Математические модели функции полезности (835793), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть   x  – плотность распределения.Тогда1bs dx  s  C .xCx,x()xCM (s)raИзложенные в этом разделе свойства моральногоожидания, очевидно, выполняются и в случае непрерывнораспределенной случайной величины.203. Макет морального ожидания и функцияполезностиЕстественно возникает вопрос: любая ли непрерывнаямонотонно возрастающая функция f(C) может бытьопределяющей для морального ожидания?§ 3.1. Допустимые функции полезности денегПусть, например, f (C )  k  Exp( s  C )  a , где k, s и a –произвольные вещественные константы. В частности, присоответствующем подборе параметров, эта функция можетудовлетворятьусловиямклассическойфункцииполезности.Тогда для математического ожидания полезности жребиясправедливо следующее равенствоnk  Exp s  x  C  a   p i k  Exp s  x i  C   a  илиi 11  nx   ln  p i  Exps  x i  .s  i 1  Определенная таким образом оценка жребия x независит от состояния, что противоречит нашемупредставлениюобоценкежребияреальнымиэкономическими субъектами.

Теперь допустим, чтоморальноеожидание,порожденноенекоторойопределяющей функцией f(C), не зависит от C. Допустимтакже, что существует преобразование Лапласа функцииf(C).21 xТогда f t nx maxi 1где t  C  xmax ,xp  f t  ximaxmax xi , maxxi.преобразование ЛапласаПусть F ( s )  L f (t ) –[4, c. 230–238] функции f(t). Рассмотрим преобразованиеЛапласа левой и правой частей последнего равенства,считая их функциями t.

Поскольку в силу сделанного вышепредположения x не зависит от t, xExp  n x  s  F s   maxi 1p Exp ximax xi   s   F s  .Сокращая левую и правую часть уравнения на общиеExp( xmax ) ,получиммножителиF(s)и nExp x  s   pi Expxi  s  , и порожденная функцией f(C)i 1оценка жребия примет вид:1  nx   ln  pi  Exps  xi  .s  i 1Таким образом, мы доказали следующее утверждение:оценка жребия не зависит от состояния тогда и толькотогда, когда определяющая функция имеет видf (C )  k  Exp( s  C )  a .Следовательно, для всех иных функций x зависит отсостояния.Приведенныйпримерподчеркиваетнеобходимостькорректногообщегоопределенияморального ожидания.Прежде всего, зададимся вопросом: какой минимальныйнабор свойств морального ожидания должен выполнятьсядля любой оценки жребия такого рода? Свойства I, II и IV22имеют смысл только для степенных определяющихфункций.

Свойства V и VIII сохраняются при любойопределяющей функции. Таким образом, остаютсясвойства III и VI. Седьмое свойство является ихследствием. Теперь дадим новое определение моральногоожидания.Определение 2: Будем считать f (C ) функциейполезности денег, если она непрерывна, строго монотонновозрастает и величинаn1 (5)M rf x, C   f   p i  f x i  C   Ci 1удовлетворяет условиям: lim M (f)r  x, C   M  x  ;C  Cгдеa– M (r f ) a  x , C   a  M (r f )  x ,  , aпроизвольная положительная вещественная константа.Если приведенные выше условия выполнены, будемназывать величину M rf x, C  моральным ожиданием,порожденным функцией f (C ) , а функцию f (C ) –определяющей функцией для морального ожиданияM rf x, C  .Вспомним, что из последнего свойства следуетx Следовательно,такоеlim k  M (rs )  , C   M ( x) .k k определение отражает ситуации, которые мы наблюдаем вповседневной жизни: когда жребий при большом23состоянии или выигрыш в множестве незначительных поотдельности играх оценивают по математическомуожиданию.

Фиксация в определении 2 таких свойствморального ожидания имеет принципиальное значение. Всоответствии с определением 2 не любая удовлетворяющаяусловиям (1) функция может быть классической функциейполезности и не любая возрастающая функция можетоказаться функцией Фридмена.Ниже мы применим два подхода к моделированиюфункций полезности денег.§ 3.2. Кусочно-степенная функция полезностиПоскольку основные свойства морального ожидания мысформулировали, отталкиваясь от степенных функцийполезности, естественно было бы попытаться в качествемодели функции Фридмена взять кусочно-степеннуюзависимость. В силу сказанного выше нам достаточновыполнения двух условий из последнего определенияморального ожидания.

Если считать, что количествостепенныхфункций,использованныхнамиприпостроении кусочно-степенной модели конечно, то первоеусловие выполняется, поскольку при C   мыфактически, начиная с некоторого значения C, будемрассматриватьморальноеожидание,порожденноеконкретной степенной определяющей функцией. Затовторое условие может не выполняться.Пример:C , åñëè Ñ  100Пусть f (C )  27,5  0,00025 * C , åñëè Ñ  10024Легко убедиться, что f(C) – непрерывная и гладкаяфункция, задающая взаимнооднозначное отображениемножества 0;  на множество 0;  . Ее графикизображен на рисунке 2.

Таким образом, f(C) и ее перваяпроизводная непрерывны в точке C=100. Условиегладкости здесь, конечно, не обязательно.Рис. 2. Кусочно-степенная функция полезностиВозьмемC=100ислучайнуювеличинуx,принимающую, как отрицательные, так и положительныезначения: xi  0 при i  1,2,, kи xi  0 приi  k  1, k  2,, n .Тогда второе из условий (5) не выполняется. Однако длядругих значений C условие может выполняться. Такимобразом, кусочно-степенная функция как определяющаяфункция для морального ожидания не всегда адекватнаэкономическому смыслу исследуемых явлений иприменять ее следует осторожно.25§ 3.3. Класс функций полезности денегЗаметим, что если f C  – функция полезности, тофункция k * f C   a , где k  0 и a – произвольныевещественные константы, будет функцией полезности,порождающей то же моральное ожидание, что и функцияf C  . Иначе говоря, достаточно задать функциюполезности с точностью до параллельного переноса игомотетии (то есть растяжения) вдоль оси OZ.Положим, f ( x1)  z1 и f ( x 2)  z 2 , где x 2  x1  0 иz 2  z1  0 .

Тогда моральному ожиданию любого порядкаs  0;  соответствует единственная определяющаяфункция, график которой проходит через точки скоординатами x1, z1 и x 2 , z 2 . При С=0,   0;1 и двухзаданных выше значениях случайной величиныравенство (5) примет вид1M rf  x,0  f 1     f x1    f x 2  .xОпределение 3: Макетомморальногоожидания,порожденного функцией полезностиf C  ,будемназывать функцию    11         .(6)fz1z2Поскольку функция полезности строго монотонновозрастает, функция    также должна строго монотонновозрастать с ростом ρ.

При этом  0  x1 , а  1  x 2 . Помакету морального ожидания легко восстановитьисходную функцию полезности. Действительно,26f     1     f x1    f x 2  1     z1    z 2ифункцию z  f (C ) можно задать в параметрическойформе:C    , где можно считать   0;  z  1     z1    z 2Обозначим макет морального ожидания порядка s как1 / s.Теперьдополним ( s)    1   x1s    x 2sмножество макетов порядка s всеми возможными ихсредними.Например,величина122 2,    0,2 s где 0,8 r   s, r  0;  и s  r , при любом ρ будет принадлежатьинтервалу  s   , r    .

На плоскости через каждуюточку открытого прямоугольника, ограниченного линиямиρ=0, ρ=1, x=x1 и x=x2, проходит график единственной( s)   . Графики полученных изфункции семействаC макетов порядка s и r средних расположены в полосемежду графиками C  ( s)   и C  (r)   , но могутпересекать графики функций исходного семейства.Функции    можно создавать и как средние болеесложного вида.

Например,27(7)1/ rr        s   s   ds  ,где s   0 , s   ds  1 и r   ;  . Наконец, средние макеты,полученные из средних, а также путем всевозможныхпредельных переходов по последовательностям средних,также будут макетами. Таким образом, отталкиваясь отмакетов порядка s, мы можем получить довольно широкийкласс макетов.Любой средней моральных ожиданий случайнойвеличины однозначно соответствует такая же средняявеличина макета.

Средняя величина любого порядкаr   ;  моральных ожиданий сохраняет свойстваморального ожидания и, таким образом, также являетсяморальныможиданием.Определяющуюфункциюполезности для такого морального ожидания можновосстановить по макету. Эта функция может иметь какучастки выпуклости вверх, так и участки выпуклости вниз.Однако исследование участков выпуклости построенныхтаким образом функций выходит за рамки задач даннойработы.Возникает вопрос о возможности обобщениярассмотренной теории на функции полезности других,помимо денег, благ. И все же такое обобщениепреждевременнобезсерьезноготеоретическогообоснования.28ЗаключениеТаким образом, Условий (1) не достаточно для корректногоопределения классической функции полезности, атакже не любая функция, удовлетворяющая первому изусловий (1), может быть функцией Фридмена. Функция полезности должна порождать моральноеожидание,удовлетворяющеесвойствам,зафиксированным в определении 2. Мы можем, отталкиваясь от исходного классапоказательных функций, строить модели функцийполезности с различными участками выпуклости.29Биографические справки1) Бентам Джереми (1748–1832) – английский философ,социолог, юрист.

Изучал юриспруденцию в Оксфорде.Частные, индивидуальные интересы рассматривал, какединственно реальные, а общественные, как ихсовокупность. В основе этики Бентама лежит «принциппользы». Польза состоит в удовлетворении частныхинтересов людей.2) Бернулли Даниил (1700–1782) – швейцарскийматематик. Учился в Гейдельберге и Страсбурге.

Послезащиты диссертации «О дыхании» в 1720 г. сталлиценциатом медицины. С 1725 по 1733 годы работал вПетербургской Академии наук сначала на кафедрефизиологии, затем математики. В 1733 г. уехал в Базель,где возглавлял кафедры анатомии и ботаники, психологии(1743 г.) и физики (1750–1777 гг.). Был членом всехглавных европейских научных обществ, существовавших вте дни. Внес важный вклад в развитие механики,гидродинамики, статистики и теории вероятностей.3) Вебер Эрнст (1795–1876) – немецкий анатом ипсихофизиолог. Основные работы посвящены изучениючувствительности. Обосновал подчиненность психическихявлений числу и мере, положил начало психофизике иэкспериментальной психологии.Фридрих(1851–1926)–представитель4) Визеравстрийской школы в политической экономии.

С 1903 годапрофессор политэкономии в Венском университете.Впервые ввел термин «предельная полезность». Пытался30опровергнуть марксистскую теорию трудовой стоимости иприбавочной стоимости. Создал теорию вмещения,согласно которой каждому из трех факторов производства– труду, земле и капиталу – вменяется определенная частьценности созданного ими продукта. Выдвинул теориюденег, определяя их ценность в зависимости отсоотношения денежных и реальных доходов.5) Госсен Герман Генрих (1810–1858) – немецкийэкономист,предшественникматематическойиавстрийскойшколвполитическойэкономии.Математически обосновал основные принципы теориипредельной полезности.

Характеристики

Список файлов книги