ДЗ 2: ДЗ номер 2 по теорверу, обе части, вариант 21 вариант 21

ЧАСТЬ 1
Задача 1.
Известно, что плотность распределения f(x) одномерной случайной величины X представляет собой трапецию, для которой (здесь и далее значения всех параметров берутся из таблиц исходных данных к ДЗ №1):

f(R1) = 0, f(R1+G1) = h, f(R1+G1+B1) = h, f(R1+G1+B1+R2) = 0.

Необходимо:

рассчитать величину h;
записать аналитическое
выражение для функции плотности распределения f(x);
записать аналитическое выражение для функции распределения F(x);
рассчитать математическое ожидание случайной величины M(X);
рассчитать дисперсию случайной величины D(X).

Задача 2. Имеется
функция φ(x) = (x-(R2+G2))*(x-(R2+G2+B2)). Будем рассматривать случайную величину Y как результат вычисления функции φ для случайного аргумента X (рассмотренного в задаче 1).


Необходимо:
записать аналитическое выражение для функции плотности распределения f(y);
записать аналитическое выражение для функции распределения F(y);
рассчитать математическое ожидание случайной величины M(Y);
рассчитать дисперсию случайной величины D(Y).

ЧАСТЬ 2
Задача 1.
Рассматривается извлечение шаров с возвращением из первой корзины (см. исходные данные к ДЗ №1: R1, G1, B1). Выполняется серия из n экспериментов, подсчитывается число k извлечений красных шаров.

1. Построить графики вероятности P(k). Графики строятся для числа опытов n = 6, 9 и 12 c расчётом вероятностей по формуле Бернулли.
2. Для n = 12 также строится график функции распределения F(k).
3. Для n = 25, 50, 100, 200, 400, 1000 строится огибающая графика P(k), при этом для каждого графика рассчитываются не менее 7 точек с использованием локальной теоремы Муавра-Лапласа. ВАЖНО! Следует рационально выбрать расположение точек для построения огибающей.
4. Построить график вероятности того, что абсолютное число извлечений красных шаров отклонится от математического ожидания не более, чем на R1. При построении графика использовать n = 25, 50, 100, 200, 400.
5. Построить график вероятности того, что относительное число извлечений красных шаров при n = 1000 отклонится от математического ожидания не более, чем на eps. При построении графика использовать eps = 1e-1, 1e-2, 1e-3.
6. Рассчитать допустимый интервал числа успешных испытаний k (симметричный относительно
математического ожидания), обеспечивающий попадание в него с вероятностью P = 0,7; 0,8; 0,9; 0,95; 0,99. при n = 1000.
7. Построить график зависимости минимально необходимого числа испытаний n, для того чтобы обеспечить вероятность
появления не менее, чем N1=R1+G1+B1 красных шаров с вероятностями P = 0,7; 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.

Задача 2.
Рассматривается извлечение шаров без возвращения из второй корзины (см. исходные данные к ДЗ №1: R2, G2, B2). Выполняется серия из n=G2+B2 экспериментов, подсчитывается число k извлечений красных шаров.

1. Рассчитать значения P(k) и построить график.
2. Построить график функции распределения F(k).
3. Рассчитать математическое ожидание числа извлечённых красных шаров k.
4. Рассчитать дисперсию числа извлечённых красных шаров k.

Задача 3.
Рассматривается извлечение шаров без возвращения из третьей корзины (см. исходные данные к ДЗ №1: R3, G3, B3). Выполняется серия из k экспериментов, которая прекращается, когда извлечены все R3 красных шаров.

1. Рассчитать значения P(k) и построить график.
2. Построить график функции распределения F(k).
3. Рассчитать математическое ожидание числа извлечений k.
4. Рассчитать дисперсию числа извлечений k.

Задача 4.
Рассматривается извлечение шаров с возвращением из корзины, в которую собраны все ранее рассмотренные шары, а также ещё один шар чёрного цвета. Выполняется серия из n экспериментов, подсчитывается число k извлечений чёрного шара.

1. Построить огибающую графика P(k) n = 100, 1000, 10000,

при этом для каждого графика рассчитываются не менее 7 точек с использованием формулы распределения Пуассона. ВАЖНО! Следует рационально выбрать расположение точек для построения огибающей.
2. Построить семейство графиков зависимости минимально необходимого числа испытаний n, для того чтобы обеспечить вероятность появления не менее, чем 3 чёрных шаров с вероятностями P = 0,7; 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.
Показать/скрыть дополнительное описание