ДЗ 1: Все 27 номеров домашнего задания вариант 15

Задание 1. Вычислить значение Z и оценить абсолютную и относительную погрешности результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления по дополнению. Записать результат с учетом погрешности. Указать верные цифры.

Задание 2. До скольких значащих цифр следует округлить число x₀=10/7, чтобы погрешность вычисления величины f(x₀ ) не превосходила 0,01%?

Задание 3. Локализовать корень нелинейного уравнения f(x)=0 и найти его методом бисекции с точностью ε₁=0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε₂=0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε₂ число итераций.

Задание 4. Дан многочлен третьей степени P(x)=x³+bx²+c. Методом Ньютона найти действительный корень многочлена, расположенный на интервале (-3, 0) с точностью ε=10^-6


Задание 5. Вычислить нормы ‖∙‖₁, ‖∙‖_E, ‖∙‖_∞ матрицы А и нормы ‖∙‖₁, ‖∙‖₂, ‖∙‖_∞ вектора b.

Задание 6. Определить погрешность решения СЛАУ Ax=b, если элементы матрицы А заданы точно, а элементы вектора правых частей b получены в результате округления.

Задание 7. Решить систему уравнений Ax=b методом Гаусса (LU-разложения).

Задание 9. Решить систему уравнений Ax=b методом прогонки.

Задание 10. Решить систему уравнений Ax=b с точностью 0,05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя. Указание. Для обеспечения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.

Задание 12. Функция y=y(x) задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов.

Задание 14. Для функции y=y(x), заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке x₀.
Задание 15. Для функции y=y(x), заданной таблицей своих значений, построить интерполяционный многочлен Ньютона. С его помощью вычислить приближенное значение функции в точке x₀ и оценить практически погрешность приближения. Записать результат с учетом погрешности.

Задание 17. Вычислить приближенное значение интеграла ∫_a^b f(x)dx, используя квадратурные формулы: а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2 оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0,4.

Задание 20. Вычислить центральную и правую разностные производные функции f(x) с шагом h=0,1 в точке x₀=(a+b)/2. Выполнить априорную оценку погрешности для каждой формулы, сравнить с точным значением производной. Записать результат с учетом погрешности.
Задание 22. Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
{ y^'=f (t, y)
{ y^{(t₀ )}=y₀
на отрезке [t₀,T] с шагом h=0,2: а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.

Задание 25. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи
{ –y^''+q(x)y=f(x)
{ y(0)=y₀, y(1)=y₁
с шагами h₁=1/3, h₂=1/6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.

Задание 27. Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
{ ∂u = k ∂²u + f(x,t), a ∂t ∂x²
{ u(a,t) = g₁(t), u(b,t) = g₂(t), 0{ u(x,0) = φ(x), a≤x≤b,
используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0,2τ,4τ,...,T.