Математические модели функции полезности (Математические модели функции полезности денег), страница 2

И вот с некоторогомомента, когда он вплотную приблизится к заветной цели,каждый следующий рубль будет для него все болеезначимым. Кривая полезности становится выпуклой вниз!Наконец, наибольшую полезность принесет тот рубль,после которого он сможет купить квартиру. Именно сэтогомоментаегоблагосостояниеизменитсяпринципиально. Он сможет пользоваться благом, доселедля него недоступным. Таким образом, в процессе ростасостояния индивида наблюдаются как периоды плавногороста полезности, соответствующие выпуклой вверхфункции полезности денег, так и периоды быстрого роста,когда функция полезности выпукла вниз и происходитизменение статуса индивида.

Изменение статуса9происходит относительно быстро, поскольку нельзя,например, плавно из человека, не имеющего автомобиль,сделаться человеком, имеющим автомобиль. Нельзяпостепенно стать собственником особняка или яхты.Следовательно, разумно заплатить небольшую сумму заучастие в игре, если в результате индивид получитвозможность повысить свой статус до уровня, до которого«своим ходом» он, может быть, не поднимется за всюжизнь.Рис. 1.

График функции ФридменаПусть в данный момент состояние индивидасоответствует точке A на рисунке. Тогда он согласитсязаплатить некоторую сумму за то, чтобы застраховать себяот маловероятной возможности оказаться в точке B, гдеего благосостояние окажется явно ниже. С другойстороны, он может также заплатить некоторую сумму заучастие в игре, если в результате он получит возможностьс небольшой вероятностью оказаться в точке C. Такимобразом, человек может одновременно страховать себя отвсевозможных рисков заметного снижения своего статуса10и одновременно участвовать в лотереях.

Он может продатьодин жребий за сумму, меньшую его математическогоожидания, и одновременно купить другой жребий засумму, большую его математического ожидания. При этомв обоих случаях он поступит разумно, если расходы настрахование от риска и на участие в игре не приведут кзаметному снижению полезности, то есть, если индивид неокажется значительно ниже точки A на кривой полезности.Заметим, что неразумно было бы платить за страховку отриска оказаться в точке B1.

Неразумно платить за игру,когда маловероятный выигрыш передвинет игрока покривой полезности всего лишь в точку C1. Наконец, еслибы вероятность оказаться в точке B была большой, никтоне согласился бы страховать риск индивидуума заприемлемую для него денежную сумму. И, соответственно,если бы в игре вероятность попасть в точку C былабольшой, лотерейный билет должен был бы стоитьогромные деньги.Таким образом, разумное поведение индивидадопускает умеренную плату за страхование рискамаловероятных большихпотерь и за игру смаловероятным большим выигрышем.Выпуклые вниз участки кривой полезности можнотакже описать функциями f (C )  s , где s  1;  .CСоответственно можно распространить определениеморального ожидания (4) на случай s  0;  .

Вдальнейшем в таких случаях мы будем говорить, чтоморальноеожиданиепорожденосоответствующейфункцией полезности или, что функция являетсяопределяющей для морального ожидания. Исследуемнаиболее важные свойства морального ожидания.112. Свойства морального ожидания порядка s0; I. Моральное ожидание строго монотонно возрастает сростом его порядка: M rs  x, C   M rr x, C  , если0sr.Доказательство: Если z  0 и функция q(z) выпукла вниз,то выполняется неравенство Иенсена[3, c.

93–94]:q M  z   M q  z  . Возьмем в качестве q(z) выпуклую внизфункцию t , где t  1 . Тогда неравенство Иенсена приметzвид M z  t  M z t . Равенство достигается в случае,  когда случайная величина перестает быть таковой ипринимает только одно значение.

Такой случай мыrисключим. Введем замену переменных z  x s и t  .sКак отмечено выше, s  r и условие t  1 выполняется.11rrsssrЗначит, M xs M xr.s  M  x s  или M xЗаменив x на x+C и отняв C от левой и правой частейполученногонеравенства,получим(s)  x, C   (r)  x, C  , что и требовалось доказать.MrMr       II. Моральное ожидание строго монотонно возрастает сростом величины состояния C при s  0;1 и строгомонотонно убывает при s  1;  .

При s  1 M rs  x, C  не12зависит от C и равно математическому ожиданию. Такимобразом, если C1  C 2 , то(s)M (s)r x, C1  M r x, C 2 , при s  0;1 ,(s)M (s)r x, C1  M r x, C 2   M ( x) , при s  1 ,(s)M (s)r x, C1  M r x, C 2  , при s  1;  .Доказательство: Пусть s  0;1 . 1d(s)  x, C   d ss C MMxCrdCdC 1 s M x  C s s  M x  C s 1  1 . Таким образом,dM (s) x, C   0 тогда и только тогда,dC rкогдаM x C s1  s   M 11 s  1 s x  C 1  1.Среднеевзвешенноеарифметическоелюбойположительной величины всегда больше (или равно)среднего взвешенного гармонического. Причем равенстводостигается только тогда, когда все значения величинысовпадают.

Последний случай мы можем сразу исключить,как не представляющий интереса.13Тогда  1 M ( z )   M     z 11M ( z)  M    1 .zилиВоспользуемся доказанным в предыдущем пункте11неравенством M z s s  M z r r , если s  r .При s  1  s11s 1   1    1 sss M  M x  C       M x  C s  x  C 1s  s1   1   1.s   M   x  C   В случае, когда s  1  s ,M    x Cs M x  C 1 s11 s   1 s1    1 s  M  x C 11 s   1 s1   1 1 s   M  x  C   1.Таким образом, для случая s  0;1 свойство доказано.

Дляслучая s  1;  доказательство аналогично.14III. Предел морального ожидания при состоянии C,стремящемся к бесконечности, равен математическомуожиданию: lim M (s)r  x, C   M  x  .C Доказательство:1ss(s)lim M r  x, C   lim    p ix i  C    C  C C    i1ss  x  lim  C   p  1 i C i i C C   1 C     1  s  x i   1    s  C ,lim   p i  C C C iгде, как обычно    – произвольная бесконечно малая  величина более высокого порядка, чем  : lim 0. 0 1(s)  x, C   lim  C   1 s   p    1   s  C   lim M ri xiCi C C C 15  1 1   lim  C   1    p i  x i      C    p i x  M  x  ,i  C C    iC  iчто и требовалось доказать.IV.

При значении порядка s  0;1 моральное ожиданиестрого меньше математического: M (rs )  x, C   M  x  , приs  1 – равно математическому: M (rs )  x, C   M  x  , а приs  1; моральноеожиданиестрогобольшематематического: M (rs )  x, C   M  x  .Доказательство: Согласно доказанному выше при s  0;1моральное ожидание строго монотонно возрастает сростом состояния C и его предел при стремлении C кбесконечности равен математическому ожиданию. Значит,при любом конечном значении состояния C должновыполняться неравенство M (rs )  x, C   M  x  . Для случаяs  1;  доказательство аналогично.V.

Моральное ожидание суммы случайной величины иконстантыM (rs ) x  a, C   M (rs) x, C  a   a , где a –произвольная вещественная константа. Доказательство:1/ ssC M (s)r x  a, C     p ix i  a  C  i1/ ss   p i x i  C  a   C  a   a  ,i16 M (s)r  x, C  a   a , что и требовалось доказать.VI.Моральноеожиданиепроизведенияслучайной Cвеличины на константу M (rs ) a  x , C   a  M (rs )  x ,  , aгде a – произвольная положительная вещественнаяконстанта.Доказательство:1/ s(s) a  x, C     p a  C s xiMr C ii1/ ssC a    p i x i   C i a 1/ ssCC a    p i   xi   a ia Ca aM (rs)  x,  ,что и требовалось доказать.VII. Замена одной «большой» игры на множество«маленьких»:x lim k  M (rs )  , C   M ( x) , где k – натуральное число.k k Это свойство является следствием свойств III и VI иозначает, что при замене одной игры на k игр, в которыхвсе выигрыши в k раз меньше, и при устремлении k к17бесконечности оценка выигрышей в k играх будетстремиться к математическому ожиданию.

Поскольку изнепрерывности и монотонного возрастания функцийполезности рассмотренного класса по теореме Лебега[7, c. 15–16] следует их дифференцируемость (почтивсюду), мыможем свойствоVII вывести инепосредственно из дифференцируемости функцииполезности. Однако свойство следует зафиксировать,поскольку в дальнейшем оно может оказаться полезнымпри обобщении теории.Доказательство: В равенстве пункта VI заменим величину1a на .kx  1Тогда M (rs )  , C   M (rs ) x, k  C  иk  kx k M (rs)  , C   M (rs) x, k  C  .k При k   получим:x lim k  M (rs )  , C   lim M (rs ) x, k  C   M ( x) . k  k k Последнее следует из свойства III, так как k  C   .VIII.

Моральное ожидание функции двух случайныхвеличин M (rs )  f ( x, y ), C   M (rs)  M (rs)  f ( x, y ) x , C , C  , где M (rs )  f ( x, y ) , C  – условное моральное ожиданиеx f(x,y) при фиксированном значении x.18Доказательство: Пусть выигрыш является функцией f(x,y)двух случайных величин x и y и известны вероятностиp i, j появления всех пар  x i , y j  , где i  1,2,, n , аj  1,2,, m , а n и m – натуральные числа. Обозначим p i –вероятность появления значения x i и p j i – вероятностьпоявленияy j , при условии, что в паре присутствует xi .Тогда p i, j  p i  p j i .1s sM (rs )  f ( x, y ), C     p i, j ( f ( x i , y j ) C )   C  i j1s s  p i p j i( f ( x i , y j )  C )   C j i1s s1ss  p i  p j i  ( f ( x i , y j )  C )  C  C  i   j19 C 1s s   p i M (rs ) f ( x, y ) ,C   C    C   i x   M (rs )  M (rs )  f ( x, y ) , C , C  .x  Следовательно, моральное ожидание функции двухслучайных величин равно моральному ожиданиюусловного морального ожидания при фиксации одной извеличин.Моральное ожидание легко обобщить на случайслучайной величины x, распределенной на некотороминтервале a; b  .