Ответы: Программа экзамена по алгебре и геометрии

Распознанный текст из изображения:

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

1 СЕМЕСТР

1. Алгебра матриц. Определители.

1. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц

2. Сложение и умножение матриц, основные свойства сложения и умножения. Матричный многочлен

3. Определители 2-го и 3-го порялка. Правило Саррюса.

4. Миноры и алгебраические дополнения. Определение определителя и -го порялка через разложение по строке

(столбцу). Определитель треугольной и диагональной матрицы Определитель произведения квалратных матриц.

5. Свойства определителей

6. Определение обратной матрицы и ее свойства. Критерий существования обратной матрицы. Вычисление обратной

матрицы

7 Решение матричных уравнений и систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

2. Ранг ма~рицы. Рещение систем линейных уравнений

1. Определение ранга матрицы Элементарные преобразования матриц, сохранение при этом ранга матрицы. Матрица

ступенчатого вида и ее ранг. Приведение матриць1 к ступенчатому виду (метод Гаусса).

2 Основные понятия теории систем линейных уравнений (совместность и несовместность, основная и расширенная

матрица системы) Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли, без доказательства).

3. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

4. Решение системы линейных уравнений с помошькз обратной матрицы

5. Метод Гаусса решения систем линейнык уравнений Однородная система линейных уравнений. Общее решение

однородной системы линейных уравнений Критерий существования ненулевого решения (без доказательства).

6. Неоднородная система линейных уравнений Связь решений неоднородной и соответствующей одноролной систем.

3. Геометрические векторы.

1. Велтор как направленный отрезок

2. Сложение векторов и умножение на числа

3. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.

4. Декартовы координаты векторов и точек. Сложение векторов и умножение их на числа в координатной форме

Деление отрезка в заданном отношении.

4, Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

1. Определение скалярного произведения и его свойства.

2 Координатная форма скалярнщ о произведения. Длина вектора, угол между векгорами Условие орто~ опал ьности

векторов.

3. Определение векторного произведения и его свойства.

4 Координатная форма векторного произведения. Условие коллинеарности векторов Вычисление плошадей с

помощью векторного произвеления

5. Опрелеление смешанного произведения и его свойства.

6. Коорлинатная форма смешанного произвеления. Условие компланарносги векторов Вычисление обьемов с

помощью смешанного произведения.

5. Уравнение прямой на плоскости.

1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпердикулярно заданному вектору. Общее уравнение

прямой.

2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (каноническое уравнение

прямой),

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Угол между прямыми, Условие параллельности и

перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

6. Кривые второго порядка на плоскости.

! . Определение эллипса и вывод его канонического уравнения. Уравнение окр> жности.

2. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения.

3. Определение параоолы и вывод ее канонического уравнения.

7. Уравнение плоское~и.

1. Уравнение плоское~и, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному

вектору Общее уравнение плоскости.

2. Уравнение плоскости, прохоляшей через три заданные точки.

3. Уравнение плоскости в отрезках

4. Взаимное расположение двух плоскостей Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости

8. Уравнение прямой в пространстве.

1 Канонические, параметрические и общие уравнения прямой в пространстве.

2. Уравнение прямой, проходящей через две заланные точки.

3. Взаимное расположение двух прямых Угол между прямыми.

4. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

5. Расстояние от точки до прямой.

9. Поверхности второго порядка в пространстве.

!. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Определение формы поверхности методом сечения

плоскостями.