Ответы: ТВ ИУ7 экз 20 решенная практика

Распознанный текст из изображения:

Билет №1

И Дайте определение непрерывной скатярной «тучппюйг величины и с форму чнруйте основные

свойства ее плотности распредепешш вероятностей

2) Испозьзуя аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности докажтпе следующие

утверждения

а)Р(!75)=-0

б)Р(АсзВ)=-Р(А)+Р(В)-Р(АгзВ)

в)Если А«В, тор(А)НР(В)

3) Три завода

В магазинах Мя1 — 45% машин, №2 — 40% машин, №3 — 15% (в сумме 100%)

Из них стандартных машин из первого завода 70%, из второго — 80%, из третьего — 81%

Нагпи вероятность того что куппенная ыашина - стандартная

Р(А)=-0 45*07+04*0 8+0!5*081=0 75б5=75%

(2 о "()в2)'.к>О,у>0

/ (х, т) =

~О,к<О,у с О

Найти — 7(з),асти з= т+у

4)

Р (з) = Ц 2 '* "()п 2) Ж 3 =".,(пт ) 2 '* "()п 2) ау =

7 (з) = Р (з)

(йз2)') 2 'й: ~~ 2 аг(3 =

Распознанный текст из изображения:

Билет Л82

1) Дайте определение условной вероятности. Как связаны условные и безусловные вероятно спгэ Что

понимают под теоремой умножения вероятностейэ

2) Дайте определение ковариашюнной матрицы двух скатярнык случайных вели шн Сформувируйте и

докажите основные свойства ковариационной матрицы

3) Два стрелка стреляют в цель Вероятность попадания первого — 0,8, второго — О 4. Нуяшо найти

вероят., что первый поразил дель

Р(А) = Р(А Аз) ч Р(Аздд) = Р(А )Р(Аз) ч Р( А,)Р(Аз) =

Цель поражена

= Р(Аз)(1 — Р(Азат(1 — Р(А ))Р(Аз) = 0 8ьО бэ О 2*0 4 = 0 56

Р(А Аз)

Цевьпораженапервым Р(А К4,) = ' =048)0 5б

Р(А')

4) Двумерная случайная ве тичина (4, 0) равномерно распределена в эллипсе

Опредедить Г'. (х) — э

1 1

Решение 2„(х. Р) = = - совместная плотность распредедения.

Распознанный текст из изображения:

Билет Д' 3

1) Что понимают под законом больших чисел и что является его основным содержаниемч Докажите

неравенство Чебышева

2) Классическое определение вероятности (Лаполас)

3) Локатор вращается. р, - вероятность обнаружения цели за один оборот без помех

р, - есть помехи, р — вероятность того что помехи создаются Найти Р(Хотя бы олин раз булет

обнаружена цель за и оборот. с помехами)

Решение следствие из ф лыБернуллей Р =1 — (1 — р)"

А — обнарук цели, Н, — помехи создаются, Н, — без помех

Р(Н ) = Р.Р(Н ) =1 — р. по ф ле полнойвероятности

Р(А)=Р(Н)Р(А(Н)«Р(Н«)Р(А(Н«)=РРРРР(1 — Р)=Р, Р(АН)=Рз, Р(АН)=Р,

Р =1 — (1 — (ррз «р (1 — р)))"-ответ

4) 9, =Ю(0 1) т=О, с =1 «,=Ю(2 1) т=2 с =1

1(«4 «7) о

Решение

Т К ветнчинынезависшгыинормально распределенымо»шо расписатьпоЛаполасу

Пусть У=х-у и из условия МХ=МХ-МУ=О-2=-2

ПХ=ВХ+ВУ=1+1=2 Следоватезьно средне квадрапш отклон с = 9«2

Р(у<х2)=Р(2<ху)=-Р(2«2)=-Р(2<2«с ) где а=2 и Ь=- =с тогда по лаполасу

Р(т «2) = Фа( ) — Ф,( ) = Ф,( <) — Ф,.( ) = 0 5 — Ф,( ) = 0 5 — 0 4976 = 0 0024

Ь вЂ” М2 а — МХ 4 4

'Д 42

Распознанный текст из изображения:

решение

х-вероятн выпасть гербу

у-вероятн выпасть шгфре

х=2-у отсюда р =-1

12

1 2

т 0 1 2

р, Б4 !г

р, 1'4

1,'2 1,'4

2)Х = А т, Р, — ( )зХ)

МХ=А х,р, =0*!(Аэ!*1!2э2*!(4=!

!АУ=!

2)Х=О "1(4+! "112э2 "1(4 — 1=1(2

2)У=1(2

.(Бэ)=~(х,— зчх)(г — Атг)р, =(о — !)(2 — 1)*114+(1 — 1)Π— !)*112+(2 — зйо — 0*112= — 112

— !(2

= — 1

,гй 22'1!2

Билет Д14

1) Что называется математичесшая олшланием скалярной функпии случайных величшь Сформулируйте

и докажите основные свойства мате матичесгюго ожидания

2) Дайте геометрическое определение вероятности Что общего между геометрическтш определением

вероятности и определением вероятности по Лаптасуа

3) Лампы 01 О 2 03 0 4 — незав. Ю, -приб. Определитьвероятностж что 3(з)(з вьщдутиз строя

Р! А) = Р(А Аз Аз Аз) = Р(А )Р(Аз )Р(Аз )Р(4 з) =

Р=А, А, Аз А, решение

= Р(А )Р(Аз)(1 — Р( 4 ))(1 — Р(А;1) = 0 1* О 2 * (! — 0 3) * (! — О 4)

4) 2 монеты кидают найти коэф корреляции р

Распознанный текст из изображения:

Билет Л15

1) Получите формулу Байеса

2)друзиьпстерминаьшидеюо зз, =~ Р,(са (У)) [Са (У)]

3) В цехе 20 станков, типа — б штутс, типа  — 11, типа С вЂ” 3 Вероятность выпустить хоропгую деталь для

станка А — 0,5, для станка  — 0,7, С - 0,9 Каков процент хороших деталей выпускаемьгт цехом

Решение. по формуле полной вероятности.

6 11 3 134

05е 07+ 09= =067=675'

20 20 20 20

4) Стучайная величина 0(ю) = 5(ж) — 1, закон распред. Уз (я) =, Ншпи плотность

1

1

л(х~ +1)

распределенияпо П

Решение

У=У' — 1. У (т)=

л(хз + 1)

Д(3)=~Яр(у))*ут(т) где 9(У)=(а (У)=у — 1

2У 2у

т((уз — 1)' + 1) л(3з — 23з + 2)

9 (У)=2У

Распознанный текст из изображения:

Билет Л16

1) Диете определение независимых ис пыл пиий. Что понимают под схемой Бернулли . 2) Пусть |се!о) — чис ю успехов в серии из а испытаний по схеме Берну хти н и — велико Докажите что в

41ш) Рс — Р < )=2'Рос Г )

я 1 Р!! — Р этом случае где р — вероятность успеха в каждом отдельноы испьпании. 3) 0.6 — вероятность наблюдать облачность со спупзика 0,95 - верозпность с которой данные передадут на Зеьзлю. Найти вероятность, что переданные данные об облачности верны. Решается через формулу Байеса РСН)= 0,6 Р6Н,)=0,4 Н, - облачность есть, Н, -облачностинет РСА)Нз)=0,95 Ртд)Нз)=0.05 РСН, ) А) = РСНз). РСА ) Нз) = 0.95.0.6 = 0.57 4) Дх,у) равномерно расперделена в О Дх.у)=1)2 ) су)= ) ) фт,у)бх — 1 5 <0,сту)= )с 17!Ах=уь! отсюда 0 <у <1 ) (у) = ) !72Ас = 1 — 5

(1+ 51 — ! < у < 0 Ду)= ! — уф<у

о,уз!

Распознанный текст из изображения:

Билет Лй

1) Дайте определение скачярной случайнойвеличины, сформулируйте и докаызпе основные свойства ее

функнии распределения.

2) Дайте определение независимых случайных величин Какиы основньш свойством обладает

совместный закон распределения независимых случайных величин

3) По дороге едут груз и лепсовая машины, груз в 4 раза больны чем лесковая, вероятность того что

труз. машина заед на бензоколонку — 0,05, а лепсовая — 0,15

Найти с какой вероятностью машина покидающая бензозаоравку — грузовая

4 1

Р(Н ) = — - легковая машина, Р(Н,) = — -трузовая Р(А , 'Н ) = 0,05 - вер-ть заир трузовой машины

5 ' 5

2

Р(А)=Р(Н) Р(А(Н)+Р(Н) Р(А[Н)=0,13 Р(Н, .4)= ' ' = ' ' ' =0.076

Р(А) Р(А)

4) Дано 0(ю) =2»,(ю) — Збз(ю) М[4з(ю)] = О, М[6 (ю)]= 2, Р~с (ю)] =2, Р[ст(ю)]=1

сот [сл(ю). 5,(ю)] = — 1, М[0(ю)] — 2 Р[0(ю)]—

Решение М[0(ю)] = 2М[6 (ж)] — ЗМ[4т(ю)] = — 6

23[0(ю)]=4Р[»(ы)] — 9)3[бл(сз)]+2 2.( — 3)сот[»(ю).4,(ю)]=4.2+9.1+12=29

Распознанный текст из изображения:

Билет Л19

1г Что к ил тарной функдии случайных величин. Сформулируйте

и докажите основные свойства математического ожидания.

нлн

Ц Дайте определение условного математического ожидания и докажите его основные свойства

27 Что ли р, луч " . р .. Сформулируйте и докалсите утверждение о виде

фушспии распределения случайного вектора.

3 3 В первой урне 5 белых и 4 черных шара. во второй урне 4 бенк и 2 черных шара.

Найти вероятность того. что вьпащенный черный шар нз первой урны.

Реш.

Ргдг — вьпашили черный шар. РгНз3 — вытанкьти шар из первой урны.

РГНгз — вьпащилн шар из второй урны

РгА ~ Н 3-если вьпаскивают из 1-й урны. то шар черный

РГА ~ Н; 3- если вьпаскивают из 2-й урны, то шар черный

РГН, , 'АГ - если вьпашили черный шар, то он из 1-й урны

Р1Нз ~ 47 = ' ' РГНзГ=Р(Н, 3= — РГА ~ Нзз=479 РГА ~Н,7=276

РС4 ~ нд. Ргн;7 1

РГА~НзГРГНзГЕРГА~Н;3.РГНз1 2

Ответ 477

41 найти Ртфгн) Ргшзг если Агозг н г7гшг незышоимы, и

е '.у яр

Ртесдзг — чгшгсрг= 0 уггфугугйт.43'=~с '43 ), е~е Уу~

Я(1елз) е ел(!ехз>

Распознанный текст из изображения:

Билет Л! 10 Ц Дайте определение к он ариадн и двух скалярных с туч айных величин. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариапии. 2) Что называют функдией Лапласа и кы ими свойствами она обладает 7 3)ВАЛ равновозыожныслед дефекты Р,=02 Р,=0,5 Рз=0,7.Найтиаероыностьчтодетать поступила в ремонт хотя бы с одной поломкой РГА) = Р7А ) Н ). РГН))ь Рфд )Н:~)'РГНД)ь Р(А ) Нз)' Р(Нз) 02 Е 05 Е07 = 05 1 1 1 3 3 3 Адетать поступила в ремонт хотя бы с одной полоыкой Р7А) = 0,5

4) гбгю),ргсо)) — сзучаияыпеехтор равномерно распред в круге Б.=!. найти 1 условную вероятность распред

Г(ко) 117 'г !х,3) е Й Ду)=~= й= ~ — А.= — ' = —.,'7:5л

1 —:я я,ь: .т 1

г с! 57х ~ у) = 20! — 5 12) Далее делим г Ц на 12) получаем ответ. ~0

1

Распознанный текст из изображения:

Быпет Л111

1) Что называется ыатеыатичесьим ожиданнеы скатярной функции случайных величин. Сфорьгулируйге

и докажите основные свойства математичесгсого о»шдания.

2) Проводиться аппо схемеБернулзии Р„= С„р Г! — р)" Докажите*по а) А Р =1, б) У Р„

вероятность того, что числа успешных испытаний не превосходит пи((ш но больше шо где 0<па <паз<(н

3) Есть 18 стрелков, есть 4 группы.

В 1 группе 5 человек - попадает с вероятностью р=0,8

Во 2-ой - 7 чел, р=0,7. в 3-ей — 4 чел. Р=0,6, в 4-ой - 2 чел, р=0,5

Какой группе принаатежит самый херовый илн самый нормальный стре.юк.

Н, - стрелок из г-группы, г=!,2,3,4

РГН ) = 5)18, РГНз) = 7 7!8, РОНз) = 279, РОН;! =1)9 А — стрелок попал в шль

РГА)= РГНг).РГА)Нз)ЬРОНз).РГА)Нз)ЬРГ Н ).РГА)Нз)е РГН ).РГ А)Нг) =

5 1 17 4 2

— — ь — 0,34 — 0,44 —.0,15=0,317

18 5 18 18 18

РГНг).РГА)Нз) 5718.0,2 РОНз).РГА)Нз) 2718.03

РгА) 0.317 Рг.4) 0,3!7

Р4Н )А)= ' = ' =0.280 РОНДА)= = =0.175

Р!Нз).Р!А)Нз) 4718.0,4 Р)Н,).РГА)Нз) 2718.05

Р(А) 0,317 ' Рф4) 0,317

Ответ - вероятно из второй группы

4)Две случ величины < я 0, дано

34(,140.п.п„соте<Ей)вбнпетеопештна,дано р У=З(ьд Р=с — 0 сг =Н-, сг'4 ПЧ

Найти 34Н, 44Р,НН,НР

АРН=Змф 440 НН=ЗНЕ -Н)ог.з <42 0)

2сот)3(,0)=3.2сос(2,0)

Ми=ййь — 340 * * НР=Нф Нд — 2 5.0)

'!Ег, р) = 31!!32;-0) — 34[34;-0)Дф;-0) — 341( — 0))) = иуугзгА — 342) ь гй — 310))ггф — Ау<) — гр — 440))) =

34!3!4 — 348)з) — 2 сог0фр) — ЗРГН вЂ” Зуг))з = Н<+ Нр — 2 сог 040)

Распознанный текст из изображения:

Билет Л112

!. Из програыиы 7ОО) и 9

2. 22е21

3. В цехе 20 отписав 1О марки А. б марки В, 4 марки С. 0.8 0.7- вероятнооти изготовления

отличных детачей. Найти гсакой процент отличных деталей выполняет цех

РСНс)=10)20=0.5. РСНз)=6)20=0.3 РСНз)=02

Р!А)= Р!Нс)Р!АсНс)е Р!Нз)Р!А~Не)е РсНз)рсАсНз)=0.5*0.9еО.Зе0.8е0.2е0.7=0.83=83 4

4.дано

1

Отсс)=4 С с) — 1; »»т)=, С Наыпп )„Оу)

л11ех )

у=х — !=ргх).обратим к=рггу)= — /уо!

-т=Ц !3)=,Зи441-1» )„ОУ)=Х) М!3»)е97!У)

! ! 1

Решение ООСЗ) =; ) СО,СУ»=

2 гз:е!! ' ' я!1+Π— Огуе!)з) я[3бе2)

1 1

);(О,~У»=

х)1е( )уе1)') я(уе2)

)„су) = 2*

лсуо2) 2,уе1

Распознанный текст из изображения:

Билет ЛМ3

1)Теорема Чебышева Теорема Бернулзей

2) Определение случайного вектора его фя распределения и ее св ва

3)радист сделал 3 вьпова. Р того что первый дойдет=О 2 2-0 3 3-0 4 Какова вероятность того, что

корреспондент вообще усльпвит вызов

Решение Р[А) = 02; Р[Аз) = 03; Р[Аз) = 0 4; АОАБ4 - ни один вылов не дойдет

Р[А)=1 — Р[А:АгА )=1 — Р[А )Р[Аг)Р[А )=1 — [1 — Р[А,))[1 — Р[А,))[1 — Р[А,))=0 ббб

4) Найти зьзотность распределения случ величины к[в) = б[зз )0[ г) если величины независимы и

распределены равномерно на интервале [-0.5[0 5[

Решение 2=ну, Р[х)=Р[ку х)=Р[2 х)=1-Р[куьх)

1 1

= 1. з: е [ — О. 5; О. 5)

) [х) = Ь вЂ” а 0.5 — [ — 0.5)

~ зЪя23з у=!)2.х=2х

О,.тб [ — 0.5: 0.5)

Дьз23, у = — 1)2! т = — 2х

[1. у е [ — 0.5: 0.5) )

0 у 4 [ — 0 5; О 5) ~

) [т, у) = Лх)) [у) — дш яезааискмьп сзу ч еешчзгя

\3

Р[з)=1 — Р[ьУ. з)=1 — Д)[хУ)Ат43 =1 — ~ Ат~ 43 — ~з Ат ~ 43,=

! з

.Г [з) = Г, [х) -искомая п.ютность

Распознанный текст из изображения:

Билет Л114

!) Дайте определение полной группе случайных собьпий. Выведете формулу полной верозпностн

2) Что называется дисперсией скалярной случайной величины. Сформузируйте и докажите основные ее

свойства.

3)ПР д Р Р Р в Ь раз меныне третьего стыпса.

А, е, ! - вероятности получения бры:а. Вероятность брака -.

Аыпаа дет браковаиая, Н, НзН, . Р! 4) = Р(В,)Р(А )Нс)«РОНз)рф4 ) Н,)«РГНДРГА ) Н,)

1 а Ь А«ае«63 1

РГА) = А« .е« .3= где . А - вероятность того что деталь

о«Ь«1 о«Ь«1 а«Ь«1 а«Ь«1 о«Ь«1

произв. первьпз станком.

4) Найти коэф. выпадения «!в и «бв при 2 бросках кубика.

х-число выпад 1 у-чнсо выпад 6

Р10,0)грб«НО Нбн Нб) гйб«НО«НО-,'-1)От=16)36

РО1,0)=НО*4!644)бь1)6=8)36

Р10,!)=Рг!,0)

0 16 36 8 36 1 36

РГ1Д)=Нбе1)6«1)бейб=2)36

1 8336 2,36 0

РГ2,0)=РГ0.2)=НО«1)6=1)36

2 136 0 0

Кд х О ! 2 у

Лжт р, 2536 !036 136 р, 2536 1ас36 1с36

347=А'х,р, =0" 25)36«1«10)36«2«1)36=1)3! ЛАУ=!)3

Нх= ~.тгр, — ЬЗАК)з

ВХ=О «25)36«1 «10)36«2 «1)36 — Г!)3) =5)18! НУ=5)18

К =А'лур, — ЗАК«К!У=О«0" 16)36«0«1«8)36«0«2" 1)36«1«0" 8)36«

«1«1«2)36«2«2" 0 — 1)3«1)3= — !НО

р = = — 1)5

— 1)18

ч5!18"1!18

Распознанный текст из изображения:

Рспп, р их будут

! аьб

2

откудаполучаем а=О, Ь=б

(Ь вЂ” а)

12

Билет ЛНЬ

Ц Докажите*по прин испытаниях по схеме Бернукт р

у си ешньсаи определяется равенством

2) Что понимают пад фу нюшей случайной величины. Сформулируйте и решите задачу о нахождении

зшсона распределения функдии случайной величины (обшнй случай).

3) Три стрелка стреляют в мишень по отдельности по 1 выстрелу и поражают мишень двумя пулями.

Нюни верозпность Р(А) — того что первый проыажет

РОАз) = 08 Р(Ат) = О 7 Р(Аз) = О, б

Решение Р)А) = РОА ).Р(А« ) А ). Р(А, ) А А ) = О 2.07.0б

Т.. РЬАД А,) = Р<А«), РЬА, ~ Азяз) =. ЬА,)

4) Случайная величина распределена на (а Ь) па равномерному закону й Х = ОХ = 3

Ншпи а й Ь

ЬТХ=~ л.р(«)А«=~ ' Ь:= .— Обз — аз)=

Ь вЂ” а Ь вЂ” а 2 2

Ь та) 1 (Ь вЂ” а)

НХ=Ц. — ~ . и =, БХ=МЬ вЂ” аХ)т=~ ф — ЬАТ~'.Рф«)А

2)Ь вЂ” 12

тогда получаеъз

Распознанный текст из изображения:

Билет Л116

1) Дайте определение условного математического ожидания и докажите его основные свойства.

2) Дайте определение кон ври а пи о иной матрицы двух с катерник случайных величин. Сформулируйте и

докажите основные свойства ковариапионной матриды.

3) 3 япппса с детатяюи 1-40 2-50 3-30

крыпеных в первою 20, 2-10,3-15

Найти вероятность того, что случайно выбр деталь - окрашенная

Решение

Р(А) = Р(Нс). Р(А ) Н ) Е Р(Н, ). Р( 1) Н, )+ Р(Н, ). Р(А ) Н, )

Р(Н;)= Р(Н, )= Р(Н, )= 1

3

Р(А)Нс)= = —, Р(А)Нг)= = —. Р(А)Н,)=

40 2 50 5 30 2

(е ж'0;

4)0(г )=Е (гг) — 224(г ), „г (х)=, Ноыяи 1;(О)

~0. тсО

Решение

2А)й, 42т+ 40

НайДЕМ Со 4 (От) — 244(от) — Г)(Ш)=0, 5=42 Е40, А(а)= =ййт14 ЕО=(О

— !

.( — ег). у' 0

! (О'= Г(3')ДУ(У)) ~~ -'К У

(О усО

Распознанный текст из изображения:

Билет 001

Ц Что называют л искр етньш с луч ай ныл вектором. Сформулируйте и докажите утверждение о виде

функции распределения случайного вектора.

2) Что нюыаается дисперсией скалярной случайной величины. Сформулируйте и докажите основные ее

свойства.

3) 3 Завода вероятность брака в дете так 1-О 253 20 153 Знет

В партин 2000 деталей с 1-ого, 3000 со 2-ого, 5000 с 3 его

Найти вероятность того *по случайная деталь нз этой партии брак.

Решение "0.002 е е 0.001е "0 = 0.007 = 0.750

2000 3000 5000

10000 10000 10000

4) Дано сг г) З,угт сг) найти плотность распределения с туч величины Ог г) = -" г е)

Решение

)1х)= е

гг ~еж

1

1 Область х= — Гу. т, =—

2ч7т

1

2 Область х=эГУ:

2 зл

ч)7 )приу ОиОпр у

ач 2х

2ч'х пз)2х 2.Б 2пЛтх

Распознанный текст из изображения:

Билет 18

Ц Дайте определение обобщенной плотности распределения вероятностей дискретной случайной

величины и приведите аргументы в обосновании ее корректности.

21 Сформулируйте р ад чу .ьд р пределенияфункциир П вЂ” з !случайной

величины где и:~" и «равнение У=ргкз имеет единственное решение а и для каждого Уез3

ЗЗ 1-25 '. Оры: 0.198

2-4098 брак 0.298

3-3554 брак 0.998

с какой р на испьпания попадет брак деталь с первого завода

Решение Р=Г0.25еО.ООЦус ОД5е0.00140.4е0.00240.35е0.0093=считать свези!

41 Назпирпопаланиявпрямоугольншс П з!йх<2 5<уй33. еслиргкуз=О ирпгх< 0 у <01 и

1 — 2 * — 2 '42 *' при хЛО,РЛО

Решение

П З!<х<2ЗХХЗЗ<у<5з

Рф, уфз» и =9гййфргайфргфнсзьргашз

Рьтзеб=!2З2 Ь2 142ЗЬ2З2гг!2З2З2гзе

К! 2 з 2 зь2х)=2- ь2 з 2л=11!28е(!щб 8)=91!28

Распознанный текст из изображения:

Билет №19 Ц Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сформулируйте и докаясите основные свойства его плотностираспределения вероятности. 21 Дайте определение ыроятности по Лапчасу Гкаьгбинаторноеопределение! 3! Снаряд разрывается на осколки на большие — с вероятностью 10№. на сред — 30№, на мазые — 609Ь При попадании в броню болывого снаряда пробив. ее с вероятностью 0.9 средний — О 2 . малый — О 05. Один осколок пробил броню. К какой группе он прин адделсат с болыпей вероятностью. РГАГ=О.!еО О-Ю.Зе0.2-Ю.О 0.05=0.18 А-пробеге броню,Н,-оторвшпвийся болывой,Н вЂ средн.Нз-маленький.

0 1" 0.9 03" 0.3 0.6" 0.05 Р~~Нз ) А 3= = О 5, Р|ГНз )Ь4 3= = 1! 3! Р(Нз, лз= = 116

0.1 8 0.1 8 0.1 8 Наверняка ебанет первый, то есть БОЛЬШОЙ 41 В декартовой вист. координат через точку ГО, 11 наугад проведена прямая. Ншпн закон распределения вероятностей расстояния от ! О, О Г до прямой.

9 — равноьтернораспределена [О.я!2[

.т

т = ! . ьш р Ш р = агс ми — = рт„

1

— у.бт>= у бр!.6г,

2 1 1 2

т .,!!."-лз ! яОР -зз

1 — —,

1

х е !0,13

По. 2!л3= т41

[О г 6 10.1'Г

Распознанный текст из изображения:

Билет №20

1) Дайте определение условной вероятности. Как связаны условные и безусловные вероятности7 Что

понимают под теоремой умножения верояпюстей"

2) Дайте определение ковариапии двух скалярных слуаайньп велианн. Сформулируйте и докажите

основные свойства ковариапин.

А — дезам с браком.

Н, — деталь с первого завода

Н вЂ” детазь со второго завода

РГА)= РГА)Н).РГН)ЕРГА)Н ).Р7Нз)=0 7.000!Е03.0003=0 00!б

Без брака 1 — Р7А) = 0,9934

Ргд~ Н,)=0.! РгА~Н )=О, 3

й †2 ' †! А+

А) Гсх,у)=~

'1О

(1 — 2* х' 0

Г!х) = Г1т,з- .) = г

~0 тс О

. ьО уьО

Найти р Гх)—

хсО усО

уьО усО

РДх)= =1в2.2 *

АГ !к)

Аг

3) Два завода выпускают продукдию. вероятность того, *по продут;дия с первого завода — 700 Б того что

со второго — 3 00 Б Вероятность брака на первом О, 1, вероюность брака на втором -О. 3 б й Нагни

вероятность. иго на!гад вьпаюенная продугпня бю бра а.

Распознанный текст из изображения:

Билет Л121

Ц Дайте определение непрерывной с к а жри ой случайной величины п сформулируйте основные

свойства ее плотности распределения верозпностей.

2) Что понимают под у ел о выьвз знаком распределения". Докажите равенство

г

где * — непрерывный случайный вектор.

3)Первая гатакчнкаизлучает с вероятностью РГН ), вторая с вероятностью- РГНг),

третья с вероятностью - РГН ) . Обнаружение первой галактики РГ.Л ~ Н ), второй — РГА ~ Нт), третьей-

РГА ~ Н ) . Найти с какой вероягнсютью мо кно обнаружитьт излучение галмлиьн какой неизвестно.

Решение

РГНз)=0 23, Р(Нз)=0 31. Р)Нз)=046. РД4)Н 4=0 002, РГА)Нз)=00035. РГА)Нз)=00055

РГА)=РСН) РОА)Нз)ЬРОНз).РОА)Нз)+РОНз).РОА)Н)=403е10з

4) ф = НГО,!) у=хе Исследовать х и у на зависимость и некоррелягивность.

Решение

ц хиузависимы таккаку=ха

2)

,ЦУ = ЛЛХг =ВХЬ ГЛАХ)з=!т о = 1. К =ЛАЕХ вЂ” ЛАХ)ОУ вЂ” Ла)) =М(Х вЂ” ОХХг —,ЦУ) =

= ЛРГХГХ вЂ” 1)) = ЛАГХз — Х) = МР— МХ = МЛ

Потом по ф-ле

ЛПе =~б~фКх)с)с=~Хе ех)з( )пг= ) — ~Х ~Х~еЧ( «Лз=

. =Х )У, «К=1- )У, «Л=-1 И «Д )= И

Х' Х Хе Л

2 2 2 2 2

1 — гХ вЂ” ЛЛХ)

)«г) = е . Следовательно некоррелятнвны

сгог2я 2а

Распознанный текст из изображения:

Бнпет Л'22

1) Сформузируйте центразьную предезьную теорему. Сформулируйте н докажите теорему МуавраЛапзаса.

2) Дайте определение независимых нспьпаний. Что понимают пад схемой Берну шн.

3) Бросают 3 игр. кости, какова вероятность того, зта при проведении 5 ти независимых испьпаний выпадет ровно 2 раза по 3 единицы

1 ! 1

Решение Р ( !) =С„р Г! — Р)" при одное испьпании р= —.— — =1!216 тогда Р,, =С;р'11 — р)' т. е.

б б 6

Рзс5)==Ссзс

216 216 2'3'

3 , Г16 12,

4) 66Ф) -распр. понорьь закону Зх»= сот<газ) = ! найти Рг<гш) 63 ~ <сею) =4)

! ~!2 !6 )

(б — Абфтгу)) (о — Мфтгу))

Решение Рса х Ь)5 — с 7)=Ф вЂ” Ф

сг «гг г

М)х)у)=ЧХ+р, 'бу — ЗАУ)!

сг

п„=йс! — р„'и,; р = " =!27!6=374! пг=ЛХ= ~:п,=д

Л323!.

21 21

Зуфт)у) = Зе — — 14 — 1) =21)4; и = А! — — 4 = 71ГОГДА .Ртх < 3) =Фг ) — Фг

34 Г9

44 1 16 Г7 т7

Распознанный текст из изображения:

Билет 2023

1) Выведите понатие л-мерного случайного вектора и сформулируйте основные свойства его фунгспин

распределении.

2) Исполюул аксиоыатическое !по Колы огорову) определение веров пюсти докажите следуюшие

утверледенил

а)РГО)=0

б)ргА~ В)=ргА)оргВ)-РгА В)

в)Если АВ, то Р(А)ЯбВ)

РгН. ) = ОЗ6

Р6Нз) = 0.04

РГА ) Н.,) = 0.98

РгА ) Н; ! = 0.05

4) з =!62 6Л =[.

с=[, ! сот(фобе)=! ! 34(ф)=[

-'- Ь

3 = Р.2.-25 Мббс ~ 6з =2) —.

сг, 3

34(сз ~ бз = 2) = ш е р <ф — тз) = 2 е

сг 2!5

РГА ) Нз). РГА:,)

Рф4)Н,:~).РГН)- Рсд) Нз).Р~ГН '!

отсюда т, =3 шз=1

12 — 3)

Г5

3) 965' продукдии стандартно с Р=О 98 схема контролл признает стандартную прод годной. с Р= 0 05

признает нестандартную годной. Опр. Р того что изделие стандартное

решение

А — изделие прошла контроль. Н,-прад стандарт 0.96 Нз-прод нестандарт 0.04

Распознанный текст из изображения:

22 Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные

свойства его плотности распределения верозпности.

ашин берут на ремонт. Найти

коробкой передач.

3[ В гараже 11 машину 5 нз них слоыана коробка передач. 6 любых ы вероятность Р что в ремонте нах-ся не меныпе 2 ыашин со сломанной

Репине задачу по ф-ле классическойверояпюсти

С,. [я — зя'!'т'

сочетаний без повторений

Гз

4!Дан норм. Распред. вектор С = [Сз, С, [. Дан вектор ожидание М[С[= [

[9 5

сот [с[= [ 1 найти Р[с, с! ~ с, = 1[ — 2

[5 16,'

Решение ЛХ[сз~с', =та[=те 'р[хз — и [

сг.

Р[ф ~ с, = хе) = а, [1 — рз[- [ в [Ч вЂ” 34[с '[

Лез ~ сз =.те[= ехр[ * — я ляпьше считайте [ 2 и получайте искоыуюр

Билет Л124

Ц Что пони»ают под законом болывих чисел и что .пшяется его основнгюг содержанием. Докажите

неравенство Чебышева.

Распознанный текст из изображения:

Билет Л125

П Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сфорьсулируйте и докажите основные

свойства его плотности распределения вероятности

2) Дайте определении Полной трузтпе случайнык собьпнй

Получите формулу Б айвза

3) Известно. что 0.0025 женшин и 0,05 мужчин дальтоники. На1тад выбирают человека. Он дальтоник,

кысова веро1пность того что это ьзужчина.

П, — гипотеза, что выбран. чудик - бабища

Пз — типотеза, что выбран. чудик - ьсулсик

Р[Н ) = Р[Н;) =1) 2, А — собьпие, что люди дальтоники

Р[А)Нс)=0,0025 Р[А)Нз)=0,05Надоншпн,что

Р[Нс ~ А) =

Р[Нз).Р[А)Нз) 1)2.0.05

— = 0,95

Р[Н,) Р[А)Н,)еР[Нт).Р[А)Нз) 1Х2.[0,05е0,0025)

4)Дан [боса] - нормально распределенный

[3] [1б 12!

БХ[босз] =[; сот[боба]=[ ~ Найти бр[5 ~бе=4]—

[12 10

Решение

1Х=тсер. ~[у — тз], тс=3 тз — — 1, Вс,=Нфз=!б,[причем [Нф =се)

ст,

3 12 12 сот[со -,)

коэф ковариацинр= — = = — = " сг,=ск =4

4 ст ст, 1б [Йс] .,[Йс]

т,+р[ 34,=3 йй =1. стс =10. а'=10 сот=12

ГХ '

ЛХ[б ~фа=4[=3е —.1.[4 — ![=в

4 4