Рвачев В.Л. - Теория R-функций и некоторые ее приложения (1982)
Описание
2 / 553
117% +
ତ
УДК 517.95 + 518.517
Теория А-функций и некоторые ее приложения / В. Рвачев. - Киев : Наук. думка, 1982. — 552 с.
В монографии изложены методы алгебры логики, теория R-функций, а также их приложения в аналитической геометрии, математическом программировании и математической физике. Основное внимание уделено прямым методам решения краевых задач (расчет температурных, деформационных, силовых, гидродинами- ческих, электромагнитных и других полей). При этом теория R-функций позволи- ла решить проблему построения полных систем координатных функций для облас тей сложной формы и различных типов граничных условий, что в свою очередь дало возможность существенно расширить применение на практике различных типов вариационных методов и создать принципиально новые программирующие системы - генераторы программ серии «Поле». Рассмотрены вопросы математиче- ского программирования (в частности, оптимальный раскрой), сплайны и атомар- ные функции.
Для специалистов, интересующихся современными методами прикладной ма тематики. Может быть использована при подготовке специальных курсов лекций по теории функций.
Ил. 189. Табл. 26. Библиогр.: с. 535-543 (206 назв.).
Ответственный редактор
В. И. Моссаковский
Рецензенты
В. С. Проценко, Ю. Г. Стоян
Редакция физико-математической литературы
P
1704020000-114 М221(04)-82
181-82.
Издательство «Наукова думка», 1982
Повышенный интерес к теории R-функций (или, если говорить с более общих позиций, теории R-стображений) объясняется как простотой и привлекатель- ностью ее начальных идей, так и широким диапазоном областей, в которых зна находит приложение. В этом отношении теория R-функций напоминает георию групп: обе эти теории базируются на чисто алгебраических концепциях, а их приложения весьма многообразны. Для R-функций областями применения оказались: аналитическая геометрия, математическое программирование, опти- мальное размещение геометрических объектов, распознавание образов, теория устойчивости, химическая технология и в особенности математическая физика с ее многочисленными задачами исследования, расчета и оптимизации физико-механи- ческих полей (температурных, деформационных, силовых, электромагнитных, магнитогидродинамических и др.).
-
Цель монографии изложить основные результаты, полученные почти за двадцатилетний период в теории R-функций и ряде ее приложений. Особенно ин- тенсивно стала развиваться и применяться теория R-функций в последние нес колько лет. В связи с этим возникла необходимость осмысливания и обобщения полученных результатов, однако вышедшие в свет монографии в основном были посвящены отдельным прикладным направлениям и не отражали в должной мере прогресс в развитии многих вопросов теории.
Монография состоит из введения и четырех глав. Гл. 1 вводит читателя в круг представлений алгебры логики и исчисления предикатов (называемых также ди- скретной или конечной математикой). Эти вопросы освещаются лишь в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Более полно данные вопросы рассмот- рены в работе С. В. Яблонского [194]. В гл. 2 вводятся понятия R-отображения (-функции), чертежа, уравнения чертежа, алгебраически полной системы и так Далее (термин «чертеж» используется вместо часто употребляемых терминов «ли- ния», «фигура», «поверхность», «тело», «гиперповерхность», «геометрический объект и т. п.). В этой же главе решается принципиально важный вопрос о построении уравнений чертежей (решение обратной задачи аналитической геометрии), рассмат- риваются приложения полученных результатов в математическом программирова- нии и оптимальном размещении геометрических объектов. Новый в идейном плане материал в основном содержится в гл. 3 и 4.
Материал гл. 3, в которой используются результаты предыдущих глав, посвящен развитию конструктивных средств математики и решению казавшейся ранее неразрешимой проблемы построения полных координатных последователь- ностей, удовлетворяющих различного типа краевым условиям для областей
3
Предисловие
...
Введение
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1
Элементы дискретной математики
covenantenverserocon
1. Множества и логические операции над ними
2. Диаграммы Эйлера
3. Принцип двойственности
4. Композиция и суперпозиция. Замкнутые множества функций
5. Машинный способ задания функций. Коммутативные диаграммы 6. Функции алгебры логики
7. Булевы функции одного и двух аргументов
8. Свойства булевых функций двух аргументов. Конъюнктивная и дизъ юнктивная нормальные формы
9. Полные системы булевых функций
10. Понятие о минимизации булевых функций
11. Геометрическая интерпретация булевых функций
12. Применение булевых функций при построении переключательных
схем
§ 13. Полные системы в 2-значной логике. Аналитическое представление функций трехзначной логики
§ 14. Некоторые замкнутые функциональные множества
§ 15. Полные системы функций в множествах я и Аналитическое представление функций из
§ 16. Предикатные уравнения. Замыкающие функции алгебры логики § 17. Трехзначные предикатные уравнения. Замыкающие и простые замы кающие функции трехзначной логики
...
§ 18. Построение предикатных уравнений заданных геометрических объек-
тов
3
5
13
17
BEN $8
19
22
29
33
36
40
47
54
58
62
64
69
74
78
84
90
Глава 2
-функции и обратная задача аналитической геометрии
conserven conversion
1. Описательное и формальное определение R-отображений
100
2. Обобщение понятия R-отображения
106
3. Действительные R-функции
111
4. Основная система -функций
114
5. Проблема минимизации R-функций
127
6. Логические и дифференциальные свойства основной системы R-функ- ций
128
§ 7. Условные R-функции
137
549
§ 14. Задача о построении уравнений чертежей и частичные функции алгеб- ры логик
8. Некоторые R-операторы
9. Чертеж и его уравнение
10. Переход от предикатных уравнений чертежей к обычным 11. Примеры построения уравнений границ областей
12. Уравнение произвольного чертежа. Алгоритмически полные системы функций
§ 13. Примеры построения уравнений элементарных чертежей
140
141
148
150
159
162
165
conomonos
15. Семейства выпуклых областей
167
16. Области Дирихле
170
17. Нормальное уравнение чертежа
174
18. Нормальное уравнение произвольного чертежа на плоскости, состоя щего из дуг окружностей и отрезков прямых
181
vercomencen
19. Векторная нормальная функция чертежа
187
20. Верхняя нормальная функция
188
21. Нормализованные уравнения чертежей
190
vemonies even
22. Полиномиальные уравнения чертежей, близких к полуалгебраиче- ским чертежам
203
раскрой)
23. Автоматическое построение уравнений чертежей
24. Учет симметрии чертежей при построении их уравнений 25. Тела вращения, призмы, конусы, спирали
26. Задачи математического программирования 27. Оптимальное размещение геометрических объектов (оптимальный
Глава 3
Пучки функций с заданными свойствами на чертежах.
Краевые задачи и структуры их решений
§ 1. Продолжение граничных значений функции внутрь области. Пучок функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи Дирихле 256 2. Интерполяция функций и пучки
264
§ 3. Продолжение дифференциальных операторов, заданных на чертеже 268 § 4. Продолжение дифференциальных операторов, содержащих производ- ные по дуге граничной кривой
204
211
230
237
242
274
5. Операторы разностного типа
280
§ 6. Построение нормализованных до высших порядков уравнений черте
жей
282
§ 7. Формулы Тейлора и Эрмита и некоторые их обобщения. Метод норма-
лизант
286
§ 8. Пучки функций, удовлетворяющих дифференциальным и смешанным граничным условиям
303
9. Краевая задача и структура ее решения
311
+
§ 10. Структуры решений основных типов краевых задач для уравнений второго порядка
317
§ 11. Структуры решений основных типов краевых задач для уравнений четвертого порядка
324
§ 12. Структуры решений краевых задач для систем дифференциальных урав- нений с частными производными
§ 13. Учет условий на границе сред с различными физическими характерис-
тиками
...
§ 14. Методы нахождения неопределенных компонент. Проблема выбора аппроксимирующих полиномов
§ 15. Сплайны
§ 16. Атомарные функции
§ 17. Учет особенностей и априорной информации при построении структур
решений краевых задач
§ 18. Метод квазифункций Грина
§ 19. Регионально-структурный метод
339
345
352
364
380
398
415
421
§ 20. Функционально-разностная аппроксимация уравнений и итерационные
методы
§ 21. Выделение гладкой части решения.
Аппроксимационные свойства структур решений
Глава 4
Реализация метода R-функций при решении краевых задач
§ 1. Генераторы программ серии «Поле» для решения краевых задач мате матической физики
§ 2. Пример решения с помощью ГП «Поле-3» краевой задачи для уравне ния эллиптического типа с переменными коэффициентами 3. Расчет стационарных температурных полей
consorcon concorrosion
4. Нестационарные температурные поля
5. Метод линейных итераций в задачах с внешней нелинейностью
6. Примеры расчета двумерных полей напряжений и деформаций
7. Вторая основная задача теории упругости. Кручение стержней 8. Контактные задачи теории упругости
9. Две пространственные задачи с неполностью известными границами
площадок контакта
§ 10. Расчет тонких пластин
§ 11. Задача электростатики с разрывными граничными условиями § 12. Задачи магнитной гидродинамики
§ 13. Расчет проводимости неоднородной среды в магнитном поле
Список литературы
Список основных обозначений
Предметный указатель
427 429
433
445
448
462
470
473
481
488
500
509
519
520
526
535
544
546
Показать/скрыть дополнительное описание
Рвачев В.Л. - Теория R-функций и некоторые ее приложения (1982) 2 / 553 117% + ତ УДК 517.95 + 518.517 Теория А-функций и некоторые ее приложения / В. Рвачев. - Киев : Наук. думка, 1982. — 552 с. В монографии изложены методы алгебры логики, теория R-функций, а также их приложения в аналитической геометрии, математическом программировании и математической физике. Основное внимание уделено прямым методам решения краевых задач (расчет температурных, деформационных, силовых, гидродинами- ческих, электромагнитных и других полей). При этом теория R-функций позволи- ла решить проблему построения полных систем координатных функций для облас тей сложной формы и различных типов граничных условий, что в свою очередь дало возможность существенно расширить применение на практике различных типов вариационных методов и создать принципиально новые программирующие системы - генераторы программ серии «Поле».
Рассмотрены вопросы математиче- ского программирования (в частности, оптимальный раскрой), сплайны и атомар- ные функции. Для специалистов, интересующихся современными методами прикладной ма тематики. Может быть использована при подготовке специальных курсов лекций по теории функций. Ил. 189. Табл. 26. Библиогр.: с. 535-543 (206 назв.). Ответственный редактор В. И. Моссаковский Рецензенты В. С. Проценко, Ю. Г. Стоян Редакция физико-математической литературы P 1704020000-114 М221(04)-82 181-82. Издательство «Наукова думка», 1982 Повышенный интерес к теории R-функций (или, если говорить с более общих позиций, теории R-стображений) объясняется как простотой и привлекатель- ностью ее начальных идей, так и широким диапазоном областей, в которых зна находит приложение.
В этом отношении теория R-функций напоминает георию групп: обе эти теории базируются на чисто алгебраических концепциях, а их приложения весьма многообразны. Для R-функций областями применения оказались: аналитическая геометрия, математическое программирование, опти- мальное размещение геометрических объектов, распознавание образов, теория устойчивости, химическая технология и в особенности математическая физика с ее многочисленными задачами исследования, расчета и оптимизации физико-механи- ческих полей (температурных, деформационных, силовых, электромагнитных, магнитогидродинамических и др.). - Цель монографии изложить основные результаты, полученные почти за двадцатилетний период в теории R-функций и ряде ее приложений.
Особенно ин- тенсивно стала развиваться и применяться теория R-функций в последние нес колько лет. В связи с этим возникла необходимость осмысливания и обобщения полученных результатов, однако вышедшие в свет монографии в основном были посвящены отдельным прикладным направлениям и не отражали в должной мере прогресс в развитии многих вопросов теории. Монография состоит из введения и четырех глав. Гл. 1 вводит читателя в круг представлений алгебры логики и исчисления предикатов (называемых также ди- скретной или конечной математикой). Эти вопросы освещаются лишь в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Более полно данные вопросы рассмот- рены в работе С.
В. Яблонского [194]. В гл. 2 вводятся понятия R-отображения (-функции), чертежа, уравнения чертежа, алгебраически полной системы и так Далее (термин «чертеж» используется вместо часто употребляемых терминов «ли- ния», «фигура», «поверхность», «тело», «гиперповерхность», «геометрический объект и т. п.). В этой же главе решается принципиально важный вопрос о построении уравнений чертежей (решение обратной задачи аналитической геометрии), рассмат- риваются приложения полученных результатов в математическом программирова- нии и оптимальном размещении геометрических объектов. Новый в идейном плане материал в основном содержится в гл. 3 и 4. Материал гл. 3, в которой используются результаты предыдущих глав, посвящен развитию конструктивных средств математики и решению казавшейся ранее неразрешимой проблемы построения полных координатных последователь- ностей, удовлетворяющих различного типа краевым условиям для областей 3 Предисловие ...
Введение ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1 Элементы дискретной математики covenantenverserocon 1. Множества и логические операции над ними 2. Диаграммы Эйлера 3. Принцип двойственности 4. Композиция и суперпозиция. Замкнутые множества функций 5. Машинный способ задания функций. Коммутативные диаграммы 6. Функции алгебры логики 7. Булевы функции одного и двух аргументов 8. Свойства булевых функций двух аргументов. Конъюнктивная и дизъ юнктивная нормальные формы 9. Полные системы булевых функций 10. Понятие о минимизации булевых функций 11. Геометрическая интерпретация булевых функций 12. Применение булевых функций при построении переключательных схем § 13. Полные системы в 2-значной логике.
Аналитическое представление функций трехзначной логики § 14. Некоторые замкнутые функциональные множества § 15. Полные системы функций в множествах я и Аналитическое представление функций из § 16. Предикатные уравнения. Замыкающие функции алгебры логики § 17. Трехзначные предикатные уравнения. Замыкающие и простые замы кающие функции трехзначной логики ... § 18. Построение предикатных уравнений заданных геометрических объек- тов 3 5 13 17 BEN $8 19 22 29 33 36 40 47 54 58 62 64 69 74 78 84 90 Глава 2 -функции и обратная задача аналитической геометрии conserven conversion 1. Описательное и формальное определение R-отображений 100 2. Обобщение понятия R-отображения 106 3.
Действительные R-функции 111 4. Основная система -функций 114 5. Проблема минимизации R-функций 127 6. Логические и дифференциальные свойства основной системы R-функ- ций 128 § 7. Условные R-функции 137 549 § 14. Задача о построении уравнений чертежей и частичные функции алгеб- ры логик 8. Некоторые R-операторы 9. Чертеж и его уравнение 10. Переход от предикатных уравнений чертежей к обычным 11. Примеры построения уравнений границ областей 12. Уравнение произвольного чертежа. Алгоритмически полные системы функций § 13. Примеры построения уравнений элементарных чертежей 140 141 148 150 159 162 165 conomonos 15. Семейства выпуклых областей 167 16. Области Дирихле 170 17.
Нормальное уравнение чертежа 174 18. Нормальное уравнение произвольного чертежа на плоскости, состоя щего из дуг окружностей и отрезков прямых 181 vercomencen 19. Векторная нормальная функция чертежа 187 20. Верхняя нормальная функция 188 21. Нормализованные уравнения чертежей 190 vemonies even 22. Полиномиальные уравнения чертежей, близких к полуалгебраиче- ским чертежам 203 раскрой) 23. Автоматическое построение уравнений чертежей 24. Учет симметрии чертежей при построении их уравнений 25. Тела вращения, призмы, конусы, спирали 26. Задачи математического программирования 27. Оптимальное размещение геометрических объектов (оптимальный Глава 3 Пучки функций с заданными свойствами на чертежах.
Краевые задачи и структуры их решений § 1. Продолжение граничных значений функции внутрь области. Пучок функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи Дирихле 256 2. Интерполяция функций и пучки 264 § 3. Продолжение дифференциальных операторов, заданных на чертеже 268 § 4. Продолжение дифференциальных операторов, содержащих производ- ные по дуге граничной кривой 204 211 230 237 242 274 5. Операторы разностного типа 280 § 6. Построение нормализованных до высших порядков уравнений черте жей 282 § 7. Формулы Тейлора и Эрмита и некоторые их обобщения. Метод норма- лизант 286 § 8. Пучки функций, удовлетворяющих дифференциальным и смешанным граничным условиям 303 9.
Краевая задача и структура ее решения 311 + § 10. Структуры решений основных типов краевых задач для уравнений второго порядка 317 § 11. Структуры решений основных типов краевых задач для уравнений четвертого порядка 324 § 12. Структуры решений краевых задач для систем дифференциальных урав- нений с частными производными § 13. Учет условий на границе сред с различными физическими характерис- тиками ... § 14. Методы нахождения неопределенных компонент. Проблема выбора аппроксимирующих полиномов § 15. Сплайны § 16. Атомарные функции § 17. Учет особенностей и априорной информации при построении структур решений краевых задач § 18. Метод квазифункций Грина § 19.
Регионально-структурный метод 339 345 352 364 380 398 415 421 § 20. Функционально-разностная аппроксимация уравнений и итерационные методы § 21. Выделение гладкой части решения. Аппроксимационные свойства структур решений Глава 4 Реализация метода R-функций при решении краевых задач § 1. Генераторы программ серии «Поле» для решения краевых задач мате матической физики § 2. Пример решения с помощью ГП «Поле-3» краевой задачи для уравне ния эллиптического типа с переменными коэффициентами 3. Расчет стационарных температурных полей consorcon concorrosion 4. Нестационарные температурные поля 5. Метод линейных итераций в задачах с внешней нелинейностью 6. Примеры расчета двумерных полей напряжений и деформаций 7.
Вторая основная задача теории упругости. Кручение стержней 8. Контактные задачи теории упругости 9. Две пространственные задачи с неполностью известными границами площадок контакта § 10. Расчет тонких пластин § 11. Задача электростатики с разрывными граничными условиями § 12. Задачи магнитной гидродинамики § 13. Расчет проводимости неоднородной среды в магнитном поле Список литературы Список основных обозначений Предметный указатель 427 429 433 445 448 462 470 473 481 488 500 509 519 520 526 535 544 546 .
Характеристики книги
Список файлов
EcoTime Inc.
