уравнение эллипса с фокусами в точках /:,(О,-/) н 1',(!), /) и малой полуосью. равной 2. Сделать

чертеж,

3. Установить, какую кривую апрелеляст уравнение 5х ь 9у -30»+ /Ьу+ 9 = О. Сделать чертеж.

4 Составить уравнение гиперболы с фокусами в точках !; ( (5 /г~ и / ',( — »(э, О) и действительной полуосью, равной 2.

Найти асимптоты. Сделать чертеж.

5 Составить уравнение гиперболы с фокусами в точках /,(О, 3» и 1 г(О.— 3) и мнимой полуосью, равной 2. Найти

асимптаты. Сделать чертеж.

6 дсииптоты гиперболы имеют уравнения 4у+ Зх = О. а расстояние между фокусами равно 20 Написать ее

каноническое уравнение. сделать чертеж.

х г

7. Дан эллипс — '+ — = /. Написать уравнение гиперболы. вершины которой находятся в фокусах, а факусы-

9 5

вершинах данного эллипса. Найти асимптоты гиперболы. Сделать чертеж.

8. Установить, какую кривую определяет уравнение !6 »г — 93" -64х — /ду+ (99 = О. Сделать чертеж.

9. Составить уравнение параболы, если ланы ее фокус 1'(7, 2) и лиректрисв х — 5 = О.

/ г

10. Установить, какую кривую определяет уравнение у = — —.»- + 2х- 7. Найти ее фокус и директрису. Сделат

6

чертеж.

11. Установить, какую кривую определяет уравнение х = -у + 2у- / . Найти ее фокус и директрису. Сделать °

12. Определить тип поверхности, заданной уравнением х + у' + 2х — 2у-2 -2 = О, Сделать чертеж.

г

13. Определить тип поверкности, заданной уравнением»г + у — 9:г + 2х — 4у = 4 . Сделать чертеж.

1

14. Определить тнп поверхности, заданной уравнением 4.» . у' — = — 2у = О. Сделать чертеж. Найти общие т

„ х у+4 — 2

поверхности и прямой—

Π3 — 1

15. Определить тип поверхности, заланной уравнением х' + у' + ' + 4х — 2у+ 10"-19 = О . Сделать чертеж. Е

х+5 у+(1 "— 9

общие тачки поверхности и прямой

3 5 -4

г

16. Установить, по какой кривой плоскость .» — 2 = О пересекает эллипсоид — + — +: = / . Найти фокусы

16 /2 4

полученной кривой. Сделать чертеж

г

х у

17. Установить, по какой кривой плоскость = + 1 = /! пересекает однополостный гиперболоид — — — +—

32 /г/ 2

Найти фокусы и асимптаты полученной кривой. Сделать чертеж.

у

18. Установить, по какой кривой плоскость у+ 6 = 0 пересекает гиперболический параболоид — — — = 6". 1

5 4

фокус и директрису полученной кривой. Сделать чертеж.