Третьяков_Метод_ДЗ_Матмоделирование (Третьяков Метод ДЗ - Матмоделирование)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.И. Третьяков, А.Ю. Ампилогов, М.А. ХасяновМетодические указанияк выполнению домашнего заданияпо курсу «Методы моделированияв материаловедении»МоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2006УДК 620.22(076.5)ББК 30.3Т66Рецензент В.Н. СимоновТ66Третьяков В.И., Ампилогов А.Ю., Хасянов М.А.Методические указания к выполнению домашнего заданияпо курсу «Методы моделирования в материаловедении».

– М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 59 с.: ил.ISBN 5-7038-2858-9Предложены методология системного анализа, методы физического моделирования для решения задач моделирования в машиностроительном материаловедении. Рассмотрены общие алгоритмысоздания математических моделей, планирования и проведениячисленного эксперимента с анализом результатов моделирования.Приведены примеры моделирования процессов диффузионного насыщения при химико-термической обработке и тепловых процессов нагрева-охлаждения при термической обработке.Для студентов специальности «Материаловедение» (МТ-8),изучающих курсы «Основы автоматизированного проектирования» и «Методы моделирования в материаловедении» в МГТУим. Н.Э. Баумана.Ил. 34. Табл.

8. Библиогр. 6 назв.УДК 620.22(076.5)ББК 30.3ISBN 5-7038-2858-9 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006ВВЕДЕНИЕЭкспериментальные исследования процессов термической и химико-термической обработки позволяют получить закономерностивлияния технологических факторов (варьирования температуры,продолжительности обработки, давления, состава среды и прочих)на структуру и свойства сталей и сплавов. Для сокращения сроков истоимости разработки технологических режимов целесообразно использовать расчетно-теоретические методы, которые могут заменить на определенных этапах дорогостоящие опыты.Математическое моделирование термической или химикотермической обработки позволяет:– анализировать процесс с меньшими затратами энергии ивремени;– имитировать процесс при любых параметрах, в том числе иаварийных, что невозможно выполнить на действующем оборудовании;– исследовать явления, происходящие при термической илихимико-термической обработке, моделируя их различные стадии,сравнивая результаты расчетов с экспериментом и приближая темсамым модель к реальному процессу.Данное домашнее задание по моделированию процессов термической и химико-термической обработки имеет следующие цели:– изучить основные методы физического моделирования задачматериаловедения и приобрести практические навыки в созданииматематических моделей, планировании и проведении численногоэксперимента с анализом результатов моделирования;– разработать математическую модель диффузионного насыщения при химико-термической обработке и изучить влияние температуры и времени цементации на глубину диффузионного проникновения углерода в поверхность обрабатываемой детали, а также сделатьпрогноз о структурных изменениях в диффузионной зоне;– разработать математическую модель тепловых процессов притермической обработке деталей различной формы; для различных3точек детали построить кривые охлаждения; используя термокинетические диаграммы, составить прогноз о распределении структуры по объему детали, сделать вывод о глубине закаленной зоны,сравнить полученные результаты по прокаливаемости стали с данными, известными из литературы.1.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1.1. Математическое моделирование диффузионных процессовпри химико-термической обработкеУравнения диффузииМоделирование диффузионных процессов в металле основывается на уравнениях Фика:первомJ = −D∂c∂x(1)и втором∂c∂ 2c=D 2 .∂τ∂x(2)Здесь D – коэффициент диффузии; c – концентрация; τ – время; x –координата.Первое уравнение описывает удельный поток диффундирующего элемента в металле. Знак «минус» означает, что поток направлен из области с большей концентрацией в область с меньшейконцентрацией.Второе уравнение Фика описывает изменение концентрациидиффундирующего вещества c(x, τ) в пространстве и во времени. Это уравнение непосредственно следует из уравнения баланса вещества при диффузии и выражения для потока. Обауравнения описывают одномерную диффузию вдоль оси x; вкачестве допущения для упрощения решения поставленной задачи принимаем, что коэффициент диффузии D не зависит отконцентрации диффундирующего элемента, а только от температуры процесса.4Начальные и граничные условияДля решения уравнения (2) аналитическим или численным методом необходимо задать начальные и граничные условия, определяемые из анализа процессов, происходящих при химикотермической обработке.

Начальное распределение (при τ = 0) концентрации диффундирующего элемента в металле определяетсяусловиемc ( x, 0) = c0 ( x),(3)а в случае постоянной начальной концентрации – условиемc ( x, 0) = c0 = const.(4)Если рост диффузионного слоя контролируется диффузией вметалле, то используется граничное условие 1-го родаc (0, τ ) = cS (τ ),(5)т. е.

концентрация на поверхности детали cS (при x = 0) являетсяфункцией времени или, в частном случае, постоянна:c (0, τ ) = cS = const.(6)Концентрация на поверхности детали определяется, как правило, экспериментальным путем.Когда рост диффузионного слоя контролируется процессами,происходящими на поверхности металла, например адсорбциейили химической реакцией, используется граничное условие 2-города. В этом случае при решении уравнения (2) задается поток вещества через поверхность металла как функция времени.Граничное условие 3-го рода наиболее достоверно описываетреальный процесс массопереноса на поверхности металла при химико-термической обработке:−D∂c+ k (c − cS ) = 0 для x = 0,∂x(7)где k – константа скорости процесса, происходящего на поверхности детали.5Аналитическое решение уравнения диффузииДостаточно надежной моделью, адекватно отражающей основные закономерности диффузионного насыщения металловпри химико-термической обработке, является линейная модель сграничными условиями 1-го рода.

Эта модель представляетсядифференциальным уравнением в частных производных∂С∂2 C=D∂τ∂x2и начальными и граничными условиями, имеющими видτ = 0, С = С1 для всех x > 0,τ = 0, С = С2 для всех x = 0,где С1 – исходная концентрация углерода в стали; С2 – концентрация углерода на поверхности.Эти граничные условия определяют случай, когда в процессе химико-термической обработки на поверхности изделия сохраняется постоянная концентрация насыщаемого элемента, а между газовой фазойи поверхностью достигнуто равновесие. При повышенных температурах равновесие достигается весьма быстро.

При цементации с этой концентрацией можно соотнести углеродный потенциал газовой среды.Для решения диффузионной задачи с граничными условиями 1-города воспользуемся подстановкой Больцмана. Введем переменнуюλ (С ) =x.tТогда∂C dC ∂λdC x,==−dλ ∂ tdλ 2t 3 2∂t∂ С ∂ C ∂λ ∂ C==∂x∂λ ∂ x∂λ∂ 2C∂x 26=1t,∂ ∂C 1 ∂λ ∂ 2C 1.=∂λ ∂λ t ∂x ∂λ 2 tПодставим полученные значения производных в дифференциальное уравнение второго закона Фика:−∂С x∂ 2C 1=D.∂λ 2t 3 2∂λ 2 t1 1x= λ . После подстановки этого выражения322 t2tв последнее дифференциальное уравнение получимЗаметим, чтоdCd 2C.λ = −2 Ddλdλ2Первую производную dC/dλ представим в видеndC= Ae − aλ .dλПодставив это выражение в предыдущее дифференциальноеуравнение, получимAe − aλ λ = 2 DAe − aλ anλ n−1.nnПриравняв значения показателей степени экспоненты с левой иправой сторон уравнения, а также показатели степени при переменной λ, получим n = 2, а = 1/(4D).

Подставив эти значения впредполагаемое решение для первой производной, получим2dc= Ae −λ /(4 D ) ,dλгде А – постоянная интегрирования.Повторное интегрирование позволяет получить общее решениев видеλC = A ∫ e−λ2/(4 D )d λ + B.07Для удобства интегрирования можно ввести новую переменнуюξ =λ /(2 D ).Тогда общее решение будет иметь следующий вид:C = A /(2 D )λ /(2 D )∫e −ξ d ξ+ B = A'"20x /(2 Dt )∫e −ξ d ξ+ B.20Таким образом, общее решение диффузионной задачи приводит к известному интегралу ошибок Гаусса.

Для него не существует аналитического решения, его значения даны в специальныхтаблицах. Если провести интегрирование в пределах от нуля добесконечности, получим∞∫e−ξ 2dξ =0π.2Частное решение, соответствующее граничным условиям прихимико-термической обработке, можно получить соответствующим выбором коэффициентов А и В:при t = 0C = C1 для x →∞,при t = 0C = C2 для x = 0.Подставляя условия, определяющие граничные и начальныезначения решения в общее уравнение, определим постоянные интегрирования:C1 = Aπ+ B,2С2 = В.ТогдаA= −8(C2 − C1 )π2,В = С2,C = C2 − (C2 − C1 )2 x /(2 Dt ) −ξ 2∫ e d ξ.π 0Таким образом, при диффузии в полуограниченный образец(0 < x < ∞, где x – расстояние от поверхности) с нулевой начальнойконцентрацией c (x, 0) = c0 = 0 через поверхность (x = 0), на которойподдерживается постоянная концентрация cS, не зависящая от времени c (0, τ) = cS, распределение концентрации описывается уравнениемx ⎞⎛c ( x, τ ) = cS ⎜1− erf⎟,⎝2 Dτ ⎠где функция ошибок erf определяется какerf z =2 z2∫ exp (− ξ ) d ξ.π0Решение диффузионной задачи численным методомконечных разностейСуть метода конечных разностей, используемого для решенияуравнения (2), состоит в следующем.

На первом этапе проводятдискретизацию пространственной и временной областей (рис. 1).Рис. 1. Пространственно-временная сетка9В пространственной области выбирают узлы пространственнойсетки: конечное число значений координат x1, x2, ..., xN (N – максимальное значение индекса вдоль оси координат); для временнойпеременной выбирают конечное число значений τ0, τ1, ..., τJ (узлывременной сетки; J – максимальное значение индекса вдоль осивремени). Узлы пространственной сетки располагаются на равномрасстоянии (рис. 2):xn+1 − xn = ∆x для n = 1, N.Рис.