Ответы к зачёту Темы 1-6: Высшая математика

1. При каком условии две прямые параллельны?
Их угловые коэффициенты равны по модулю
Их угловые коэффициенты равны
Произведение угловых коэффициентов равно -1
Сумма угловых коэффициентов равна нулю
2. Как найти расстояние между двумя точками A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) в пространстве?
|x₂ - x₁| + |y₂ - y₁| + |z₂ - z₁|
√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
(x₂ - x₁)(y₂ - y₁)(z₂ - z₁)
√(x₂² + y₂² + z₂²) - √(x₁² + y₁² + z₁²)
3. Как изменится определитель, если к одной строке прибавить другую строку?
Не изменится
Увеличится в два раза
Изменит знак
Станет равным нулю
4. Как называется поверхность, заданная уравнением x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1?
Сфера
Эллипсоид
Параболоид
Гиперболоид
5. Как называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю?
Коллинеарные
Единичные
Ортогональные
Компланарные
6. Чему равен определитель матрицы, если две её строки одинаковы?
1
0
-1
2
7. При каком условии можно применить метод Крамера для решения СЛАУ?
Система должна быть однородной
Определитель основной матрицы не равен нулю
Число уравнений больше числа неизвестных
Все коэффициенты положительны
8. Какое уравнение является общим уравнением прямой на плоскости?
y = kx + b
Ax + By + C = 0
x = a
y = mx²
9. Какое уравнение задает прямую в пространстве в каноническом виде?
Ax + By + Cz + D = 0
(x - x₀)/l = (y - y₀)/m = (z - z₀)/n
x² + y² + z² = R²
z = ax + by + c
10. Что представляет собой уравнение x² + y² + z² = R²?
Плоскость
Сферу
Цилиндр
Конус
11. Какое уравнение задает эллипс с полуосями a и b?
x²/a + y²/b = 1
x²/a² + y²/b² = 1
x² + y² = a² + b²
ax² + by² = 1
12. Чему равна сумма матрицы A и нулевой матрицы O?
Нулевой матрице
Матрице A
Единичной матрице
Транспонированной матрице A
13. Как называется точка пересечения прямой с осью ординат?
Абсцисса
Ордината точки пересечения
Угловой коэффициент
Свободный член
14. Чему равно произведение матрицы A на единичную матрицу E?
Нулевой матрице
Матрице A
Единичной матрице
Удвоенной матрице A
15. Как найти расстояние между двумя точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂)?
|x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|
√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
(x₂ - x₁)(y₂ - y₁)
√(x₂² + y₂²) - √(x₁² + y₁²)
16. При каком условии три вектора компланарны?
Их скалярное произведение равно нулю
Их смешанное произведение равно нулю
Их векторное произведение равно нулю
Они имеют одинаковые длины
17. Чему равно расстояние от точки M(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0?
|Ax₀ + By₀|
|Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)
√((Ax₀)² + (By₀)²)
|A + B + C|
18. Чему равно векторное произведение коллинеарных векторов?
Единичному вектору
Нулевому вектору
Произведению их длин
Сумме векторов
19. Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле...
a11 + a22 - a12 - a21
a11 · a22 - a12 · a21
a11 · a12 - a21 · a22
a11 + a12 + a21 + a22
20. Что означает ранг матрицы?
Число строк в матрице
Число столбцов в матрице
Максимальное число линейно независимых строк
Определитель матрицы
21. Определитель треугольной матрицы равен...
Сумме всех элементов
Произведению диагональных элементов
Сумме диагональных элементов
Нулю
22. Какой метод решения СЛАУ основан на последовательном исключении неизвестных?
Метод Крамера
Метод Гаусса
Матричный метод
Метод итераций
23. Как называется система уравнений вида Ax = 0?
Неопределённая
Несовместная
Однородная
Переопределённая
24. Как называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов?
Прямоугольная
Квадратная
Диагональная
Треугольная
25. Какая кривая задается уравнением y = ax²?
Гипербола
Эллипс
Парабола
Окружность
26. При каком условии можно перемножить матрицы A и B в порядке AB?
Матрицы должны быть квадратными
Число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B
Матрицы должны иметь одинаковые размеры
Определители матриц не равны нулю
27. Сколько решений имеет однородная система с определителем основной матрицы, равным нулю?
Ни одного
Одно
Бесконечно много
Два
28. Чему равен модуль векторного произведения двух векторов?
Произведению их длин
Произведению длин на синус угла между ними
Сумме их длин
Скалярному произведению векторов
29. Как называется произведение векторов, результатом которого является вектор?
Скалярное произведение
Векторное произведение
Смешанное произведение
Тензорное произведение
30. Как называется вектор, длина которого равна единице?
Нулевой
Единичный
Коллинеарный
Ортогональный
31. Чему равен определитель транспонированной матрицы?
Нулю
Определителю исходной матрицы
Обратному значению определителя исходной матрицы
Противоположному значению определителя исходной матрицы
32. Чему равен определитель единичной матрицы любого порядка?
0
1
-1
n (где n - порядок матрицы)
33. Какая линия задается уравнением x² + y² = R²?
Парабола
Гипербола
Окружность
Эллипс
34. Чему равен определитель нулевой матрицы?
1
0
-1
Неопределён
35. При каком условии две прямые перпендикулярны?
Их угловые коэффициенты равны
Произведение их угловых коэффициентов равно -1
Сумма угловых коэффициентов равна нулю
Разность угловых коэффициентов равна единице
36. Чему равно расстояние от точки M(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0?
|Ax₀ + By₀ + Cz₀|
|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²)
√((Ax₀)² + (By₀)² + (Cz₀)²)
|A + B + C + D|
37. Как называется матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю?
Диагональная
Верхнетреугольная
Нижнетреугольная
Симметричная
38. Как называется матрица, которая равна своей транспонированной?
Единичная
Диагональная
Симметричная
Обратная
39. Сколько координат имеет точка в трёхмерном пространстве?
Две
Три
Четыре
Зависит от системы координат
40. Как найти длину вектора с координатами (x, y, z)?
x + y + z
√(x² + y² + z²)
xyz
|x| + |y| + |z|
41. Какая операция с матрицами заключается в перестановке строк и столбцов местами?
Сложение
Транспонирование
Умножение
Обращение
42. Какое уравнение является общим уравнением плоскости в пространстве?
z = ax + by + c
Ax + By + Cz + D = 0
x² + y² + z² = R²
x/a + y/b + z/c = 1
43. Чему равно скалярное произведение двух перпендикулярных векторов?
1
0
-1
Произведению их длин
44. При каком условии существует обратная матрица?
Матрица должна быть симметричной
Матрица должна быть диагональной
Определитель матрицы не равен нулю
Матрица должна быть треугольной
45. Как называется система уравнений, не имеющая решений?
Определённая
Неопределённая
Несовместная
Однородная
46. Как называется расширенная матрица системы?
Матрица коэффициентов
Матрица коэффициентов с добавленным столбцом свободных членов
Транспонированная матрица коэффициентов
Обратная матрица коэффициентов
47. Как изменится определитель матрицы, если все элементы одной строки умножить на число k?
Не изменится
Умножится на k
Разделится на k
Станет равным нулю
48. При каком условии прямая параллельна плоскости?
Направляющий вектор прямой параллелен нормальному вектору плоскости
Направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости
Направляющий вектор прямой равен нормальному вектору плоскости
Прямая лежит в плоскости
49. Чему равен модуль векторного произведения двух векторов?
Произведению их длин
Произведению длин на синус угла между ними
Сумме их длин
Скалярному произведению векторов
50. Сколько решений имеет совместная определённая система?
Ни одного
Одно
Два
Бесконечно много
51. Что получится при умножении матрицы размера 2×3 на матрицу размера 3×4?
Матрица размера 3×3
Матрица размера 2×4
Матрица размера 3×4
Операция невозможна
52. При каком условии два вектора коллинеарны?
Их скалярное произведение равно нулю
Один является произведением другого на число
Их векторное произведение равно единице
Они имеют одинаковую длину
53. Определитель произведения двух квадратных матриц равен...
Сумме их определителей
Произведению их определителей
Разности их определителей
Частному их определителей
54. Как называется коэффициент k в уравнении прямой y = kx + b?
Свободный член
Угловой коэффициент
Параметр
Дискриминант
55. При каком условии две плоскости параллельны?
Их нормальные векторы перпендикулярны
Их нормальные векторы коллинеарны
Их нормальные векторы равны
Сумма нормальных векторов равна нулю