Лабораторная работа: лаба К2

Распознанный текст из изображения:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА К2

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА — БОЛЬЦМАНА

Цель работы: Исследование двумерного равновесного распределения молекул газа по скоростям и распределения молекул идеального газа в пространстве под действием силы тяжести. Теория к работе

1. Концентрации

Рассмотрим гаэ из Ф одинаковых молекул, заполняющий некоторый объем пространства Г. Выделим внутри этого объема малый объем ЫУ, положение которого в пространстве определяется радиус-вектором г" (рнс. 1). Пусть дФ есть число молекул, которые оказались в объеме Н~ в момент времени 1. Концентрацией молекул в данном месте пространства называют отношение числа д1к' молекул в объеме ди к величине этого объема:

д1т' п(1, г) = —. Л'

(1) Посредством зависимости и = п(1, г) концентрации от координат описывают распределение молекул в пространстве.

Рис. 1. К определению хонценгпрации молекул. Запишем формулу (1) так:

(2)

Распознанный текст из изображения:

Очевидно, что сумма всех чисел дФ равна числу Л молекул и объеме У:

Когда молекулы распределены по занимаемому ими объему в среднем равномерно, их концентрация всюду одинакова и формула ~3) принимает вид

М = и'г'. (1)

2. Функция распределения

Молекулы газа болыиую часть времени движутся свободно, не взаиь действуя друг с другом. Они взаимодействуют только при столкновениях, в результате которых скорость и направление движения каждой из сталкивающихся молекул изменяются. Поэтому траектория движения молекулы в газе представляет собой ломанную линию.

Рассмотрим молекулы, которые в момент времени $ оказались в объеме ЫГ. Число таких молекул — оФ. Каждая из них имеет оно|о скорость ~рис. 2).

Построим воображаемую прямоугольную систему координат, иа осях которой будем откладывать значения проекций с, в и э, вектора скорости молекулы. Образованное при помокни этой системы координат про" странство называется аростараиствам скоросямй. Пусть э; есть вектор скорости молекулы из объема аУ, где ю — номер молекул~. Изобргсзим векторы э, в пространстве скоростей так, чтобы ях начала находились в начале координат (рис. 3).

Распознанный текст из изображения:

Выделим в пространстве скоростей небольшой объем, величину которого обозначим а~о. Положение этого объема в пространстве скоростей зададим вектором о, который начинается в начале координат и заканчивается в какой-нибудь точке внутри объема а го.

Рис. Я. Пространство схоростей.

Пусть а№ есть число молекул из общего числа ИФ, скорости которыя заканчиваются в этом объеме (рис. 4).

~зо Рис. (. Заемехтархый обЪем в пространстве скоростей

х скорости некоторых молекул ваза.

Для описания состояния газа используют функцию у = Д1, г, б), которая зависит от времени 1, радиус-вектора г н вектора скорости о и называется функцией расиреоеввнил. Эта функция определяется как отношение числа молекул о№ к произведению объемов а'г' и о~о: 7"(й, г, 17) =

И№

Распознанный текст из изображения:

( ~ г э ) ~ д з э

(6)

если известна функция распределения (5).

Так как сумма чисел ЫИ' равна числу НХ всех молекул в объеме Ы\',

справедливо равенство

НХ = Лг 7(1 6) Из

где интегрирование производится по пространству скоростей. Разделив

обе части этого равенства на Лг, с учетом определения (1) получим со-

отношение

п(1,г)=/ у(1,г,э)И э,

(7)

связывающее концентрацию молекул с их функцией распределения.

Если элементарный объем и'~э в пространстве скоростей имеет форму параллелепипеда с ребрами параллельными осям координат, то его величиа будет равна произведеняю дифференциалов проекций вектора скорости э на оси координат:

и э = аэг пэк пэ~

(8)

Подстановка произведения (8) в интеграл (7) превращает его в тройной

интеграл

(~, *„У, ) = / 1 1 л~„*„У. *. ",. э„",)~,ь„ь., (э

где интегрирование производится по всем возможным значениям величин

э , эк и э,.

3. Распределение Максвелла — Больцмана

Для идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, функция / = 1(1, г, э), описывающая распрсделение молекул газа в пространстве и по скоростям, будет иметь вид

(10)

Из этого определения следует, что число НЮ' молекул, которые в момент

времени 1 оказались в объеме Ы'г' при радиус-векторе г, а скорости ко-

торых заканчиваются в объеме Изэ при векторе э, можно вычислить по

формуле

Распознанный текст из изображения:

где С вЂ” величина, не завясящая от координат и скорости молекулы; Р = (1с Т) — обратная температура, 1' = 1, 380 - 10 кз Дж/К вЂ” настоянная Больцмана, Т вЂ” абсолютная температура газа,

1

е(г, е) = — е + Цг)

2

— энергия молекулы, которая зависит от ее координат и скорости, т.е. сумма к . етической энергии поступательного движения молекулы и ее потенциальной энергии У = У(г), если в пространстве имеется внешнее поле консервативной силы (например, на молекулы действует сила тяжести).

Подстановка (11) в формулу (10) приводит к следующему выражению:

у(г, е) = С ехр — )1 ( — т е + У(г)

1,2

(12)

Эта функпия называется функцией распределения Максвелла — Больц-

мана. Одной нз характерных особенностей этой функции является то,

что она зависит только от модуля вектора скорости

„г+„з+„г

Д Л

и не зависит от его направления в пространстве. При этом функция

распределения Максвелла — Вольцмана не зависит от времени.

Функцию распределения (12) удобно представить в виде произведения

двух функций:

/(г, е) = п(г) . ге(е),

(13)

первая из которых

(14)

есть концентрация молекул. Вторая функция имеет вид

(15)

где А — так называемая нормировочная постоянная,

1 т

а= — 1ут= 2 21гТ

(1б)

Распознанный текст из изображения:

Постоянные и, и А связаны соотношением п,А = С. Функцию (14) называют распределением Больцмана, а функцию (15) — раеиределением Максвелла. Первая описывает распределение молекул в пространстве, а вторая — их распределение по скоростям.

Подстановка функции (13) в равенство (7) пряводит к условию нормировки для функции (15)

(16)

Из этого условия найдем нормировочную постоянную:

А= ( — )

Теперь функцию распределение Максвелла можно записать так:

/а~3

ш(и) = ( — ) ехр (-о и )

(17)

Эту функцию можно представить в виде произведения трех функций:

ю(й) = д(и ) д(и„) д(и,),

(18)

где

д(и ) = — ехр ( — аи )

(1О)

есть так называемая функция Гаусса. График этой функции приведен

на рис. 5.

1 О 1

2 ъ'2а

Рис. 5. еуункцил Гаусса.

Функция Гаусса является четной и положительной. Она принимает максимальное значение при и = О и стремится к нулю, когда

Распознанный текст из изображения:

~ », ~ — оо. При этом она удовлетворяет условию

9(»п) й»е = 1 ~

/

(20)

есть доля частиц, скорости которых заканчиваются в объеме И~». Такое отношение называется вероятностью того, что какая-то взятая наугад молекула имеет скорость в объеме ср». При этом сама функция ю = е»(»)называется плотностью вероятности.

Функция Гаусса 9 = 9(»,) имеет следующий смысл. Выражение

9(»,) И»,

есть доля частиц, скорости которых вдоль оси х лежат в интервале

(»„» + ь,).

4. Функпня Максвелла

Как видно из формулы (17) функция распределения Максвелла зависит только от модуля вектора скорости и не зависит от его направления. Поэтому на поверхности сферы (рис. 6)

» +»„+» =» =совА

радиуса» в пространстве скоростей функция (17) всюду принимает одно

и то же значение.

Рис. б. Сферический слой в пространстве скоростей.

т.е. плошадь под кривой яа рис. 6 равна единице.

Физический смысл функции ео = е»(») заключается в том, что выражение

ео(») о» =—

з

йФ

(21)

Распознанный текст из изображения:

Построим еще одну сферу радиуса э+ Не. Векторы скоростей молекул, концы которых попадают внутрь сферического слоя между этими сферами, таковы, что их модули принадлежат интервалу (щ е + сЬ).

Число ИФ' молекул в объеме Иг', модули скоростей которых принадлежат интервалу (э, е+ дь) можно найти по формуле (6). Для этого подставим в эту формулу функцию (13) и объем

Ы~ь = 4яе~ Ыэ

сферического слоя. Получим:

АМ' = п ш(е) ИУ 4 л э Иь.

Величина

есть число молекул в объеме ИУ. По определению отношение

с1Л' = ~(ы) 4 д~

Р(э) дэ: — ш(е) 4 те й~.

(22)

Используя выражение (17), будем иметь

(23)

Зависимость (23) называется функцией Максвелла. График этой функции приведен на рис. 7. При э = О функция (23) равна нулю: Р(О) = О. При значении ее модуля скорости, которое называется наиболее верояи1ной скоросиэью молекулы, функция Максвелла имеет максимум, В интервале (О, ее) она монотонно возрастает, а в интервале (ее, оо) монотонно убывает, стремясь к нулю при э — сю.

Так как выражение Р(е) еи есть вероятность, интеграл от этого выражения должен быть р..вен единице:

Г(э) ((э = 1.

о

(24)

есть вероятность того, что одна из молекул имеет скорость, модуль которой лежит в интервале от э до э + Пь.

Введем функцию Е = Е(ь), зависящую от модуля вектора скорости, при помощи соотношения

Распознанный текст из изображения:

Поэтому площадь под кривой на рис. 7 также равна единице.

»о»а+ ~»

Рис. 7. Функция Максвелла.

Физический смысл функции Максвелла можно пояснить следующим образом. В соответствии с определением вероятности выражение Е(») Ы» есть доля молекул, модули скоростей которых лежат в интервале (», »+ Н»). При этом относительное количество молекул, скорости которых лежат в интервале от некоторого значения»а до»~+А», будет выражаться интегралом

» +Ь»

гЕ[» Е [»о~ »» + ез»])

— Е(») еЬ,

»

1 ] 2*»'ТР

,/се Ч еп

(25)

Функция Максвелла (23) содержит в себе в качестве параметра величину се, которая согласно формуле (16) зависит от температуры газа.

где )У вЂ” полное число рассматриваемых молекул, 1т'(» Е [»„», + Л»])— число молекул, модули скоростей которых лежат в интервале [»„», + Л»]. Этот интеграл равен площади криволинейной трапеции под кривой Г = Р(»), основанием которой служит отрезок [»„», + Ь»] на оси». При помощи этого выражения можно следующим образом интерпретировать график зависимости Р = Г(»). Из рис. 7 видно, что относительное количество молекул со скоростями» Е [»„», + Л»] мало при малых н больших скоростях (т.е. для», 0 или», -+ оо при Ь» = сон»1), а наибольшее число молекул имеет скорость в окрестности значения»а (т.е. когда»» + — Ь»»а).

Найдем наиболее вероятную скорость»а. Согласно необходимому условию экстремума функции при этом значении производная функции Е = Е(») обращается в ноль. Приравняв нулю производную от выражения (23) по», придем к уравнению, из которого найдем искомое значение наиболее вероятной скорости молекул:

Распознанный текст из изображения:

Поэтому сама функция Максвелла и описываемое ею распределение молекул по скоростям изменяются при изменении температуры газа. Наиболее вероятная скорость молекул (25) увеличивается при возрастании температуры. Тогда как максимальное значение функции Максвелла с ростом температуры уменьшается. При этом график функции Максвелла прн возрастании температуры видоизменяется так, что максимум кривой смещается вправо (в сторону больших скоростей) и становится ниже, но плошадь под кривой при этом остается равной единице.

ввэ вв

вв, Рис. 8. Изменение функции Максвелла

при возрастании температуры газа.

На рис. 8 для сравнения приведены два графика функции Максвелла, соответствующие различным температурам Т1 и Тз > Ты Рассмотрим, как изменяется с температурой распределение молекул по скоростям. С этой целью выберем некоторое произвольное значение скорости в,. Относительные количества молекул й(в < в )/Я и Ф(в > в,)/М со скоростями соответственно меньшими и большими, чем в„выражаются интегралами от функции Максвелла: (в<во) Р( ) ~ (в>вв)

в 9 Нетрудно видеть, что с ростом температуры количество Л(в < в ) молекул со скоростями в < в, монотонно уменьшается, а количество Ф(в > в,) молекул со скоростями в > в, увеличивается. Короче говоря, при возрастании температуры молекулы начинают быстрее двигаться.

5. Двумерное распределение молекул по скоростям

Распределение молекул газа по скоростям в и вз можно описать посредством функции

(26)

10

Распознанный текст из изображения:

Обозначим

— ю2+ ю2

(29)

Пусть ИФ есть число молекул, для которых величина (29) принимает значения, принадлежащие интервалу [ю, ю+ Ию]. Чтобы ыайти отношение этого числа к числу 17 всех рассматриваемых молекул газа, следует в выражении (28) заменить "площадь" ою, Ыюв прямоугольника ыа плоскости ю»юв "площапью» 2 тю Ию кольца, внутренний радиус которого равеы ю, а внешний — ю+ Ию. В результате при помощи формул (27) и (29) получим следующее выражение:

Ы1»'

— = <р(ю) ою, (30)

где

1о(ю) = 2 а ю ехр ( — а ю ) (31) Фуыкция 1ю = 1»(ю) является двумерным аыалогом функции Максвелла (23). График этой функции похож на график функции Максвелла, изображенный на рис. 7. Нетрудно доказать, что площадь под графиком функции (31) равна единице, т.е.

»о

у(ю) Ню = 1.

о

(32)

Приравняем нулю производную функция (31) по в. Найдем наиболее вероятную скорость юе, т.е. значение величины (29), при котором функция 1э = 1»(ю) принимает наибольшее значение:

(33)

11

Такое распределение называют двумерным. Подстановка функций Гаусса (19) преобразует эту функцию к виду

ы(ю, юв) = — ехр ( — а(ю, + в~)) (27)

Физическый смысл функции ю = в(ю, юв) можно объяснить следующим образом. Пусть оИ есть чысло молекул, проекция на ось х скоростей которых лежит в интервале [ю, ю, + Ою,], а проекция ыа ось р — в интервале [ю„, ю„+ оюв]. Отношение этого числа к числу Ф всех рассматриваемых молекул газа есть вероитность того, что проекции иа ось х скорости произвольной молекулы газа лежит в интервале [в, ю + Ию»], а проекция на ось р — в интервале [ю„, юв + Ыюв]. По определению

И1'»'

ю(ю» юв) ою» оюв (28)

Распознанный текст из изображения:

6. Зависимость коипеитраяпяи молекул от высоты

рассмотрим идеальный газ, находящийся в состоянии термодияамического равновесия в однородном поле силы тяжести. Если газ состоит из одинаковых молекул, то потенциальная эяергия У каждой из яих будет

(34) где т — масса молекулы, д — ускорение свободного падения, р — высс» та, иа которой находится молекула яад поверхностью Земли. В таком случае для описания распределения молекул газа в пространстве можно применить закон Вольцмава (14), который теперь будет иметь вид

(35) п(у) = и, ехр( ).

lс Т При у = 0 концентрация п(0) = п„т.е. параметр п, есть значение коицеятрации молекул у поверхности Земли.

Формулу (35) можно примеиять для описания распределения молекул воздуха явд земной поверхностью, яо только к сравнительно небольшим объемам атмосферы, где поле силы тяжести и температура воздуха одяородяы.

Рис. д. Зависимость концентрации молекул от высоты.

Для воображаемой модели изотермической атмосферы Земли графики функции (34), соответствующие различным значениям температуры, приведены иа рис. 9. Площадь 1 п(у) е1у под каждой из этих кривых од-

а яа и та же, и равна числу молекул воздуха, приходящихся яа квадратный метр земной поверхности.

При увеличении температуры концентрация и, молекул у поверхности Земли уменьшается, а кривая зависимости п = п(у) становится более пологой, т.е. молекулы более равномерно распределяются в пространстве. На характер распределения молекул в пространстве и вид зависимости

12

Распознанный текст из изображения:

и = п(у) оказывают влияние две тенденции в поведении молекул газа: 1) под действием силы тяжести молекулы стремятся опуститься на земную поверхность, 2) в результате теплового движения молекулы стремятся расположиться равномерно в пространстве. Прн низких температурах преобладает первая тенденция и атмосфера уплотняется и становится тоньше. При высоких температурах доминирует вторая тенденция и концентрация молекул медленнее убывает с высотой.

7. Гистограммы

Согласно определению (30) значения функции 1о = у(и) при экспериментальном исследовании распределения молекул по скоростям можно вычислить по формуле

(36) где сгФ вЂ” число молекул, скорость о = из+ о„г которых принимает значения, лежащие в интервале [о, и+ Ьо), сао — "ширина" выбранного интервала скорости, Ф вЂ” полное число рассматриваемых молекул. ~ Ьи 1 Рис. 10. Гистограмма. Из форулы (36) видно, что значение у(о) соответствует не одному значению скорости, а целому интервалу. Чтобы построить график функции у = 1о(о) по измеренным значениям, поступают следующим образом. Числовую ось и разбивают на интервалы одинаковой ширины Ло. Для каждого нз этих интервалов вычисляют по формуле (36) значение р(о), которое откладывают на оси ординат и отмечают горизонтальным отрезком длины Ьо, расположенным нао, соотвествующим интервалом [о, о + сто] на "высоте" р(и). В результате такого построения получают ступенчатую кривую линию, которая называется гистограммой. На рис. 10 изображена возможная гистограмма функции 1о = у(о).

13

Распознанный текст из изображения:

Концентрацию а(у) молекул газа на высоте у можно экспериментально определить следующим образом. Представим себе, что газ заключен в высоком цилиндрическом сосуде, площадь основания которого равна Я. Выделим в газе плоский тонкий слой, ограниченный двумя горизонтальными плоскостями, одна иэ которых расположена на высоте у, а другая — на высоте у+ Ьу. Объем слоя равен Я Лу. ЛустыХФ есть число молекул в этом объеме. Согласно определению (1) конпентрация молекул в слое будет

Л1У п(у) =

(37) По этой формуле можно построить гистограмму, описывающую распределение молекул газа по высоте под действием силы тяжести.

Порядок выполнения работы

1. Изучение распределения Максвелла 1. Ознакомиться с текстом на экране компьютера. 2. Исследовать зависимость

ЬФ а(э) = Ж у(э) = —,

Ьэ ' которая описывает распределение молекул газа по скоростям. Установить, как изменяется эта зависимость при изменении температуры газа Т. если число молекул М = соазг. 3. Установить, как изменяется зависимость а(э) при изменении числа Л молекул в газе, когда его температура Т = соаз$. 4. Снять зависимость квадрата наиболее вероятной скорости частиц эе

г от температуры Т при Ф = сопэ1 Для этого измерить линейкой на экране значение ое для различных значений температуры Т. Полученные значения занести в таблицу.

14

Распознанный текст из изображения:

По этим данным построить на бумаге график зависимости эээ — — иеэ(Т) при И = сопг1. Через "экспериментальные" точки н через начало координат провести линню. Объяснить полученный результат при помощи формулы 133). 5. Повторить наблюдения для смеси двух газов. Дать анализ этих наблюдений.

2. Изучение распределения Больцмана 1. Исследовать зависимость п1у) = ЬЛ Лу ' которая описывает распределение молекул газа по высоте в поле силы тяжести. Установить, как изменяется эта зависимость при изменении температуры газа Т, когда число молекул Л и ускорение свободного падения д постоянны. 2. Установить, как изменяется зависимость п(у) при изменении числа У молекул в газе, когда постоянны температура Т и ускорение свободного падения д. 3. Установить, как изменяется зависимость п(у) при изменении ускорения свободного падения д, когда температура газа н число молекул

постоянны. 4. Пусть Ь есть высота такая, что половина частиц находятся на высотах у < Ь. Это значение высоты можно измерить линейкой на экране компьютера. Снять зависимость высоты Ь от температуры Т при д = сопэФ и Ф = сопэ1. Для этого измерить линейкой на экране значение Ь для различных значений температуры Т. Полученные значения занести в таблицу. По этим данным построить на бумаге график зависимости Ь = Ь(Т) при д = сопзг. Через "экспериментальные" точки н через начало координат провести линию. Объяснить полученный результат при помощи формулы (35). 5. Снять зависимость высоты Ь от ускорения свободного падения д при Т = сопз1 и Х = сопэ1. Для этого измерить линейкой на экране значение Ь для различных значений д. Полученные значения занести в таблицу.

15

Распознанный текст из изображения:

По этим данным построить на бумаге график зависимости И = Ь(1/д) при Т = сопэ1. Через "экспериментальные" точки и через начало координат провести линию. Объяснить полученный результат при помощи формулы (35).

Вопросы к работе

1. Дайте определение концентрации молекул.

2. Как связаны число молекул и их концентрация?

3. Дайте определение функции распределения.

4. Запишите соотношение, связывающее концентрацию молекул и функцию распределения.

5. Запишите функцию распределения Максвелла — Больцмана. Какой смысл имеет эта функция?

6. Запишите функцию распределения Максвелла. Какой смысл имеет эта функция?

?. Запишите функцию распределения Больцмана. Какой смысл имеет эта функция?

8. Запишите функцию Гаусса. Какой смысл имеет эта функция? 9. Запишите функцию Максвелла. Какой смысл имеет эта функция? 10. Запишите функцию распределения в = ш(э, эк). Какой смысл имеет эта функция?

11. Запишите функцию распределения, которая является двумерным аналогом функции Максвелла. Какой смысл имеет эта функция? 12. Наиболее вероятная скорость молекул.

13. Запишите зависимость концентрации молекул от высоты.

16