Математические модели функции полезности (Математические модели функции полезности денег)

Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТЕ. К. БелыйМатематические модели функцииполезности денегУчебное пособиеПетрозаводскИздательство ПетрГУ2009УДК 330.42ББК 65.011.312Б439Математический факультет ПетрГУ рекомендует к изданиюучебное пособие Е.

К. Белого «Математические модели функцииполезности денег»Рецензенты:С. С. Платонов, профессор каф. геометрии и топологии ПетрГУ,доктор физ.-мат. наук;Т. В. Морозова, ведущий научный сотрудник Института экономикиКНЦ РАН, доктор экономических наукБ439 Белый Е. К.Математические модели функции полезности денег: учебноепособие / Е. К. Белый. – Петрозаводск : Изд-во ПетрГУ, 2009. – 36 с.ISBN 978-5-8021-1084-3Учебноематематическогопособиефакультета,предназначенодлястудентовизучающихспецкурс«Теорияполезности денег», а также для всех интересующихся теоретическимивопросами финансовой математики.УДК 330.42ББКISBN 978-5-8021-1084-365.011.312© Белый Е.

К., 2009© Петрозаводский государственныйуниверситет, 20092СодержаниеВведение …. ..……………………………………………... 41. Функция полезности и моральное ожидание ……...... 6§ 1.1. Классическая функция полезности ……………….. 6§ 1.2. Функция Фридмена .……………....……………….. 92. Свойства морального ожидания порядка s  0;  …. 123. Макет морального ожидания и функция полезности ... 21§ 3.1.

Допустимые функции полезности денег .……….. 21§ 3.2. Кусочно-степенная функция полезности ….……. 24§ 3.3. Класс функций полезности денег ………..….……. 26Заключение ……………………………………….….……. 29Биографические справки .………………………..….……. 30Список литературы ..……………………………………… 343ВведениеВ основу настоящей работы легли материалы спецкурса«Теория полезности денег», читаемого автором длястудентов математического факультета Петрозаводскогогосуниверситета. Во введении мы выделим толькоосновные этапы развития теории полезности, посколькуподробный обзор потребовал бы отдельного исследования.Однако в конце книги читатель может найтибиографические справки, касающиеся представителейматематической, экономической, социологической идругих наук, внесших существенный вклад в развитиетеории.Термин «полезность» как цель потребления того илииного блага впервые применил в экономической теориианглийский философ и социолог Джереми Бентам.

Вдальнейшемвработахнемецкогоэкономиста,предшественника математической школы в политическойэкономии Германа Госсена и английского экономистаАльфредаМаршаллатеорияполезностибыламатематически обоснована и под полезностью сталифактически подразумевать некоторую меру полезности какфункцию количества блага.При этом к функцииполезности предъявлялись требования [6, с. 155–179]: Возрастание полезности: с увеличением количестваблага его полезность растет. Убывание предельной полезности: с увеличениемколичества потребляемого блага полезность каждойследующей его порции снижается.4Пусть z  f x  – произвольная функция полезности, гдеx – количество некоторого блага, а z – его полезность.Тогда функция f x  должна удовлетворять условиям:f ( x)  0 и f ( x)  0 .(1)Таким образом, функция полезности любого благадолжна быть возрастающей и выпуклой вверх.

Функциюполезности такого вида мы будем называть классической.До сих пор, за редким исключением, при построенииматематических моделей в экономике требования (1) дляфункции полезности считают очевидными.И все же около пятидесяти лет назад американскийэкономист, лауреат Нобелевской премии по экономике1976 года Милтон Фридмен [7] «испортил» классическуюкривую полезности для такого блага, как деньги, отбросиввторое из условий (1). Таким образом, график функцииполезности Фридмена может иметь как участки, выпуклыевверх, так и участки, выпуклые вниз.Данная работа посвящена вопросу построенияматематических моделей функции полезности.

При этоммы постараемся ответить на вопросы: любая лиудовлетворяющая условиям (1) функция может бытьклассической функцией полезности, и любая ливозрастающая функция может быть функцией Фридмена?Отталкиваясь от класса степенных функций полезности,мы построим более широкий класс таких функций,имеющих участки выпуклости как вверх, так и вниз.51. Функцияожиданиеполезностииморальное§ 1.1. Классическая функция полезностиПрежде всего, отметим, что еще в 1738 годушвейцарский математик Даниил Бернулли фактическипостроил логарифмическую функцию полезности (неиспользуя термин «полезность») для решения задач, вкоторых жребий нельзя оценивать по математическомуожиданию [2]. Например, если Вам достался жребий,который с равной вероятностью должен принестивыигрыш в сорок тысяч долларов или ничего.

Хотя поматематическому ожиданию жребий оценивается вдвадцать тысяч, многие поступят разумно, согласившисьпродать его за восемнадцать тысяч долларов.Бернулли предположил, что элементарное приращениесостояния дает увеличение полезности состояния навеличину, пропорциональную этому приращению иобратно пропорциональную величине состояния:dZ  k dC,C(2)где C – текущее состояние, Z – его полезность, k  0 –коэффициент пропорциональности. C точки зренияздравого смысла такое предположение естественно.Дополнительная тысяча долларов для малообеспеченногочеловека покажется очень даже значительной суммой, номиллионер такое приращение своего состояния просто непочувствует.

Пользуясь свободой в выборе шкалы,положим k  1 . Взяв одно из решений уравнения (2),6примем за функцию полезности денег Z  ln(C ) . Пустьтеперь в некоторой игре величина выигрыша принимаетзначения xi с вероятностями pi, где i  1,2, n , C –состояние игрока до начала игры. Тогда математическоеожиданиеполезностиприметвидnln x  C   p i  ln x i  C  , где x – оценка выигрыша.i 1Впоследствии французский математик Пьер Симон Лапласназвал эту оценку моральным ожиданием. Из последнегоравенства следуетnx    x i  C  pi  C .(3)i 1 Естественно напрашивается обобщение на случай, когдаэлементарное приращение состояния дает увеличениеполезности состояния на величину, пропорциональнуюэтому приращению и обратно пропорциональнуюнекоторой степени состояния q, где q  0;1 –вещественная константа.

Тогда мы придем к классуфункций полезности денег вида f (C )  s . ТакиеCпримеры функций полезности приведены, например, уМалыхина [5, с. 194–205]. Моральное ожидание порядкаs  0;1 можно определить следующим образом:Определение 1: Моральным ожиданием порядка sслучайной величины x при состоянии C будем называтьвеличину1s s(4)M (s)r  x, C   x    p ix i  C    C .i7Математическое ожидание как обычно будемобозначать x или M  x  . Заметим, что моральноеожидание в смысле (3) является частным случаемморального ожидания в смысле (4), так какp(s)lim M r  x, C    ( x i  C ) i  C .s 0iТо есть определение (4) можно распространить наслучай s  0 . Все рассмотренные степенные функцииполезности, как и логарифмическая, удовлетворяютусловиям (1).

Для таких функций математическоеожидание полезности жребиявсегда меньше, чемполезность гарантированной суммы M  x  . Таким образом,жребий выгодно продать за сумму, меньшую егоматематического ожидания. Любая «честная» играстановится невыгодной, если под таковой понимать игру, вкоторой математическое ожидание выигрыша равно платеза участие в игре. Однако люди не только играют в«честные» азартные игры, но и покупают лотерейныебилеты, когда стоимость билета выше математическогоожидания выигрыша! Последнее явилось поводомусомниться в правомерности допущения о том, что криваяполезности денег всегда выпукла вверх.

Утверждения онеправильной оценке игроком своих шансов на выигрышзвучат малоубедительно. Тем более лотерейные билетычасто приобретают вполне рассудительные и осторожныелюди. Один и тот же человек может страховать себя, свойдом и машину от всех возможных неприятныхслучайностей, то есть платить деньги за избавление отрисков, но одновременно покупать лотерейные билеты.8§ 1.2. Функция ФридменаПредположение Фридмена о наличии на кривойполезности выпуклых вниз участков позволяет адекватноописать поведение игрока, который платит за жребийсумму, большую его математического ожидания.Насколько разумно его поведение? Представим себечеловека, не имеющего собственной квартиры ивынужденного снимать жилье.

С ростом состояния этогочеловека будет расти и полезность состояния. Ростполезности, возможно, до некоторых пор будетвыражаться в том, что человек начнет лучше питаться иодеваться, увеличит расходы на организацию досуга.Допустим, его текущие доходы, накопления растут современем. Однако он пока остается человеком безсобственного жилья и ему, естественно, хочется поскорейизменить этот статус. Наверно, рано или поздно он станетсобственником квартиры, но человеческая жизнь ненастолько длинна, чтобы долго ждать.