Для студентов МАИ по предмету Вычислительная математикаещё одна лабаещё одна лаба 2015-11-15СтудИзба

Лабораторная работа: ещё одна лаба

Описание

Небольшая верезка:

Отчет по лабораторному практикуму по курсу
«Теория оптимизации и численные методы»
Тема: Методы безусловной оптимизации ФМП»
Вариант №15
Цель работы: Изучить прямые методы безусловной минимизации на примере квадратичной функции 2-х переменных...

Характеристики лабораторной работы

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
232
Скачиваний
22
Размер
6,84 Mb

Список файлов

ReadMe

Файлы скачаны со студенческого портала для студенты "Baumanki.net"

Файлы представлены исключительно для ознакомления

Не забывайте, что Вы можете зарабатывать, выкладывая свои файлы на сайт

Оценивайте свой ВУЗ в различных голосованиях, в том числе в досье на преподавателей!

02

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.З

стр.4

~7Г(Х ) =

4 ( — 3)+2 ( — 1.2)+20 5.6 1 4 ( — 1.2)+2 ( — 3)+10 — 0.8~

— 20 0.17857 — 3.7514

= 5.6569

— 1.2 — 0.8 — 1. 12

= 4.7916

3 4'( 3.56)+2'( 1.12)+20 3 52

Ч1(Х ) =

4 ( — 1.12)+2. ( — 3.56)+10 — 1.6

= 3.8666

4.79162

~Зо = =0 04592 22.3607

2.1429 -20 -3.0612

Задание ИО 1

Задание ИО 1

Вычислим точку Х по формуле: Х =Х вЂ” с~ЪТ(Х ). Зададим шаг 1~ =0.1

~(Х')=2 ( — 3.56) +2 ( — 1.12)'+2 ( — 3.56) ( — 1.12)+20 ( — 3.56)+10.( — 1.12)+10= — 36.5696

1(Х') < 1'(Х'), следовательно, шаг выбран удачно

Приведенные вычисления представим в виде таблицы

в) Сделать одну итерацию методом наискорейшего спуска из начальной точки

Х = (О, 0) в направлении экстремума

Итерация О. Итерация О совпадает с О-й итерацией метода градиентного спуска.

Итерация 1

с

Вычислим точку Х по формуле: Х' = Х' — ~о~Т(Х') .

Вычислим шаг со.

1(Х )=2'( 20'Со) +2 ( — 10 йо) +2'( 20'йо) ( 10'1о)+20 ( 20 1о)+10 ( 10 1о)+10=

800 й~ о+200 1о +400 1о 400'1о 100'1о +10

1400'1о 500 Со+10

М(Х ) 500 = 2800 ' 1о 500 = 0 =~ 1о = = 0-17857 йо 2800

Г(Х ) =1400 0.17857 — 500 0.17857+10= — 34.6429

4

( — 3.5714) + 2. ( — 1.7857) + 20 2.1429

~Т(Х ) = 4 ( — 1.7857) + 2 ( — 3.5714) +10 — 4.2857

Приведенные вычисления представим в виде таблицы

йо х У 1 ~7, ~7 Ч1 Х

0 0 0 20 10 10 22.3607

1 -3.5714 -1.7857 0.17857 2.1429 -4.2857 -34.6429 4. 7916

г) Сделать две итерации методом Гаусса-Зейделя из начальной точки

Х = (О, 0) в направлении экстремума

д) Сделать две итерации методом сопряженных градиентов из начальной точки

Х = (О, 0) в направлении экстремума

Итерация 0 совпадает с 0-й итерацией метода градиентного спуска.

Итерация 1 совпадает с 1-й итерацией метода наискорейшего спуска.

Вычислим точку Х по формулам:

Х =Х +т~д

с1' =-Л(Х')+ РОД", с$ = — С71(Х )

04

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы>3

стр.1

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.2

х ~ — 2х, ч-1 — 1-ч 21х~ — 2 3 х, ч- /9 — 9' ) = — 1

(х, — 1) — 1-'; 2((х — /32) — 9/4) = — 1

(х, — 1) ч-2(х — /32) = — 1ч-1-'; 9/2

Дано: 1(Х) =х, +2х2 — 2х, — бх2 — 12-+ех~г

2 2

2х, +х2 — — 1

Решение:

— каноническое уравнение эллипса

а) Решить задачу графически

х2 — — 3 х2 =О

х1 — — — 1

2х, +х2 — — — 1 2х, +х2 — — — 1 х, — 1=4х2 — 6 х) — 4х2 = — 5

2х|+ х2 — — — 1

9х2 — — 9

(1) — 2 (2)

. 9 'ч.)

х1 — — +

') см. Приложение к М2

Задание Иа 2

Задание Ио 2

Этап Иу2 Методы решения ЗНП при ограничениях типа равенства

Преобразуем ограничение к виду: ~р;(Х) = О 2х, +х2 —— — 1 =э 2х, +х2+1=0 =~ у|~Х)=2х, +х2+1

Решение задачи есть точка касания ограничения и линии уровня функции 1 =С, где С = сопй. Искомая точка касания обладает следующими свойствами: ° точка касания принадлежит ограничению: 2х, " + х 2 " = — 1 ° в точке касания градиенты функции и ограничения линейно зависимы:

Кдс Кас 2Х 2 2 2Х) 2 4Х2 6 ~1-(Х Кас ) ~т (Х Кас ) 1 1 2 4х кс — 6 1 2 1

2 Воспользовавшись условиями касания, составим систему уравнений и найдем координаты решения:

Найдено решение задачи - точка Х =( — 1,1) — точка касания ограничения и линии уровня функции 1=( — 1) +2.1 — 2 ( — 1) — 6.1 — 12= — 13.

Построим графическую иллюстрацию решения.

Ограничение в задаче — прямая с уравнением х2 = — 1 — 2х,.

Определим конфигурацию пинии ' уровня функции 1' = — 13, вычислив инвариант:

1 0

Р = = 2 т.к. Р > О, то искомая пиния уровня эллипс.

0 2

Запишем уравнение линии уровня:

х, + 2х 2 — 2х) — бх 2 — 12 = — 13

х, +2х2 — 2х, — бх2 — — — 1

2 2

Приведем уравнение линии уровня к каноническому виду, выделив полные квадраты:

х) — 2х, + 2(Х2 — Зх2) = — 1

2 2

Центр эллипса - точка с координатами П, /32х) .

Главные диагонали эллипса прямые с уравнениями: х, =1 и х, = ~ .

3"

Найдем точки пересечения эллипса с главными диагоналями:

х 3

( 2 — 2) =/4» хх — /2= +—

(Х2 —:2)

3 2 9 3 3

9,/

/4

Получены точки с координатами: (1, 0) и (1, 3)

3" 9" х2 =3.1213

Х2 — /2 х, =1 р (Х) — 1) = /' — Ф Х) — 1=+ т—

9.' 2 / ~/2 х, = — 1.1213

/2

Получены точки с координатами: 1 — 1.1213, /32х) и 13.1213, 3/2)

Найдем еще несколько точек дпя построения эллипса, выразив х, из канонического

уравнения эллипса:

Построим на чертеже ограничение и линию уровня функции Г = -13.

09

Распознанный текст из изображения:

ч

О«

° °

о

И1

'2 О

й «

Е о

В 0

к

Е,

2

в

о

й ~2

С,! 0 5

к С

в г

2

в ~ !о

г

о о о!

СО

В С» 0! ««! С1!

Д

о

Сд Сд

в в в

Сйд д

5

5 Е Е

с й й

Ек «0

!о 0

ф 0

ес

6

с

в

е о1

х ]

с

с

5 0

5 Ш

г

о

о«

д в

о

5

о

х

СИ й

в д

е

5

о

х

д

Ф «Т

в

Ф

х

Ф

х

х

г

х х

02

д

Ф

о

02

«Т

51

о

-!

0

О1

й

~ О

о ,„с в Е

й 5 О

Е й Е

к

о Ф ~3- о с й в ~

в 5

-8- с с г

5 5 Ф ~«2

х 5

ю

о

Т>

0 0

5! в О1 5

с

в Ф ЧЭ й

о

Ф

д

Ф 5 5

о о

01 в 5

0

5 х в

х 0 ь

5

о

о в

й

Е

в

5 Е

5! Ю й

Е

Ф -1 11

х

Сд

Д2

5

в о

с

о

-1 В

Ф =.! Ш

0

Ш !! Ф

2

В Хш 1~ 5

о ."

ь

о

М ч

Х

:2 к

в в

в к

в

Г

-1

в 11

д 11! ~ 0

Я Д

о в

Ш

5

х

й

22

о Ю

-1

2

с Ф

Е

й -1

5! о

Ф

02

0

:2 о

о

-1

о д

О1

0

Л:

в в

Ф

«2

о

0

к

Ю

1;2 Ш Ф

о

Е

о

Э

Ш -«

в

й Е

-1

Е

о

Е

01

в

?:

в

в

Ы

д

к

Ф

11

1> о

Э

х

Б

0

5! х

о

1>

0 =

(р, 11

!>

в о

?= 1

5

+

о - о

о

01

Э

о

Ш

01

в

5

о

Ш

Ш

0

ь

о

22

д

Э

С2

Ф

Е

Ф

х

в

М

о

0

о

Ш

Э

о

Ш

с

5

Е

51

«д

0

5(

1> С«2

5

с

о

( )

о

д

11 й

С2

1 в

+ х

О 0

о

11

Я

х

Э

Сй

в

С!!

5

о

«Т

х

д

Ф

«2

Ф

Й

й

х

«?2 СГ!

в

о

Ш

х

о

ь

г ~ ~ е

х 11 11 'й«2

С2

Ф

'" Е

Ф

й

х

Е

5

Ф

Ф

о

х 0

г х 0

х

02

х 11 й

х

о о

М Ш

Ю

с

5

Е

о Э

й Ф

Е

й

Сй

8

Ф

0 т

Ш

Ф

о

-1

Ш

Э

-1

0

с

к

Ф

о

о

0

С2

ь

5

в

в

5

С>

ч:! д д

й Ф й

с> О О

с Э Э

до о

с с

Э 5

<вв

-1 -1

С,!, й

в 1 °

Ы

5

Е 5'о

Э

и д ввш

Е

с

й

«~2 д

~ о

о 1~!

о о

о

000

О\ 4~

-~ с=

Си в с

СЫО

— Π5

т

в

Ш -Ю

Э

— Е

Ф

~ Е

с

о! 0

1~2 О

!

5! «р

! с

0 х

к

к

В 0

-2 ~3-

г 5

-!

11 11

(:>

С! в

Ф

Е

в

ю

Е

22

о ч7 -о В 0

в «Г в -1

[~Э

11

С:>

1

+

11

1

Ь~

«:1 в ~~ с о

-« 'Ч:2

-«О в к

Со С» СЪ «» Щ СаЭ

о

1

5' о

-1 ~

0

в

к

в 0

с~

0- 5

— с

!о Ф

яд

-!

о 0 о

-« в Ш

Т2 й с в

СИ в С!) 5

о г х

>

«О

5

о

х

х х х х ~

% 'К !!

х

-2 О О «)

Ф

Ч5

Ф

Ф

х

0

х

1

в

о

0

д

вк

д

й

Э

Е Ш

в о

д й

+г о

Х 5

й

х йк

0 о

22

«ю!

Я

о 5

«0 Ш

Ф

х

х

г о1

й 2

5

0 ~

й

о

й

Е !о

е С)

5 д

й

д од

В51 Д

ь 0

Ф к

0 -«

Э

0

~> Ш

1!

о о

2

о

«э й

СМ

г Ф

о

о

в

С1!

0

о

-1

Я

Ф

О1

[.~ в

5

о

х

х

д

Ф

О

Ф

Ф

х

«?2 5

о х 0

ь

х х

Э

о Ф

й

Ф х

х х

х С1) -1

о

10 й

Е

й

х

5 Ф

о 0 0

-! Ф -«

о

с Ф -«

0 д к

Э

о о о

Ч5

ь

5 в в

Е

СП в

Ф 11 й «' Е

й Э

о 0 0

Ш

5 Е

Э

в 01 2 5 Э

й

в

«2 Э

0 ~

Вк Ш

1

-1

01 о

-1

.,- о

д о

2 -«

Л2 О1

5

С!2

1

о

1~)

Д:2

Ф й

«2 С2

й й

о о

д х

Э 5

-1

в в

Э

',0

о

Я -«

в

в Ш

~ Е

Фс

С2

~ о

од 0

01 с

с

1 Е

~ 0

0 ~

5

в

5 Оэ

о

Ш В

с Е

в

Е С2

~ Е

с

о! 5

Ф

:2 '«2

й

Е о

с

5

0 й

л

о о

~Р Д2

СЛ «2

в

С!!

~ ь

Ф

т5

!о 5

1

д о

0

Ч:2

с о

д ~

-1

о

22 в

О

Ю

и в

Ф.О

Е

в Е

в

20 5

о 5'

Ч

в

о"

к

в Е

Э

-!

10

Распознанный текст из изображения:

Ъ

ъ

е

ч о ь

)з о с о !!! Щ (!!

з

сп

в ~Е

о

Х Ф

й

О Ф Е Ф

х

Ф !й в ь в

с

Ф

ч

О~ Л

в Я(

й Е Е Е

П

!

х х

+ !

х

!2

+

х

+

(:>

О х

4~

х

П

х

+ +

х

х

Б.

!") х х +

х

!!/ !~

о !л

4~

х

+

х

!>

М

х +

о

ф. х

м

о +

х

П

4~

!.П с Ф Е ЧЭ в

о о

ю

й) ЧР

в ь

в с

Ю !й

о

о

о

о в

в х

Х Е

с

с й

й Х

Е Е

Б Е

И

! !

х х

Б ~~.

хс о

к

о ~

о

3 ь

ч

[> О:!

П

о

1

о о

.г о

Б

г)

П

о

в

О

+ о

с

П

й

й

01

в

Б;

о

х

Ф

о

й

Е

Э

х

х

1:! ! в Е

о

Х

х х

П П й

Е

Ф Ф

о о

х О !э

Ы П !! й

О Оо!

5 Е

й в О~ Б

с

й

СО

о х о

ь

х

:Д Ф С$ Э Е Ф Х

х х

х Ю

о

ЧЭ й

Е

й Е й

о о о

-! Ы Ф

о

-! Ш с й -!

о

с

Ф

о

к

о о

ЧР ь Б

х

в в Б (:)

Л: в

с

в

Х

о

Ф Сй в

о о х

о

Ф О й

Е

й ьэ

й С> П П

Ов

с оо к

х ~

~ о

с=

в

ы х

дс д

ой в

М

с о

с ~й !„!

е в

е сР ь

й в

ы с

с в

~ о

В -1

~ с

в

й

~ о

-1

о м

ь

о о

о

~с О

Ф

Е

Э

в ~

ь

в о

с ~!

Б

ц о

з г

о

Л

о к

о

-8-

-8-

о й

Б

Е

с в

3' Е

в

П

!

х х

х

+ +

х

х

!л !л

Я

Р~

:Л Э 'Ю Э ~~! й Е к

в

ь в

с

Э

о

к в в Е с Е в

Я

в -1

о

!

о

с й Х

о М

Б

~3-

з

Х в :Д

о

2 с

с

Е

ъ

е

=-! о

ь ))

о

а

с Ю 5 о Щ Щ й Ф

з

о

СЬ

11

Распознанный текст из изображения:

х О

+ -О

Ф

ю

с

Ф

+ о

о

х ь

5

о

Е

!4 О

-1

-1

Э

Ы

~ о

о

5

Ф

х х

о

Э

о

о1 ~0 й) с й

ю

5

о х о ь

д с

5 о о

Э

(44

х х

х

1

х

1

(/1

+

И

(/1

Ы

о о

Ж 3 [Т

х

+ 1

+ +

(Л ('4

х

1 +

1 +

х

1 +

х

И И

1 1

м (л

+ 1

!'Э 4~

х

И И

+

х

И И

+ 1

!~4 4~

х

И И

1

1~4 Ж +

Ь

+ х

И

1~4 (Г

— х л ~

й

о ь + о

О'.( ! Я

Ы + ((

й» ь й»

о

5(

о

5

о

-1 Ф

Е

о о

5 Ь

о д

~~ о

~ о

5

х

с

о

ь й'

с д

Ф

»" д

5

Ч» 5!

5

к О

к

о о

о э

О Г

Е

Е

й) 5(

ь

Ф

с

»

Ф 07

о

5(

с

й»

о

И

о

5 Э

о х о ь

5

Е о о о

2 Ф д

о

! 1

х

+

х

1 х

И

Ш ! 4

х

И

(»~ !

И

1 +

х х

м!

х

1 +

х

И И

1

+ х И

И

Л

о

2 с

с

й

д о

5(

о

5

о

-1 й Е

й» -1

о о

Л Ф Ч»

о

Ю

х х х

ы н ы

1о й) Э 5 5( :2 1:» 5

Е

й 5 д Ф 5( д Я Ф :» (Р Э

о

Сй

о

й)

о

Я й) 5 М

1 1

1 о

1 Х 1

1 1

1 1

+

1 1

Ь4

(4

1 1

1 1

1 1

1 у( 1

1 х 1

н ' (н

1 1

1 ! 1

1

1

х х

1 4~ 1 4:

И ' И

1 1

1 1

1 1

1;Ц 1 !' »

ь о со

5 О

Ц ~~с

о ~'о

Д 0.

й» д ф

!Г х Эд

д

Еэх

5 Ч»

Ф

Ф

~ ~о

О,0

о

О ь

~ Э

Э

о

~ д

Э Д

с

Ф

Е

5 О

й

с ~3-

ч» -~3-

й)

0д С

Э 5

д Ф

4( -1

-1

Ы

-~ о

Х

-1

О О

о'ь

с

Ю

к 01

о о

4=1- Е

~3- 0

Ф

5 0

Э С

д

!Т !Г

о

Ф О

~ э

5 Х

,„р о

° -~р

о ~д

+-~щ

о

с

с й»

а ".

д о дд~д~э ф

д д

(4 !! 5 Ф

2 + + 5 5

01 44

х х О о

4~ 4~

~ о

!4 „Ф

Е

д

М "„~ 5(

о 5 ~ о о х с ~

5

о1

к'- о ~

63

~ Ю

Е

с >

о

ь о «->

5 ~ д

ь Э

СОИ

д 0»ь5

д

!Г Э

-» ~ о

д

!Т !ТС

о

ЭдО

о

Фд5

Е Э Э

э о

д о~о

-~ х х

!т о о

ь ь

=» 5 5

Э Е

О О О

о

О1

р .о

Э

3

ФОЭ

о Б

0» О

Ж

(Г Э

5 О

о

Ох д

О 5

сЯ

5 )й

ш1- (м!

х

С (4»

'О ~ц

Ы

Р

Е

Э

Е

М

о

5 ~0

о

-1 03

Э Э

е ь

[Г Э

(Г С

т» О

Ы

о

5

5

Ф й

'Э с

Е

Е

Ф (,ъ

к

Д 0»

5

я

й»

»

Э

5

О4

!0 С

о

-! Б

О

О О

о ~

х Ф

(4 Д

д

5 О

5(

ь

о

х х х хс

+ 1 1 +

1' 4 (л)

х

+ 1 1

О! 4~

х х

+ + 4~

х

И И И 1 1

+ + +

о о

й

В

о Ог

ъ

Ф 3 В

~( )~

ъ

~(

~0

о

Э О 5

И

й

о х о ь

5 Е

о о

5

й

о й»

с о

д

х а

й

о ь о

12

Распознанный текст из изображения:

ь ч о ь о

з

Ф

5 с с с (Ъ Ф Ф Ф

Ш

2 о

Д 5 Е

х

И

х

И

х

И

О1 !

Ю

о

Ф щ

О Ш

Ш с

Ф

о ~

Ш Ш

Ф

О т

~1 Ш

с

о

Ф

~ о

ц о

х

о 1

х

И

И

(гз ! 4

(л 1

х

о(Г

1

о

О0

1

И

о

Ь~

ЬЭ

м!гэ

х

И

х

( о

(((! 1

+

м1

С1 о

И о о

Ю

Е О1 Е М Ф

О~ !

И о О0

Ю Ф о Е Ф Х

ь

Ф о

ф

$ (

Ш Ю Ш Ф

ь

Ф Г х

Ш Ю Ы Ш х

х

( О ( О (.1О

1 1 1

х х

П П И

о

О~ О С

1

о о

1

00 ~О

Ь~ 4~

«о

Н 11 11

о о о

4~

О~ СЬ

о

Ш

И 2

о|Г о~

5

Е

(м !

!-1 о

й

+ о

й

о!

О

О~

м(! ~

5

Ф

И Ф5

о

х Оэ

И)

И

5

Е

1

(л ! .9-

о

(.> о О

и

с

о!

Я

1 ар

~1- 2

х

~ о

й

5

.'О

Л

й

О

03

о

о

Л

о

О1

М

Ф

М

О

Ф

Е

й

5

М

Б

о

;о И

$и <:г,1

с

М

( О (1О -О

И И

(м !

о!

0Э О1 й ~о й к М с й

о

-1

Ф

Ф

с

Ф О

о

О1

5

Х

й

х

5 Ю

о

й 3~ с

б Е

Ф

Х

03 .С й Х 5

й

~о й й х

х

В

~(

3 ь

о О

В

й

3

О (Ь

О й

В

~(

х

И

О1! ~

х

01 М

1

('~11 М(4

Ф

ЧР й)

с

5 й

И

И

О~ 11

И

(.Рз ! 4

И

И

о

И 11

о о

ОО

4~

о

1 1

о о

4~

О~ П

о о м о О О

00 С~

(л 1

х

о

-1

И о

~О О~

С« (О 4 1 о ~О 1 (М 11 о о

о о 1 о

(О И о о

И

х

х

И о

О;

о (:1

о о И о

11 о о 00

х х х х

4~ (1 Ь~ (1 Оэ % (1

И 11 И 11

о — о

~О ~О

'О ~О

00 (О

й Р

И ~0

Ы Г

с

Л

Е о

й ~

2

о м

с о'

с ф

о

Х

х

о Ф

с

Ф

Е ~

Ф

ь

о

о

5

Ы

Ы

Ж

Ы

о

с

о

о

о

Ю

С0

И

о|„«о

5

Е

(.л1~ щ

о о

~О О

о

о

+ о

Л

5

о~

о

(>Э

Ь~

1 Ф

(л!

( ~1-- ! (~(1~

х

ОЭ

Е

й Е

-8- о

Е

с Я

с о

1 й

о

о

1

о

О1

й х Ф

Е

й 5

Ъ е

ч о

ь о

3

й

Ф

с о Ф Ф й Ф

з

о Ог

13

Распознанный текст из изображения:

Ш х ц о 2 1 5

о з

и е

Ш

И

,-,~(,, о

Е

(л !

(л ! - 1;О

й

Ф

Э

о|

Си

(л ! ~

5

И Э

о

-! Ф

О

Ж

с

5 З

х

и

О~ !

х

и

х

и

(л! 1

и

(л! 1

х х х

з о ( о (эо

1 1 1

х х х

и

И

+

(л !

+

(„ф„) !

1

(л !

(л 1 ~-~

х

х

(л !

и и и

о

О О

О~

1

о

о О Я

о

и и

и о о

о

4 (О

о

ЧР

о

(л ! ~

х

( о

и

' Р~

х

-.о

1

1

(л!гэ

~О ОО 1 и о Ь1

И о

(л !

о о Ь~

(л1

х

о

о о \~Э

(л !

сл !

И

В

СЬ

С(1( $ ( Ф

о (О о

и

о

ь

а

Ш

2

5

о

Е

х Ш

и

5

о!Г Я

й

(л1~ Ф

О

о о

о О

(э Э

Л

о) О1

о

О

ь~ Э

о

5

й

х и

и

(л ! -1

1

и

(л ! -3

(л !

о

и о

4 1 о

~О и о о о С~

о

~О Ь~ 1 (л!~э

о

И о ~О ~О ОО

(л !

о

о

о о

(л1

х

(л !

о ~О О~ и

о ~О О~ И

и о ( > О~

ь

а

х х х х

(( (~.~ Ф <г~ (( ((

И И 11 И

о о — о

~О КР ~О (О 'О ~О ~О (О и 6 и

0~ Ш Ф (Г

2

Л

Е о

Л

О М с '" С Ф

к

О О С

° Э ;О ~-

й Е ~

й 7С

5 Ь й О

о

5 -ч Ж 1Р Ы М

О с О о

-1 Ю Ю

О х х х

1

х

и и и

о о

~О О О

о (.~ о

О~ О

1 1 (

о о

~О ~О О

'О ~О

ОО ~ Э (Л

и и и

о о о

о о о

О О

х Ы

Ы

и

5

о), Е

1 Е

(л ! ~3-

О

((о 0

Е

о)

х Я

1 Ф

2

Х 5

о

Э

5

М

й

О

О

О

5

Сй

и

5

М

5

~0

О

Э

Е

Ф

5

М

х

о ' о (эо о

и и и и

О~! (л !

о!

Ш

Ъ

й ~О Ф Е

Ы

с

Ф

о

Э

х

Ф

с

Э

и х О О

Л

О

5 О1 5

о

Ф

ь

с

5 .Е

Ф Х

й :3 Ф

О

Э Е Э Х

х

ОЭ Ф

Е

Э Е

~3- О О

с

Я г 2

5

О

Э

М

Ф

О

-1 О

О О

Сй 5

Х

Ф Х й '(О й

Е

Ф х

16

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.!

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.2

Р(х) =4х — 32.5х +78.5х — 49

в) Аппроксимировать функцию полиномами 1-го и 2-го порядка по методу

наименьших квадратов

Будем искать аппроксимирующий полином 2-го порядка в виде:

2

82(х) = а2Х + а!х+ ао

Неизвестные коэффициенты а,, а,, а, определяются

алгебраических уравнений:

Решение:

из системы линейных

жоао + Б1а! + Б2а2 = 10

з1ао + ~2а! + ~За2 ~!

~2ао + зЗа! + ~4а2 !2

Соответственно аппроксимирующий полином 1-го порядка будем искать в виде:

д!(Х) =а,х+ ао

Неизвестные коэффициенты ао, а, определяются из системы линейных алгебраических

уравнений:

жоао + з1а! = ~0

] (х) =4х — 32.5х +78.5х — 49

Параметры

о о

ЗО ХО +Х1

2 2

З2 — — ХО+Х,

4 4

~4 Хо +Х!

Для составления систем для определения неизвестных коэффициентов

аппроксимирующих полиномов составим таблицу:

Запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома 2-го

порядка:

4ао+10а, +20а2 =14

10а 0 + 30а, + 100а 2 = 31

30ао +100а, + 354а2 — -75

Задание йо6

Задание Иаб

Изб Интерполяция и аппроксимация функций заданных таблично

а) Построить интерполяционный полином Лагранжа для заданной функции

] (х)—

(х — 2)(х — 3)(х — 4) (х — 1)(х — 3)(х — 4) (х — 1)(х — 2)(х — 4) (х — 1)(х — 2)(х — 3)

.1+ .10 + .2+ 1

(1 — 2)(1 — 3)(1 — 4) (2 — 1)(2 — 3)(2 — 4) (3 — 1)(3 — 2)(3 — 4) (4 — 1)(4 — 2)(4 — 3)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

х — 9х +26Х вЂ” 24 х — 8х +]9х — ]2 х — 7х +14х — 8 х — бх +]]х — 6

](х) — + 10+ .2 +

— 6 2 — 2 6

б) Построить интерполяционную формулу Ньютона

Построим таблицу конечных разностей, пользуясь формулами:

2 3 2 2

ДУо =У! Уо Д Уо =ДУ! ДУо Д Уо =Д У! Д Уо

2

ДУ! У2 У1 Д У! =ДУ2 ДУ!

ДУ2 УЗ У2

Пользуясь таблицей, запишем интерполяционную формулу Ньютона:

2 2

Р(х) = + — (х — хо) + (х — хо)(х — х,) + (х — хо)(х — х!)(х — х2), где

Уо ДУо Д Уо Д Уо

]10 0! ]1 ]! ]12

]1 =Х! Хо

1 9 — 17 24

Р(х) = + — (х — 1) + (х — 1)(х — 2) + (х — 1)(х — 2)(х — 3)

]о 0! 1,]! 1 .2! 1 .3!

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Р(х) =1+ 9(х — 1) — 8.5(х — Зх + 2) + 4(х — бх + 1]х — 6)

системы определяются

+Х2+ХЗ

+Х2+ХЗ

+Х2+ ХЗ

о о о о

Со =Уо хо+У!.х! +У2 х2+Уз.хз 1 1 1 1

11 =Уо 'Хо+У! 'Х!+У2 'Х2+УЗ 'ХЗ

2 2 2 2

]2 — Уо Хо+У! Х! +У2 Х2+УЗ ХЗ

+з а! =1!

формулами:

1 1 1 1

З! — — Хо+Х!+Х2+ХЗ

3 3

~3 ХО+Х1+Х2+ХЗ

17

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.4

стр. 3

Найдем решение системы по методу Крамера: 4 10 30

Л = 10 30 100 = 80,

30 100 354

4 14 30

4 10 14

14 10 30

Л1 = 31 30 100 = 560 Лг = 10 31 100 = 936 Ьз = 10 30 31 = 200

75 100 354 30 750 354 30 100 75

Тогда запишем значения коэффициентов:

— 560 Лг 936 Л, -200

ао= — '= = — 7, а,= = =11.7, а = = = — 2.5 80 Л 80 Л 80

дг(х) = — 2.5х +11.7х — 7

Найдем решение системы по методу Крамера:

14 10 4 14

=110, Лг = = — 16, 31 3 10 31

4 10

Л= =20,

10 30

Тогда запишем значения коэффициентов:

Х, 110 ~г — 16

ао = — '= =5.5, а, = = = — 0.8

Л 20 Л 20

д1(х) = -0.8х+5.5

На чертеже представлены интерполяционные полиномы Лагранжа Цх) и Ньютона Р(х),

а также аппроксимирующие полиномы д, (х) и дг(х).

Задание Иоб

Задание Иоб

Аналогично, запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома 1-го порядка: 4ао +10а, =14 10ао + 30а1 = 31

18

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

вычисляются значения х, по формуле:х, =+

Если Р > 0 — линия уровня эллипс

Если Р < Π— линия уровня гипербола

Если Р = Π— линия уровня парабола

Построение эллипса

вычисляются значения х, по формуле:х, =+

Построение параболы

— В

ф

х = —, хг — — Ах +Вх +С

2А'

Ве шина па аболы:

вычисляются значения х, по формуле:х, =+

Построение гиперболы

(2) ' + — ], где А>О,В>0 А В

Приложение к ИО2

Приложение к ИО2

Приложение: Построение типовых линий уровня квадратичной функции

Дано уравнение линии уровня: а,х, + а,х, + а4х, + а,х, + а, = С

г г

а, 0

Инвариант для определения конфигурации линии уровня: Р =

О а

(х,— а хг — Ь

Каноническое авнение эллипса: ' + — 1, где А > О, В > 0

А В

Ы % (~)

Оси эллипса: х, =а, х, =Ь

Точки пе есечения эллипса с главными осями:

(х -Ь)

х, =а, =1 =~ Х,',Хг — точки пересечения эллипса с осью х, =а

В

х, =Ь, ' =1 ~ Х,,Х, — точки пересечения эллипса с осью хг =Ь

(х, — а)

А

ополнительные точки я пост оения эллипса:

Или для нескольких значений хг, лежащих в диапазоне, задаваемом точками Х,',Х,',

Или для нескольких значений х,, лежащих в диапазоне, задаваемом точками Х,,Хг,

вычисляются значения хг по формуле: х„=+

х1 — а хг — Ь

Каноническое авнение гипе болы: (1) ' — ' — 1, где А>О,В>0

А В

или

Ось гипе болы: х, = Ь

Точки пе есечения гипе болы с осью:

х г = Ь, ' =1 =~ Х,, Х, - точки пересечения гиперболы с осью х, = Ь

(х, -а)

ь ь

А

ополнительные точки я пост оения гипе болы:

Для нескольких значений х,, лежащих вне диапазона, задаваемого точками Х,,Х,,

х1 — — а Точки пе есечения гипе болы с осью:

(х -Ь) х, =а, =1 ~ Х,',Х', — точки пересечения гиперболы с осью х, =а

В

ополнительные точки я пост оения гиле болы:

Для нескольких значений х,, лежащих вне диапазона, задаваемого точками Х,',Х,',

Каноническое авнение па аболы: (1) хг = Ахг + Вх, + С

или

(2) х1 — — Ах г г+ Вх г + С

х1=х1 если А > Π— вдоль положительного направления оси хг если А < Π— вдоль отрицательного направления оси х г

ополнительные точки я пост оения па аболы:

Для нескольких значений х,, лежащих справа и слева от вершины вычисляются значения

хг по формуле: хг = Ах, + Вх, + С

г

— В « *г

Э

Ве шина па аболы: х =, х, =Ахг + Вх +С

г-2А г

если А > Π— вдоль положительного направления оси х,

если А < Π— вдоль отрицательного направления оси х,

ополнительные точки я пост оения па аболы:

Для нескольких значений хг, лежащих справа и слева от вершины вычисляются значения х, по формуле: х, = Ах', + Вх, + С

2

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.З

стр.4

~7Г(Х ) =

4 ( — 3)+2 ( — 1.2)+20 5.6 1 4 ( — 1.2)+2 ( — 3)+10 — 0.8~

— 20 0.17857 — 3.7514

= 5.6569

— 1.2 — 0.8 — 1. 12

= 4.7916

3 4'( 3.56)+2'( 1.12)+20 3 52

Ч1(Х ) =

4 ( — 1.12)+2. ( — 3.56)+10 — 1.6

= 3.8666

4.79162

~Зо = =0 04592 22.3607

2.1429 -20 -3.0612

Задание ИО 1

Задание ИО 1

Вычислим точку Х по формуле: Х =Х вЂ” с~ЪТ(Х ). Зададим шаг 1~ =0.1

~(Х')=2 ( — 3.56) +2 ( — 1.12)'+2 ( — 3.56) ( — 1.12)+20 ( — 3.56)+10.( — 1.12)+10= — 36.5696

1(Х') < 1'(Х'), следовательно, шаг выбран удачно

Приведенные вычисления представим в виде таблицы

в) Сделать одну итерацию методом наискорейшего спуска из начальной точки

Х = (О, 0) в направлении экстремума

Итерация О. Итерация О совпадает с О-й итерацией метода градиентного спуска.

Итерация 1

с

Вычислим точку Х по формуле: Х' = Х' — ~о~Т(Х') .

Вычислим шаг со.

1(Х )=2'( 20'Со) +2 ( — 10 йо) +2'( 20'йо) ( 10'1о)+20 ( 20 1о)+10 ( 10 1о)+10=

800 й~ о+200 1о +400 1о 400'1о 100'1о +10

1400'1о 500 Со+10

М(Х ) 500 = 2800 ' 1о 500 = 0 =~ 1о = = 0-17857 йо 2800

Г(Х ) =1400 0.17857 — 500 0.17857+10= — 34.6429

4

( — 3.5714) + 2. ( — 1.7857) + 20 2.1429

~Т(Х ) = 4 ( — 1.7857) + 2 ( — 3.5714) +10 — 4.2857

Приведенные вычисления представим в виде таблицы

йо х У 1 ~7, ~7 Ч1 Х

0 0 0 20 10 10 22.3607

1 -3.5714 -1.7857 0.17857 2.1429 -4.2857 -34.6429 4. 7916

г) Сделать две итерации методом Гаусса-Зейделя из начальной точки

Х = (О, 0) в направлении экстремума

д) Сделать две итерации методом сопряженных градиентов из начальной точки

Х = (О, 0) в направлении экстремума

Итерация 0 совпадает с 0-й итерацией метода градиентного спуска.

Итерация 1 совпадает с 1-й итерацией метода наискорейшего спуска.

Вычислим точку Х по формулам:

Х =Х +т~д

с1' =-Л(Х')+ РОД", с$ = — С71(Х )

4

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы>3

стр.1

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.2

х ~ — 2х, ч-1 — 1-ч 21х~ — 2 3 х, ч- /9 — 9' ) = — 1

(х, — 1) — 1-'; 2((х — /32) — 9/4) = — 1

(х, — 1) ч-2(х — /32) = — 1ч-1-'; 9/2

Дано: 1(Х) =х, +2х2 — 2х, — бх2 — 12-+ех~г

2 2

2х, +х2 — — 1

Решение:

— каноническое уравнение эллипса

а) Решить задачу графически

х2 — — 3 х2 =О

х1 — — — 1

2х, +х2 — — — 1 2х, +х2 — — — 1 х, — 1=4х2 — 6 х) — 4х2 = — 5

2х|+ х2 — — — 1

9х2 — — 9

(1) — 2 (2)

. 9 'ч.)

х1 — — +

') см. Приложение к М2

Задание Иа 2

Задание Ио 2

Этап Иу2 Методы решения ЗНП при ограничениях типа равенства

Преобразуем ограничение к виду: ~р;(Х) = О 2х, +х2 —— — 1 =э 2х, +х2+1=0 =~ у|~Х)=2х, +х2+1

Решение задачи есть точка касания ограничения и линии уровня функции 1 =С, где С = сопй. Искомая точка касания обладает следующими свойствами: ° точка касания принадлежит ограничению: 2х, " + х 2 " = — 1 ° в точке касания градиенты функции и ограничения линейно зависимы:

Кдс Кас 2Х 2 2 2Х) 2 4Х2 6 ~1-(Х Кас ) ~т (Х Кас ) 1 1 2 4х кс — 6 1 2 1

2 Воспользовавшись условиями касания, составим систему уравнений и найдем координаты решения:

Найдено решение задачи - точка Х =( — 1,1) — точка касания ограничения и линии уровня функции 1=( — 1) +2.1 — 2 ( — 1) — 6.1 — 12= — 13.

Построим графическую иллюстрацию решения.

Ограничение в задаче — прямая с уравнением х2 = — 1 — 2х,.

Определим конфигурацию пинии ' уровня функции 1' = — 13, вычислив инвариант:

1 0

Р = = 2 т.к. Р > О, то искомая пиния уровня эллипс.

0 2

Запишем уравнение линии уровня:

х, + 2х 2 — 2х) — бх 2 — 12 = — 13

х, +2х2 — 2х, — бх2 — — — 1

2 2

Приведем уравнение линии уровня к каноническому виду, выделив полные квадраты:

х) — 2х, + 2(Х2 — Зх2) = — 1

2 2

Центр эллипса - точка с координатами П, /32х) .

Главные диагонали эллипса прямые с уравнениями: х, =1 и х, = ~ .

3"

Найдем точки пересечения эллипса с главными диагоналями:

х 3

( 2 — 2) =/4» хх — /2= +—

(Х2 —:2)

3 2 9 3 3

9,/

/4

Получены точки с координатами: (1, 0) и (1,3)

3" 9" х2 =3.1213

Х2 — /2 х, =1 р (Х) — 1) = /' — Ф Х) — 1=+ т—

9.' 2 / ~/2 х, = — 1.1213

/2

Получены точки с координатами: 1 — 1.1213, /32х) и 13.1213, 3/2)

Найдем еще несколько точек дпя построения эллипса, выразив х, из канонического

уравнения эллипса:

Построим на чертеже ограничение и линию уровня функции Г = -13.

5

Распознанный текст из изображения:

КР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.4

б) Решить задачу методом множителей Лагранжа

1аналитически отыскать экстремум функции при ограничениях типа равенства,

используя аппарат необходимых и достаточных условий)

Запишем классическую функцию Лагранжа:

1(Х,Х) =х12 +2х2 — 2х, — 6х2 — 12+ 11(2Х1+ х2+ 1)

Запишем необходимые условия экстремума функции при ограничениях типа равенства:

Решим полученную систему:

(1) — (3)

4 (1)+(2)

Х1 — — 2

Х1 —— 2

6 — Х1

4

Х2 =1

х1 — — — 1

— 1 — х2

х1 ——

2

Таким образом, получено решение системы — точка с координатами (Х,Х ) =( — 1,1,2)-

условно-стационарная точка функции.

Определим характер полученной точки с помощью достаточных условий экстремума.

Запишем второй дифференциал функции Лагранжа:

д21 (Х,Х)

2 1

д~ЦХ,Х) д ЦХ,Х)

д ЦХ,Х)

2 2

дх,дх2 дх2дх,

д 1 (Х, Х) = 2(11Х1) + 4(с1Х 2 )

Запишем дифференциал ограничения д1.

др,(х)

дх,

др,(х)

дх 2

Йр1(х) =2 с$Х1+1 дх2

Задание йо 2

2х1 — 2+ 211 — — О 4х2 — 6+ Х1 — — О 2х1+х2+1= О

911 =18 4х2 + Х1 — — 6 =э 2х1+х2 = — 1

— 2+З. =О

дх1

дЦХ, Х)

— +

дх2

1р1(Х) = 2х1+х2 +1= О

2х1 + 211 — — 2

4Х2+~ 1 —— 6

2х, +х2 = — 1

— х2+2~.1 — — 3

4Х2+~1 — — 6

2х1+ х2 — — — 1

6

Распознанный текст из изображения:

КР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.5

КР «Теория оптимизации и численные методы»

стр. б

Задание Иа 2

Задание Иа 2

В точке Х* = ( — 1, 1, 2) имеем:

д Е(Х*)=2(г1х!) +4(йхг) при условии с1р!(Х*)=2 с1х! +1 !1хг =О, получим:

с1хг = — 2дх! ~ с1 Е(Х*)=18(йх!) >О при дх! ~0

Следовательно, в точке Х = (-1, 1) выполнены достаточные условия локального

условного минимума.

е) Найти решение задачи методом исключений

г) Найти решение задачи методом штрафной функции

Составим штрафную функцию:

Е(Х,г) =х! +2хг — 2х, — бхг — 12+ — (2х! + хг +1)

г г

Запишем необходимые условия безусловного минимума штрафной функции:

дГ(Х, г)

=2х! — 2+г.(2х! + хг +1) 2=0

дх!

дГ(Х, г)

=4хг — 6+г (2х! +хг+1)=0

дхг

(2+4г) х! +2г хг — — 2 — 2г Преобразуем исходную систему к виду:

2г х, + (4+ г) х г = 6 — г Разрешим полученную систему относительно переменных х,, х, методом Крамера:

2+ 4г 2г

Л= =(2+4г) (4+г) — 4г =8+16г+2г+4г — 4гг =18г+8 2г 4+г

2-2г 2г

Л! —— = (2 — 2г) (4+ г) — 2г(6 — г) = 8 — 8г+ 2г — 2г — 12г+ 2г = — 18г+ 8 6-г 4+г

2+4г 2 — 2

~г = (2+ 4г) (6 — г) — 2г(2 — 2г) = 12+ 24г — 2г — 4г — 4г+4г = 18г+12

2г 6 — г

— 18г+ 8

х, (г)=

Тогда

18г+ 8

- стационарная точка штрафной функции.

18г+12

18г+ 8

Найдем координаты условного экстремума исходной задачи как предел решения задачи

поиска безусловного экстремума штрафной функции:

— 18г+ 8 18г+ 12

х, = 1пп = — 1, хг — — 1пп =1

г — + о 18г+8 г-+ю 18г+8

(

Получена точка Х =( — 1, 1) — точка условного экстремума исходной задачи.

2+ 4г 2г

Запишем матрицу Гессе для штрафной функции: Н(Х,г) =

2г 4+г

Л! =2+4г>0 при г>0

Л г = (2+ 4г)(4+ г) — 4гг = 8 +16г + 2г + 4г — 4г = 8+ 18г > О и ри г > О

Следовательно, по критерию Сильвестра, достаточные условия минимума функции

Е(Х,г) выполняются, и значит полученная точка Х =( — 1,1) — точка условного локального

минимума функции 1(Х) .

Запишем оценку Х!:

— 18г+ 8 18г+ 12 . — 36г+ 16+ 18г+ 12 + 18г+ 8

Х! — — 1пп г. 2.

+ +1 = 1пп г.

г-+ ~ 18г+ 8 18г+ 8 г-+ о 18г+ 8

г-+ о 18г+ 8

Внимание! В случае поиска условного максимума, используют формулу: Х = — 1цп г. ~!) .(Х ~ (г))

7

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр. 1

стр.2

1(Х) = х, + х2 -+ех1г

-х,+ х~<1

2х, + х~<4

х,,х >О

(1)

(2) (3)

Решение:

а) Решить задачу графически

Задание Иа 3

Задание М 3

ИуЗ Методы решения задачи линейного программирования

Дпя графического решения задачи построим:

° множество допустимых решений, задаваемое ограничениями (1)-(3);

° градиент функции ЪТ(Х) =(1, 1) в точке с координатами(0, 0);

° линию уровня функции Г(Х) = С, проходящую через точку с координатами (О, 0). Для

этого найдем значение константыС: С=цО,О)=0+0=0, и затем построим прямую

х, +х2 =О.

Будем искать точку максимума функции как последнюю точку касания линии уровня

функции и множества допустимых решений в направлении градиента функции. Как видно

из чертежа, это точка А=(1, 2). Таким образом, получено решение задачи поиска

максимума функции:

х, =1

х*, =2

1(Х ) =1+2 = 3

Будем искать точку минимума функции как первую точку касания линии уоовня функции и

множества допустимых решений в направлении градиента функции'. Как видно из

чертежа, это точка О = (О, 0). Таким образом, получено решение задачи поиска

минимума функции:

х1 — — 0

х2=0

1'(Х;„) =0+0= 0

'> Первая точка касания линии уровня функции и множества допустимых решений в направлении градиента

функции есть последняя точка касания линии уровня функции и множества допустимых решений в

направлении антиградиента функции.

8

Распознанный текст из изображения:

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

РГР «Теория оптимизации и численные методы»

стр.3

стр.4

Таблиц

ка

Г(Х) =

Базисн

х4-4 х

Вычислим симплекс-разности для небазисных переменных:

Л1 — — 1 — - =1 — (О+0) =1

=1 — =1 — (О+О) =1

Х4

Т.к. Л, =Л~ >О выбираем Л2, т.к. ей соответствует переменная с большим номером, следовательно, в базис вводится переменная х2. Соответствующий этой переменной столбец — Х-столбец.

неотрицательная величина г1, соответствующая ей строка — Х-строка.

На пересечении 2-столбца и Х-строки, находится разрешающий элемент К =1.

Осуществим пересчет таблицы:

° запишем коэффициенты функции в верхнюю строку новой таблицы йо2;

° запишем в новую таблицу МО2 новые базисные переменные х, и х4,.

° запишем коэффициенты функции при новых базисных переменных в первый столбец

таблицы М2

° пересчитаем Х-строку: разделим Х-строку на разрешающий элемент, результат

запишем в 1-ю строку таблицы МО2 — получится разрешающая строка;

Х-строка ( 1 -1 1 1 0 ) /!

Результат 1 -1 1 1 0

Задание Яо 3

Задание Ио 3

б) Решить задачу симплекс-методом

Най ем максим м нк ии. Будем рассматривать задачу:

Г(Х) = х, + х~ -+гпах

— Х1+ Х2 <1

2х1+ х~ < 4

х,,х >О

Подготовим задачу к решению симплекс-методом:

Перейдем от задачи в основной постановке к задаче в канонической:

х|+ х2+ Охз+ Ох4 — ~гпах

Х1+ Х2+ 1 ХЗ+ ОХ4 — 1

2х, + х2+ Охз+ 1х4 — 4

Х|~Х2~ХЗ~Х4 0

х,, х4 — дополнительные переменные в задаче

Выпишем столбцы при переменных в ограничениях:

х, ХЗ

Базис в задаче есть, т.к. среди выписанных столбцов есть 2 базисных (столбцы

единичной матрицы (2 х 2)).

Окончательно получаем задачу, подготовленную к решению симплекс-методом:

1(Х) = х, + х~+ Охз+ Ох4 — эгпах

— Х1 + Х~+ 1ХЗ+ ОХ4 — 1

2х, + х2+ Охз +1х4= 4

Х1~ Х~~ХЗ~ Х4 0

Базисные переменные в задаче: в 1-м ограничении - х,,

во 2-м ограничении - х4

Начальное базисное решение:

х1 — — 0

х ХЗ =! х4 =4

В исходных переменных х,, х~ это решение соответствует точке с координатами (О, 0).

Вычислим величины г;,

1

г1 — — — —— 1

1

Из базиса выводится

как отношения элементов столбца Бр к элементам Л-столбца:

4

г~ = — =4

1

переменная х,, т.к. ей по строке соответствует минимальная

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Бесплатно
Рейтинг-
0
0
0
0
0
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5310
Авторов
на СтудИзбе
415
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее