ДЗ: Курс Вычислительные методы (ИДДО ВМ-Б-4-1-Экз) - Типовой расчет. Вариант 7. Оценка 5. вариант 7

Задание 1 Вычислить значение Z и оценить абсолютную и относительную погрешности результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления по дополнению. Записать результат с учетом погрешности. Указать верные цифры. Задание 2 До скольких значащих цифр следует округлить число 𝑥0 = 10/7 , чтобы погрешность вычисления величины 𝑓(𝑥0) не превосходила 0,01%?Задание 3 Локализовать корень нелинейного уравнения 𝑓(𝑥) = 0 и найти его методом бисекции с точностью 𝜀1 = 0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью 𝜀2 = 0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности 𝜀2 число итераций.Задание 4 Дан многочлен третьей степени 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 23𝑥 2 + 8 .

Методом Ньютона найти действительный корень многочлена, расположенный на интервале (-3, 0) с точностью 𝜀 = 10−6Задание 5 Вычислить нормы ‖∙‖1 , ‖∙‖𝐸 , ‖∙‖∞ матрицы А и нормы ‖∙‖1 , ‖∙‖2 , ‖∙‖∞ вектора b. 𝐴 = ( −1,548 −1,891 −0,756 2,39 ) 𝑏 = ( 5,21 −0,12)Задание 6 Определить погрешность решения СЛАУ 𝐴𝑥 = 𝑏, если элементы матрицы А заданы точно, а элементы вектора правых частей b получены в результате округления. 𝐴 = ( −1,548 −1,891 −0,756 2,39 ) 𝑏 = ( 5,21 −0,12)Задание 7. Решить систему уравнений 𝐴𝑥 = 𝑏 методом Гаусса (LU-разложения) 𝐴 = ( −3 −2 −7 8 −24 −24 −57 73 −3 −42 −18 45 −6 −12 9 53) 𝑏 = ( −9 −100 −75 −314)Задание 9 Решить систему уравнений 𝐴𝑥 = 𝑏 методом прогонки 𝐴 = ( 12 −6 0 0 0 1 4 2 0 0 0 0 5 3 0 0 0 −3 12 −3 0 0 0 −1 2 ) 𝑏 = ( 144 −21 12 −117 24 )Задание 10 Решить систему уравнений 𝐴𝑥 = 𝑏 с точностью 0,05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя.

Указание. Для обеспечения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений. 𝐴 = ( −3 2 62 6 72 −3 −2 −1 9 2 3 101 3 103 −7 −2 ) 𝑏 = ( 324 −463 776 453)Задание 12. Функция 𝑦 = 𝑦(𝑥) задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов. x -2,8 -1,4 0 1,4 2,8 y -3,8 -0,5 -0,3 3,1 4,9Задание 14 Для функции 𝑦 = 𝑦(𝑥) , заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке x0.

x -5 -4 -3 -2 y 3 1 0 4Задание 15 Для функции 𝑦 = 𝑦(𝑥) , заданной таблицей своих значений, построить интерполяционный многочлен Ньютона. С его помощью вычислить приближенное значение функции в точке 𝑥̃ и оценить практически погрешность приближения. Записать результат с учетом погрешности. x -8 -6 -4 -2 0 y 2 1 -1 -1 3 𝑥0 = −3,65Задание 17 Вычислить приближенное значение интеграла ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 , используя квадратурные формулы: а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2 оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом ℎ = 0,4.

𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥 1 + 𝑥 𝑎 = 4, 𝑏 = 5,6Задание 20 Вычислить центральную и правую разностные производные функции 𝑓(𝑥) с шагом ℎ = 0,1 в точке 𝑥0 = 𝑎+𝑏 2 . Выполнить априорную оценку погрешности для каждой формулы, сравнить с точным значением производной. Записать результат с учетом погрешности. 𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥 1 + 𝑥 𝑎 = 4, 𝑏 = 5,6Задание 22 Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка { 𝑦 ′ = 𝑓(𝑡, 𝑦) 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 на отрезке [t0,T] с шагом ℎ = 0,2: а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.

𝑓(𝑡, 𝑦) = −𝑦 𝑡𝑔𝑡 − sin 2𝑡 𝑡0 = 0 𝑇 = 1 𝑦0 = 2Задание 25 Методом конечных разностей найти решение краевой задачи { – 𝑦 ′′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦(0) = 𝑦0, 𝑦(1) = 𝑦1 с шагами ℎ1 = 1/3 , ℎ2 = 1/6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.Задание 27 Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности { 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑘 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝑓(𝑥,𝑡), 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 0 < 𝑡 ≤ 𝑇 𝑢(𝑎,𝑡) = 𝑔1 (𝑡), 𝑢(𝑏,𝑡) = 𝑔2 (𝑡), 0 < 𝑡 ≤ 𝑇 𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 используя явную разностную схему. Взять ℎ = (𝑏 − 𝑎)/10, шаг 𝜏 выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при 𝜏 = 0, 2𝜏, 4𝜏, … , 𝑇 { 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 0,4 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 , 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 ≤ 𝑇 𝑢(0,𝑡) = 1, 𝑢(1,𝑡) = 𝑡, 0 < 𝑡 ≤ 𝑇 𝑢(𝑥, 0) = 1 − 𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.