Ответы к экзамену: Высшая математика

Если Вам нужна помощь со сдачей тестов:
⏬
Сдача тестов в Синергии/МТИ/МОИ/МосАП

---

Перед покупкой сверьте список вопросов и убедитесь, что вам нужны ответы именно на эти вопросы!
С вопросами и вы можете ознакомиться ДО покупки.
Для быстрого поиска вопроса используйте Ctrl+F.

---

Как записывается скалярное произведение векторов a и b через их координаты?

• a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + ...
• a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
• (a₁ + a₂ + a₃)(b₁ + b₂ + b₃)
• √(a₁² + a₂² + a₃²) · √(b₁² + b₂² + b₃²)

Как изменится определитель матрицы при перестановке двух строк?

• Не изменится
• Увеличится в два раза
• Изменит знак
• Станет равным нулю

Как изменится определитель матрицы, если все элементы одной строки умножить на число k?

• Не изменится
• Умножится на k
• Разделится на k
• Станет равным нулю

Как изменится определитель, если к одной строке прибавить другую строку?

• Не изменится
• Увеличится в два раза
• Изменит знак
• Станет равным нулю

Как называется вектор, длина которого равна единице?

• Нулевой
• Единичный
• Коллинеарный
• Ортогональный

Как называется вектор, перпендикулярный к плоскости?

• Направляющий вектор
• Нормальный вектор
• Касательный вектор
• Единичный вектор

Как называется коэффициент k в уравнении прямой y = kx + b?

• Свободный член
• Угловой коэффициент
• Параметр
• Дискриминант

Как называется матрица, все элементы которой равны нулю?

• Единичная
• Диагональная
• Нулевая
• Обратная

Как называется матрица, которая равна своей транспонированной?

• Единичная
• Диагональная
• Симметричная
• Обратная

Как называется матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю?

• Диагональная
• Верхнетреугольная
• Нижнетреугольная
• Симметричная

Как называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов?

• Прямоугольная
• Квадратная
• Диагональная
• Треугольная

Как называется поверхность, заданная уравнением x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1?

• Сфера
• Эллипсоид
• Параболоид
• Гиперболоид

Как называется произведение векторов, результатом которого является вектор?

• Скалярное произведение
• Векторное произведение
• Смешанное произведение
• Тензорное произведение

Как называется расширенная матрица системы?

• Матрица коэффициентов
• Матрица коэффициентов с добавленным столбцом свободных членов
• Транспонированная матрица коэффициентов
• Обратная матрица коэффициентов

Как называется система уравнений вида Ax = 0?

• Неопределённая
• Несовместная
• Однородная
• Переопределённая

Как называется система уравнений, не имеющая решений?

• Определённая
• Неопределённая
• Несовместная
• Однородная

Как называется точка пересечения прямой с осью ординат?

• Абсцисса
• Ордината точки пересечения
• Угловой коэффициент
• Свободный член

Как называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю?

• Коллинеарные
• Единичные
• Ортогональные
• Компланарные

Как найти длину вектора с координатами (x, y, z)?

• x + y + z
• √(x² + y² + z²)
• xyz
• |x| + |y| + |z|

Как найти расстояние между двумя точками A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) в пространстве?

• |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁| + |z₂ - z₁|
• √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
• (x₂ - x₁)(y₂ - y₁)(z₂ - z₁)
• √(x₂² + y₂² + z₂²) - √(x₁² + y₁² + z₁²)

Как найти расстояние между двумя точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂)?

• |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|
• √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
• (x₂ - x₁)(y₂ - y₁)
• √(x₂² + y₂²) - √(x₁² + y₁²)

Какая кривая задается уравнением y = ax²?

• Гипербола
• Эллипс
• Парабола
• Окружность

Какая линия задается уравнением x² + y² = R²?

• Парабола
• Гипербола
• Окружность
• Эллипс

Какая операция с матрицами заключается в перестановке строк и столбцов местами?

• Сложение
• Транспонирование
• Умножение
• Обращение

Какое уравнение задает прямую в пространстве в каноническом виде?

• Ax + By + Cz + D = 0
• (x - x₀)/l = (y - y₀)/m = (z - z₀)/n
• x² + y² + z² = R²
• z = ax + by + c

Какое уравнение задает эллипс с полуосями a и b?

• x²/a + y²/b = 1
• x²/a² + y²/b² = 1
• x² + y² = a² + b²
• ax² + by² = 1

Какое уравнение является общим уравнением плоскости в пространстве?

• z = ax + by + c
• Ax + By + Cz + D = 0
• x² + y² + z² = R²
• x/a + y/b + z/c = 1

Какое уравнение является общим уравнением прямой на плоскости?

• y = kx + b
• Ax + By + C = 0
• x = a
• y = mx²

Какой метод решения СЛАУ основан на последовательном исключении неизвестных?

• Метод Крамера
• Метод Гаусса
• Матричный метод
• Метод итераций

Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле...

• a11 + a22 - a12 - a21
• a11 · a22 - a12 · a21
• a11 · a12 - a21 · a22
• a11 + a12 + a21 + a22

Определитель произведения двух квадратных матриц равен...

• Сумме их определителей
• Произведению их определителей
• Разности их определителей
• Частному их определителей

Определитель треугольной матрицы равен...

• Сумме всех элементов
• Произведению диагональных элементов
• Сумме диагональных элементов
• Нулю

При каком условии два вектора коллинеарны?

• Их скалярное произведение равно нулю
• Один является произведением другого на число
• Их векторное произведение равно единице
• Они имеют одинаковую длину

При каком условии две плоскости параллельны?

• Их нормальные векторы перпендикулярны
• Их нормальные векторы коллинеарны
• Их нормальные векторы равны
• Сумма нормальных векторов равна нулю

При каком условии две прямые параллельны?

• Их угловые коэффициенты равны по модулю
• Их угловые коэффициенты равны
• Произведение угловых коэффициентов равно -1
• Сумма угловых коэффициентов равна нулю

При каком условии две прямые перпендикулярны?

• Их угловые коэффициенты равны
• Произведение их угловых коэффициентов равно -1
• Сумма угловых коэффициентов равна нулю
• Разность угловых коэффициентов равна единице

При каком условии можно перемножить матрицы A и B в порядке AB?

• Матрицы должны быть квадратными
• Число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B
• Матрицы должны иметь одинаковые размеры
• Определители матриц не равны нулю

При каком условии можно применить метод Крамера для решения СЛАУ?

• Система должна быть однородной
• Определитель основной матрицы не равен нулю
• Число уравнений больше числа неизвестных
• Все коэффициенты положительны

При каком условии прямая параллельна плоскости?

• Направляющий вектор прямой параллелен нормальному вектору плоскости
• Направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости
• Направляющий вектор прямой равен нормальному вектору плоскости
• Прямая лежит в плоскости

При каком условии система имеет единственное решение?

• Ранг основной матрицы меньше ранга расширенной
• Ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен числу неизвестных
• Определитель основной матрицы равен нулю
• Система однородная

При каком условии существует обратная матрица?

• Матрица должна быть симметричной
• Матрица должна быть диагональной
• Определитель матрицы не равен нулю
• Матрица должна быть треугольной

При каком условии три вектора компланарны?

• Их скалярное произведение равно нулю
• Их смешанное произведение равно нулю
• Их векторное произведение равно нулю
• Они имеют одинаковые длины

Сколько координат имеет точка в трёхмерном пространстве?

• Две
• Три
• Четыре
• Зависит от системы координат

Сколько решений имеет однородная система с определителем основной матрицы, равным нулю?

• Ни одного
• Одно
• Бесконечно много
• Два

Сколько решений имеет совместная определённая система?

• Ни одного
• Одно
• Два
• Бесконечно много

Чему равен модуль векторного произведения двух векторов?

• Произведению их длин
• Произведению длин на синус угла между ними
• Сумме их длин
• Скалярному произведению векторов

Чему равен определитель единичной матрицы любого порядка?

• 0
• 1
• -1
• n (где n - порядок матрицы)

Чему равен определитель матрицы, если две её строки одинаковы?

• 1
• 0
• -1
• 2

Чему равен определитель нулевой матрицы?

• 1
• 0
• -1
• Неопределён

Чему равен определитель транспонированной матрицы?

• Нулю
• Определителю исходной матрицы
• Обратному значению определителя исходной матрицы
• Противоположному значению определителя исходной матрицы

Чему равна сумма матрицы A и нулевой матрицы O?

• Нулевой матрице
• Матрице A
• Единичной матрице
• Транспонированной матрице A

Чему равно векторное произведение коллинеарных векторов?

• Единичному вектору
• Нулевому вектору
• Произведению их длин
• Сумме векторов

Чему равно произведение матрицы A на единичную матрицу E?

• Нулевой матрице
• Матрице A
• Единичной матрице
• Удвоенной матрице A

Чему равно расстояние от точки M(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0?

• |Ax₀ + By₀ + Cz₀|
• |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²)
• √((Ax₀)² + (By₀)² + (Cz₀)²)
• |A + B + C + D|

Чему равно расстояние от точки M(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0?

• |Ax₀ + By₀|
• |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)
• √((Ax₀)² + (By₀)²)
• |A + B + C|

Чему равно скалярное произведение двух перпендикулярных векторов?

• 1
• 0
• -1
• Произведению их длин

Что означает ранг матрицы?

• Число строк в матрице
• Число столбцов в матрице
• Максимальное число линейно независимых строк
• Определитель матрицы

Что показывает теорема Кронекера-Капелли?

• Метод решения системы
• Условия совместности системы
• Формулу для вычисления определителя
• Способ нахождения обратной матрицы

Что получится при умножении матрицы размера 2×3 на матрицу размера 3×4?

• Матрица размера 3×3
• Матрица размера 2×4
• Матрица размера 3×4
• Операция невозможна

Что представляет собой уравнение x² + y² + z² = R²?

• Плоскость
• Сферу
• Цилиндр
• Конус