Число пассажиров компании «Донские авиалинии» одного из рейсов на рейсах между Ростовом и Москвой за 30 дней между апрелем и маем текущего составило: 128, 121, 134, 118, 123, 109, 120, 116, 125, 128, 121, 129, 130, 131, 127, 119, 114, 124, 110, 126,

Число пассажиров компании «Донские авиалинии» одного из рейсов на рейсах между Ростовом и Москвой за 30 дней между апрелем и маем текущего составило: 128, 121, 134, 118, 123, 109, 120, 116, 125, 128, 121, 129, 130, 131, 127, 119, 114, 124, 110, 126, 134, 125, 128, 123, 128, 133, 132, 136, 134, 129.

Задание:

1. По данным выборки построить точечный вариационный ряд, распределив значения по частотам (ряд 1).

2. От ряда 1 перейти к интервальному ряду (ряд 2).

3. От ряда 2 перейти к точечному ряду, распределив значения по частотам (ряд 3) и относительным частотам в виде доли и в виде процента (ряд 4).

4. Построить: а) гистограмму относительных частот для ряда 2; б) полигон частот для ряда 3; в) кумулятивную кривую для ряда 3.

5. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х, используя ряд 3, и построить ее график.

6.Определить выборочное среднее , выборочную дисперсию D_В, выборочное среднее квадратическое отклонение , коэффициент вариации V, моду и медиану по точечному ряду 1 и интервальному ряду 2.

7. Указать несмещенные оценки неизвестного математического ожидания и неизвестной дисперсии случайной величины Х – производительности труда.

8. В предположении, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, построить доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и дисперсии (принять ).

Решение.

1. Для того чтобы построить точечный вариационный ряд, необходимо расположить наблюдаемые значения в порядке их возрастания и относительно каждого указать частоту , т.е. количество повторений в выборке; при этом сумма всех частот равна объему выборки n.

Ряд 1:

Здесь объем выборки , а число различных значений r =21.

2. Так как объем выборки велик и число различных значений исследуемого случайного признака также велико, то целесообразно перейти от точечного ряда 1 к интервальному. Такой переход осуществляется следующим образом:

а) отмечаются наименьшее и наибольшее значения в выборке;

б) весь обследованный диапазон [109;136] разбивается на число интервалов k, где . В нашем примере п =30 и k=4,91=5;

в) определяется величина шага или ширина интервала группирования h:

г) отмечаются крайние точки каждого из интервалов в порядке возрастания, а также подсчитываются числа выборочных данных, попавших в каждый из интервалов (очевидно, здесь ):

Ряд 2:

3. Для того чтобы от интервального ряда 2 перейти вновь к точечному, необходимо отметить середины интервалов и сопоставить им частоты или относительные частоты . Распределение производительности труда по частотам запишется в виде ряда 3, а распределение по относительным частотам в виде ряда 4:

Ряд 3:

Ряд 4:

4. Гистограмма относительных частот для ряда 2 изображена на рис. 4.

Полигон частот показан на рис.5.

Рис. 5

Для построения кумуляты представим ряд 3 по накопленным частотам :

Тогда кумулятой будет плавная кривая, изображенная на рис.6.

5. Эмпирическая функция распределения для ряда 3 запишется так:

График изображен на рис. 7

6. Для упрощения вычислений расчет характеристик выборки произведем по ряду 3.

Найдем выборочное среднее

Выборочную дисперсию можно определить по одной из двух формул

либо .

В нашем случае .

Выборочное среднее квадратическое отклонение =6,770935;

Коэффициент вариации .

Определим моду и медиану. Мода исследуемой случайной величины Х есть такое ее возможное значение, которое наиболее часто встречается в ряду наблюдений. В случае точечного ряда 1 модальное значение так как частота этого значения наибольшая и равна 9. В случае интервального ряда 2 вначале определяют интервал, содержащий моду, также по наибольшей частоте или относительной частоте. Затем моду определяют по формуле:

Для данной выборки интервал, содержащий моду – [14,9-15,5] (ему соответствует наибольшая частота , равная 26).

Здесь = 128,25; h =5,5; = 9, = 8, = 7, тогда

Медиана определяется как средний (серединный) член в упорядоченной последовательности значений случайной величины. В нашем примере п = 30, поэтому в качестве медианы следует взять любое значение между 15-м и 16-м членами ряда 1: = 126.

В случае интервального ряда вначале определяют интервал, содержащий медиану, по накопленным частотам: медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину объема выборки. Затем медиану определяют по формуле

.

Медианному интервалу заданного эмпирического распределения в виде ряда 2 соответствует накопленная частота 77, отсюда =128,25; h=5,5; = 14; =9. Используя формулу, получим

=

Таким образом, среднее число пассажиров , абсолютный разброс значений показателя Х равен =6,77 чел, относительный разброс . Наибольшее число пассажиров 130,08, а половина – более 128,86 чел.

Построенные вариационные ряды 1-3, их графические изображения (рис. 4-7) представляют данные в компактном виде. Кроме этого имеется возможность получить сведения о законе распределения вероятностей исследуемой случайной величины. Здесь внешний контур гистограммы (рис. 4), графики кумулятивной кривой (рис. 6) и эмпирической функции распределения (рис. 7) свидетельствуют о близости эмпирического распределения к нормальному закону. К этому же выводу можно прийти, сравнивая значения выборочного среднего, моды, медианы. Так как , и незначительно отличаются друг от друга ( » » » 129), есть основание предполагать, что теоретическое распределение симметрично относительно своего среднего значения, что является еще одним доводом в пользу выбора модели нормального закона.

7. Если считать, что случайная величина Х –число пассажиров– нормально распределена с математическим ожиданием и дисперсией , то несмещенными оценками этих параметров, найденными по выборке объема , будут и . В нашем примере (тыс. руб.), , человек.

1. Интервальные оценки для неизвестных параметров или доверительные

интервалы, покрывающие истинные (неизвестные) значения параметров с заданной доверительной вероятностью (надежностью) , найдем по формулам

где находится из таблицы квантилей распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном , и уровне (см. приложение 2); – квантили распределения (см. приложение 3).

Для и имеем и Следовательно,

,

То есть мы на 95% уверены в том, что среднее число пассажиров будет от 125,86 до 131.86 человек.

Для неизвестной дисперсии можно записать

,