Вопросы/задания: Вопросы к коллоквиуму

Распознанный текст из изображения:

Вопросы к коллоквиуму по физике ~ЭТФ, 4-й семестр)

1. Волновая функция, ее смысл и свойства. Уравнение Шредикч ера.

2. Стационарные состояния. Уравнение Шредингера дзи сгационарных

состояний. Оператор энергии.

3. Плотность вероятности и ток вероятности. Уравнение непрерывности.

4. Линейные операторы. Эрмитово сопряженные операторы. Свойства эрмизова

сопряжения.

5. ( амосопряженные (эрмитовы) операторы и нх свойства.

б. Вещественность собственных значений эрмитовых опера горов.

7. Ортогональность собственных функций эрмитовых операторов.

8. Условие полноты собственных функций эрмитовых операторов.

9. Операторы и динамические переменные, Основные постулаты квантовой

механики.

10. Среднее значение физической величины, Примеры вычисления средних.

11. Коммутация операторов квантовой механики.

12.Свойства коммутирующих операторов.

13. Коммутация операторов н соотношение неопределенностей. Канонически

сопряженныс величины. Примеры.

14. Дифференцирование операторов по времени.

15, Квантовые уравнения лвижения, Теоремы Эренфестов.

! б. Интегралы движения. Закон сохранения четносгн.

17. Собственные значения и собственные функции операторов координаты н

импульса.

18. Собственные значения и собственные функции операторов момента

импульса.

19. Основные постулаты квантовой механики.

20. Линейный гармонический осциллятор. Классический и квантовьш

осцнлляторы. Уровни энергии осциллятора.

21. Операторы рождения и уничтожения. Свойства этих операторов.

22. Коммутация операторов рождения н уничтожения. Их связь с

гамильтонианом.

23. Построение системы собственных функций и системы уровней энергни

квантового осциллятора с помощью операторов рождения и уничтожения.

24. Гармонический осциллятор. Сравнение вероятностей — классической и

квантовой.

25. Проблема двух частиц в квантовой механике. Атом водорода как задача

двух частиц.

2б. Движение микрочастицы в центрально-симметричном потенциальном поле.

Симметричные решения.

27. Атом водорода. Система энергетических уровней. Волновые функции.

28. Атом водорода, Радиальное распределение вероятностей.

29. Атом водорода. Угловое распределение вероятностей.

30. Атом водорода. Вырождение энергетических уровней. Классификация

состояний атома водорода.

Распознанный текст из изображения:

ТР Квантовая физика

ЭТ-06

ЗАДАНИЕ 1. У авнение Ш е инге а

1. 1. Частица массы юя движется в одномерном потенциальном поле: о'(х) = О, х < 0;

Г.г(х) = 7у„х > О .

Определить волновую функцию частицы при заданной плотности потока г',,

падающего на потенциальную стенку слева. Найти плотность вероятности и

плотность тока вероятности во всех точках пространства. Вычислить коэффициенты

прохождения и отражения, рассмотрев случаи, когда энергия частицы Е > бм и

Е < Г, . Сравнить решение с задачей о распространении плоской электромагнитной

волны в среде со скачком показателя преломления.

1.2. Частица массы пг движется в одномерном потенциальном поле:

гг(х) = О, х < О, х > а . Определить, считая плотность падающего слева на барьер

потока у, заданным: волновую функцию, плотность вероятности и плотность тока

вероятности во всех точках пространства, коэффициенты прохождения и отражения

(рассмотреть случаи, когда энергия частицы Е больше и меньше высоты барьера).

Сравнить решение квантовомеханической задачи с прохождением плоской

электромагнитной волны через пластинку толщины а

с показателем преломления и .

1. 3. Рассмотреть движение микрочастицы в прямоугольной потенциальной яме

шириной е с бесконечно высокими стенками. Определить плотность

вероятности, среднее значение импульса и координаты в произвольном

состоянии. Найти вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в

левой трети ямы ( в области 0<х<- ).

3

1А. Частица массой иг находится в двухмерной прямоугольной потенциальной яме

с бесконечно высокими стенками, Размеры ямы: 0 < х <а, О < у < Ь. Определить

собственные значения энергии и нормированные собственные функции

микрочастицы, вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в

е Ь

области О<х<--, 0<у< — .

3 3

1. 5. Частица массы ию находится в некотором одномерном потенциальном поле

гг(х), гк(0) =: 0 в стационарном состоянии, волновая функция которого имеет вид:

г

у(х)=Ае ' '

, где А = А(г),~А,а- константы. Найти Г(х), энергию частицы Е и

связь между константами (А~, а, используя уравнение Шредингера.

1. б. Квантовый гармонический осциллятор с массой пг и частотой в, находится в

стационарном состоянии ж= Ае '', где А =А(г);~А,а - константы С помощью

уравнения Шредингера найти энергию осциллятора и константы ~А;, а .

Распознанный текст из изображения:

ЗАДАНИЕ 2. Опе ато ы квантовой механики

, я* - т'

2.1. Найти явный вид операторов ~.4ВС) и ~АВС)', где А=г' —, В=х-—

пх Их

Ы

С = -ге

Их

2.2. Для линейных операторов А, В, С доказать тождества: ~4, ВС~= В(А,С~ч-~4,В)С, (АВ,С)=А)В,С)+~4,С)В (А, (В, С))+ (В,(С,А~~ч- (С, (А,В$= В ( тождество Якоби ).

2.3. Доказать равенства для операторов координаты, импульса и углового момента:

— ф ° ~=2 ~~..-'--~=ф

2.4. Найти явный вид коммутаторов:

)р,.",.х~ )р„, (у,р„)), где в -целое число, у =у'(х,у,з) - произвольная функция

координат,

2.5. Найти Ах А р„для частицы массы т в бесконечно глубокой потенциальной

яме ширины к в случае нормального и возбужденного состояния. Вычислить

средние значения х, х', Р, р ' и наиболее вероятные значения координаты в

зависимочти от состояния.

2.6. Доказать для стационарных состояний линейного гармонического осциллятора

справедливость соотношений:

) я

хЧ~„(х) = ~ — — ~ ~пу„ч +вопч 1 ~р„ч),

2уии

Распознанный текст из изображения:

ЗАДАНИЕ 3. А~*

3.1. В спектре некоторых водородоподобных ионов длина волны третьей линии

серии Бальмера равна 108,5 нм.

Найти энергию связи электрона в основном состоянии этих ионов.

3.2. Энергия связи электрона в атоме гелия равна Е, = 24,б эВ.

Найти энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома.

З.З. Ртом водорода, двигавшийся со скоростью те = 3,26 м~с, испустил фотон,

соответствующий переходу из первого возбужденного состояния в основное.

Найти угол 0 между направлениями вылета фотона и первоначального движения

атома, если кинетическая энергия атома осталась прежней.

3.4. Фотон, испущенный ионом гелия при переходе из первого возбужденного

состояния в основное, ионизирует атом водорода, находящийся в основном

состоянии.

Найти скорость фотоэлектрона.

3.5. Считая ядро неподвижным, вычислить для атома водорода и ионов Ое, П'":

радиусы двух первых боровских орбит и скорости электрона на них, кинетическую

энергию электрона и его энергию связи в основном состоянии, первый потенциал

возбуждения и длину волны резонансной линии.

3.6. Оценить время, за которое электрон, движущийся вокруг ядра в атоме водорода

по орбите радиуса г, = 0,5 10 " м, упал бы на ядро, если бы он терял энергию на

еуЕ 2д'!- -'

излучение в соответствии с классической теорией: — — = — —,;'а, где а—

М Зсз'

ускорение электрона (считать а все время направленным к центру атома).

Распознанный текст из изображения:

ЗАДАНИЕ 4. Квантовая статистика

4.1. Построить фазовую траекторию для шарика, падающего с некоторой высоты в, на неабсолютно упругую плиту с коэффициентом упругости гг, считая коэффициент восстановления при ударе шарика о плиту равным а, а < 1.

4.2. Найти среднее значение модуля импульса молекулы, среднее значение

положительной компоненты ее импульса и относительную флуктуацию энергии

равновесной системы, состоящей из Х частиц невырожденного идеального газа,

занимающего объем 1'.

4.3. Вычислить дифференциальное и интегральное сечения упругого рассеяния,

моделируя молекулы твердыми упругими шарами радиуса Я,. Оценить число

столкновений в единицу времени для такого газа.

4.4. Вычислить уровень Ферми для электронного газа в металле и среднюю энергию электрона, считая концентрацию равной л, =10" см '. Можно ли такой электронный газ считать идеальным?

4.5. Найти удельную теплоемкость электронного газа в металле, уровень Ферми в

котором квадратично зависит от температуры:

р =р, 1 — — ', р, =5эВ.

Сравнить найденную величину при комнатной температуре с теплоемкостью

решетки.

4.6. Найти относительное число конденсированных бозе-частиц Не' при

температуре Т = 2К, если концентрация бозе-частиц соответствует плотности

р.= 0,12 гlсм ', полагая, что температура конденсации совпадает с температурой

вырождения (т, = ьчб4-10 "г).

Распознанный текст из изображения:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ФИЗИКЕ (ЭТФ)

(4 селюесигр)

1. Волновая функция. Смысл волновой функции. Стандартные требования к

волновой функции. Квантовый принцип причинности. Квантовый принцип

суперпозиции состояний.

2. Уравнение Шредингера. Обращение во времени. Оператор энергии.

Стационарные состояния. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

3. Плотность вероятности и ток вероятности. Уравнение непрерывности и его

физический смысл.

4. Линейные операторы. Эрмитово сопряжение и его свойства.

5. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства.

6. Вещественность собственных значений эрмитовых операторов.

7. Ортогональность собственных функций эрмитовых операторов.

8 Операторы и динамические переменные. Основные постулаты квантовой

механики.

9. Среднее значение физической величины, Примеры вычисления средних.

10. Коммутация квантовомеханических операторов. Свойства коммутирующих

операторов.

11. Коммутация операторов и соотношение неопределенностей.

12. Дифференцирование операторов по времени.

13. Квантовые уравнения движения. Теоремы Эренфестов.

14. Интегралы движения. Примеры. Закон сохранения четности.

15. Собственные значения и собственные функции основных операторов квантовой

механики (координата, импульс, угловой момент).

16 Основные постулаты квантовой механики.

17. Линейный гармонический осциллятор. Классический и квантовый осциплятор.

Уровни энергии осциллятора.

18. Гармонический осциллятор. Сравнение классической и квантовой вероятностей

19. Операторы рождения и уничтожения. Их свойства. Построение системы уровней

и системы собственных функций квантового осциллятора с помощью этих

операторов.

20. Проблема двух частиц в квантовой механике. Атом водорода.

21. Движение частицы в центрально-симметричном потенциальном поле.

Симметричные решения. Инфинитное движение.

22. Атом водорода. Система энергетических уровней электрона. Волновые функции.

Вырождение энергетических уровней.

23. Атом водорода. Распределение вероятностей — радиальное и угловое.

Классификация состояний.

24. Магнитный и механический момент электрона. Квантование орбитального

углового момента.

25. Спин электрона. Операторы спина. Матрицы Паули. Спиноры.

26. Сложение угловых моментов. Полный угловой момент атома. Квантование

полного углового момента. Фактор Ланде.

27. Магнитный момент электрона в атоме. Атом водорода в магнитном поле. Теория

возмущений. Зеемановское расщепление энергетических уровней.

28. Классическая и квантовая теория эффекта Зеемана. Поляризация зеемановских

компонент в спектре излучения.

29. Атом водорода во внешнем электрическом поле. Эффект Штарка.

30. Тонкая структура энергетических уровней. Магнитный резонанс.

Распознанный текст из изображения:

31. Системы одинаковых частиц. Принцип тождественной неразличимости.

Симметричные и антисимметричные состояния. Закон сохранения четности.

32. Системы тождественных частиц. Фермионы и бозоны. Принцип Паули и его роль

в застройке электронных оболочек многоэлектронных атомов, Сложные частицы.

33. Системы невзаимодействующих неразличимых частиц. Симметризованные

волновые функции. Система из невзаимодействующих бозонов.

34. Система двух фермионов. Пара- и орто-состояния.

35. Обменное взаимодействие. Примеры проявления обменного взаимодействия

(атом водорода).

36. Макроскопические (статистические ) системы. Фазовое пространство. Фазовые

траектории и их свойства.

37. Функции распределения в макросистеме. Одночастичные функции

распределения. Кинетическое уравнение Больцмана.

38. Интеграл столкновений. Динамика бинарных столкновений. Сечение рассеяния.

Приближение времени релаксации.

39. Слабонеравновесные системы. Решение кинетического уравнения методом

итераций. Электропроводность слабонеравновесной системы

40. Равновесные идеальные системы. Принцип детального равновесия.

Равновесные функции распределения. Распределение Максвелла и Максвелла-

Больцмана.

41. Свойства классического равновесного распределения. Применение

распределения Максвелла. Средние значения. Примеры вычисления средних.

42. Применение распределения Больцмана. Поляризация диэлектрического газа.

Намагничение парамагнетиков.

43. Квантовые системы и квантовые статистики. Отличительные особенности

квантовых систем.

44. Равновесные квантовые системы. Распределение Ферми-Дирака и его свойства.

Уровень Ферми. Фермиевский "хвост".

45. Вырождение ферми-газа. Критерий вырождения. Смысл критерия вырождения.

46. Электронный газ в металле как ферми-система. Химпотенциал электронного

газа. Средняя энергия электрона при Т=О.

47. Теплоемкость электронного газа в металле. Сравнение с теплоемкостью

решетки.

48. Распределение Бозе-Эйнштейна. Свойства химпотенциала системы Бозе-

Эйнштейна.

49. Бозе-конденсация. Температура конденсации и температура вырождения.

Электромагнитное излучение (фотоны) как бозе-система.

50. Свойства бозе-газа: уравнение состояния, теплоемкость, давление газа при

различных температурах.

Распознанный текст из изображения:

Задачи

г)гг

1 Доказать равенсгва: (р„,х,) =- — Йда. (рг,гг(х)) = — !а

гйх

з

. Найти коммутаторы: )г,Йс (Р„,Н!. где Й = — ь-+ а(х) — опсразор но ьчой

2ги

~не)згз<гь

3. Найти коммугагор в явном виде: )(Е,,Е'~.

4. 1!айги коммузазор )Е,й(г ), где й - операзор пгпенциаз|ьпой энергии

З. !!ай гн собс ~ всиные функции и собственные значения оператора А =- р, + ах.

~ле а — константа. х, р„— операторы координаты и импульса.ыя

одномерного движения.

(ь !!айти собственные функпии и собственные значения оператора (гз = ггрг

для одномерного движения. где а - константа.

й

7. Пай ги комму тагор ~, Р ~ для операторов Д = е', Р = р,. = -И вЂ” — . а .

Их

констгнг~ а.

г/

8 1!айти коммутатор )(Р, Д) для операторов (г' = е'", Р = — ге"

дх

гй Показать. что для центрального поля коммутатор )Е г, й(г)) —— О .

10 Показать. что при движении злектрона в поле с центральной симмст)зпсй 7

и Е. интегралы движения.

11 1(айти явный вид коммутаторов )р„, х" ), где а — целое.

1з. Найти коммутатор ) р,,х

1

13 11айти явнгяй вил коммутаторов !Е„, уг ). '!Е.. хр, )

14. 1!айти коммутатор (р,, (р,, Т(х))), где /'(х) — - произвольная непрерывная

функция координат.

1., Пайзи коммУтатоРы (гх,)оз.„0 ). (Ех, Рр' !.

1(ь Показать. что для одномерного движения частицы рх =- ьч ) 7'ггЕт. где

/ г (х) — плотность тока вероятности.

17, Найп1 явный вид оператора (АВс.') и его зрмитово сопряжение

АбС ) . сели А = г' —. В = х. С = -!еь .

гЕх

18. 11айтн 1гокзмуз агоры (Е„, р' ~, ~х, Т~), где Т вЂ” оператор кинетической

.знсргии.

1'Е !!олнюаыс функции ~арыгпзического осциллятора в основном и первом

гам 1

возбуокдснноы состоянии Ч'„= А„е ", Чг, = А,хе "' . !(и = — — !. Найзи

2й,' '

нормпровочиыг. постоянные А,, А, и показать. по Ч'„,Ч', -- орго1ональны.

Распознанный текст из изображения:

20. Определить среднюю и наиболее вероятную координату линейного

оспиллятора в основном и первом возбужденном состоянии.

21. Вычислить среднее значение импульса и квадрата импульса частицы,

заключенной в одномерную бесконечно глубокую потенциальную яму и

находящейся в основном состоянии. ~ р ~

22. Нрн какой ширине бесконечно глубокой потенциальной ямы минимальная

энергия электрола совпадает с энергией ионизации атома водорода.ода?

23. 11ри какой ширине бесконечно глубокой потенциальной ямы Е„„„

электрона совпадает с центробежной кинетической энергией элок ~ рона в атоме

волорода в 2р-сосзоянии?

24. Найти произведение ЛхЬр„для линейного гармонического осциллятора в

нормальном состоянии Чэ =А е "', ~а= ~.где Лх=ч<х >,

Г

гй )'

Лр, =. 1«р, > Вычислить А~.

25. Найти произведение ЛхЛр, для линейного гармонического осциллятора в

— сэр Рая

первом возоужленном состоянии тч~ — — А~хе . ~а = ), где

гй 7'

Лх= <х > — <х>, Лр, =.,<р, > — <р, > Вычислить А,.

2

26. Найти произведение ЛхЛр „для частипы массы ш в бесконечно глубокой

потенциальной яме шириной а для нормального и возбужленного состояний.

27 Вычислить наиболее вероятное значение координаты частицы в бесконечно

глубокой потенциальной яме шириной 1.. Сравнип, с х;.

— а~

28. Осциллятор находится в состоянии ~р = Ахе, гь = — -.. Ншпп

наиболес вероятное положение осцнллятора в этом состоянии и вычислить

«Т>,«и>, А.

29. Олектрон в сферической потенциальной яме с идеально отражающими

стенками (и = О, г < го) и = со, г > гс ) находитсЯ в симмегРичпом состоЯнип

гр = ~р(г), которое описывается уравнением Шредингера

йз) ~2

— -„- (гу) =- Еш. Найти Е„,йэ„(г) и < э >.

пз г ~д-з

30. Основное состояние электрона в атоме водорола описывается волновой

функпией ~у,(г) =(ла 1 "е ', Га =, -радиус первой Боровской орбиты).

(гпе )

Найман среднее значение кинетической и потенциальной энергии элсктрона