Третьяков_Метод_ДЗ_Матмоделирование (Третьяков Метод ДЗ - Матмоделирование), страница 2

2. Пространственная сеткаНа втором этапе для каждого узла пространственной сетки записывают уравнение (2) относительно значений искомой функции в узловых точках. Члены, входящие в уравнения (2), аппроксимируют, выражая их через значения сеточной функции cn,j, являющейся лишь приближенным значением функции концентрации c (x, τ). Пренебрегаяразностью между значением сеточной функции cn,j и функции концентрации c (x, τ), для временной производной используют выражение∂c∂τ=xn , τ jcn, j +1 − cn , j∆τ(8);для первой производной по координате x – выражение∂c∂x=xn , τ jcn +1, j − cn , j∆x(9);для второй производной по координате x – выражение∂2c∂x 210=xn , τ jcn +1, j − 2cn, j + cn −1, j∆x 2.(10)Таким образом, получают конечно-разностное уравнение дляобъема, содержащего узловую точку xn:cn, j +1 − cn, j∆τcn, j +1 = D∆τ=Dcn +1, j − 2cn , j + cn −1, j∆x 2cn +1, j − 2cn, j + cn −1, j∆x 2,+ cn , j .При использовании для решения задачи граничного условия 1-города значения концентрации в крайних узловых точках x1 и xN вычисляют по формуламcN , j +1 = c0 ,(11)c1, j+1 = cS .(12)Если значения сеточной функции cn,j+1 выражаются через значения сеточной функции на предыдущем временном шаге cn,j, томы имеем дело с явной схемой.

Тогда расчет сводится к повторяющимся вычислениям значений сеточной функции cn,j+1 на новом ( j + 1)-м временном слое по явным формулам, в которые входят значения cn,j+1 на предыдущем временном слое.При вычислении значений cn,1 на первом шаге по времени используют значения предыдущего шага cn,0 для τ = 0, т. е. в соответствии с начальными условиямиcn,0 = c0 .(13)Для обеспечения условия устойчивости вычислительного процесса шаг по времени ∆τ должен удовлетворять условию∆τ ≤ 0,5∆x 2.D(14)111.2. Математическое моделирование тепловых процессовпри термической обработкеУравнение теплопроводностиРаспределение температуры t в детали цилиндрической формыописывается нестационарным дифференциальным уравнением вчастных производных 2-го порядкаcρ⎛ ∂ 2 t 1 ∂t ⎞∂t,= λ⎜ 2 +r ∂r ⎟⎠∂τ⎝ ∂r(15)где c – удельная теплоемкость материала; ρ – плотность; λ – коэффициент теплопроводности; τ – время; r – пространственная координата.Для упрощения решения задачи приняты следующие допущения:– деталь считают бесконечным цилиндром, т.

е. тепловые потокичерез торцы цилиндра не учитывают (осесимметричная задача);– принимают, что в материале отсутствуют источники тепла;– величины c , λ и ρ считают постоянными и не зависящими оттемпературы.Начальные и граничные условияНа границах области задаются граничные условия 3-го рода⎡ ∂t⎤⎢⎣λ ∂r +α t − tср ⎥⎦ = 0,r =R(16)⎡ ∂t ⎤⎢⎣−λ ∂r ⎥⎦ = 0,r =0(17)()где α – коэффициент теплоотдачи; tср – температура охлаждающейсреды; R – радиус цилиндра.Начальное распределение температуры определяется условиемt τ=0 = t0 (r ).(18)В расчетах температура в начальный момент времени принимается постоянной в любой точке расчетной области:t0 (r ) = t0 = const.12(19)Решение тепловой задачи численным методомконечных разностейДля расчета тепловых полей в детали, имеющей формуцилиндра, в нестационарных условиях нагрева или охлажденияиспользуют уравнение (15), которое решается методом конечных разностей.

В пространственной области выбирают конечноечисло значений координат r1, r2, ..., rN (узлы пространственнойсетки), для временной переменной также выбирают конечноечисло значений τ0, τ1, ..., τJ (узлы временной сетки). Узлы пространственной сетки располагаются на равном расстоянии (см.рис. 2):∆rn = rn − rn−1 = ∆r для n = 1, …, N.Затем составляют систему алгебраических уравнений относительно значений искомой функции в узловых точках:tnj = t (rn , τ j ), n =1, ..., N ; j = 0, ..., J .При построении разностной схемы используют метод теплового баланса. Для внутренних и граничных ячеек записываютуравнения теплового баланса, включающие значения тепловыхпотоков на границах рассматриваемых объемов, причем при записи уравнений баланса для ячеек, прилегающих к границам,применяют граничные условия.

Для временной производнойиспользуют выражение∂t∂τ=rn , τ jtnj +1 − tnj,∆τ(20)где ∆τ – шаг по времени.Выражение для первой производной по координате r (в цилиндрической системе координат) имеет вид∂t∂r=rn , τ jtnj+1 − tnj,∆r(21)13для второй производной по координате r – вид∂ 2t∂r 2=rn , τ jtnj+1 − 2tnj + tnj−1∆r 2.(22)Для внутреннего элементарного объема, содержащего узловуюточку rn и окруженного двумя соседними объемами, запишем конечно-разностное уравнение с учетом симметрии только двух тепловых потоков от соседних объемов:cρjjt j − 2tnj + tnj−1tnj +1 − tnj1 tn +1 − tn −1= λ n +1+λ.∆τrn2∆r∆r 2(23)Для объема, примыкающего к границе области при r = R (n == N) и содержащего узел rN, выражение для вычисления температуры имеет видjt N − tсрt j −t jt j +1 − t Njr − ∆r /2rN.

(24)cρ N= −λ N 2N −1 2 N−α2∆τrN − ∆r /4∆rrN − ∆r /4∆rДля объема, примыкающего к центру цилиндра при r = r1 (r1 –внутренний диаметр цилиндра, для сплошного цилиндра r1 = 0),выражение для вычисления температуры имеет видcρt1j +1 − t1jtj −tj= λ 2 2 21 .∆τ∆r(25)Расчет сводится к повторяющимся вычислениям значений tnj+1на новом (j + 1)-м временном слое по явным формулам, в которыевходят значения tnj на предыдущем временном слое. Для обеспечения условия устойчивости шаг по времени ∆τ должен удовлетворять условию−1∆τ ≤14α⎞cρ ⎛ λ+ ⎟ .⎜4 ⎝ ∆r 2 ∆r ⎠(26)2.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ2.1. Варианты заданийЗадание 1. Разработайте математическую модель диффузионного насыщения при цементации, основанную на аналитическомрешении 2-го уравнения Фика для полуограниченного образца сграничными условиями 1-го рода, и в режиме численного эксперимента изучите закономерности роста диффузионного слоя в зависимости от температуры и времени.

Для этого необходимо:„ построить распределение углерода по толщине слоя и нарисовать структуру слоя после цементации по указанному режиму(начальное содержание углерода в стали принять равным нулю);„ исследовать кинетику роста слоя при цементации по указанному режиму и построить график;„ исследовать влияние температуры на толщину цементованного слоя в указанном интервале температур и построитьграфик.Задание 2.

Разработайте математическую модель диффузионного насыщения при цементации с помощью метода конечныхразностей (явная схема) с граничными условиями 1-го рода и исследуйте влияние технологических факторов цементации наструктуру и свойства цементованного слоя. Для этого необходимо:„ построить распределение углерода по толщине слоя и нарисовать структуру слоя после цементации стали по указанномурежиму;„ исследовать кинетику роста слоя при цементации по указанному режиму и построить график.Задание 3.

Разработайте математическую модель процесса охлаждения детали типа вала при объемной закалке, основанную начисленном методе конечных разностей (явная схема) с граничными условиями 3-го рода. Исследуйте влияние технологическихфакторов на структуру и свойства стали после закалки по указанному режиму (в расчетах деталь следует считать бесконечным цилиндром).

Теплотехнические свойства стали и охлаждающей среды считайте независимыми от температуры и определите на основании справочных данных. Для этого необходимо:„ построить кривые охлаждения детали для центра и поверхности, наложив их на термокинетическую диаграмму стали;„ воспроизвести схематично структуру детали после охлаждения в заданных условиях и определить толщину закаленного слоя.15Задание 4. Разработайте конечно-элементную модель процессаохлаждения детали типа бруса при объемной закалке с граничными условиями 3-го рода. Исследуйте влияние закалки на структуруи свойства детали после обработки по указанному режиму. В расчетах деталь следует считать брусом бесконечной длины.

Теплотехнические свойства стали и охлаждающей среды считайте независимыми от температуры и определите на основании справочныхданных. Для этого необходимо:„ построить кривые охлаждения детали для центра и поверхности, наложив их на термокинетическую диаграмму стали;„ нарисовать структуру детали после охлаждения в заданныхусловиях и определить толщину закаленного слоя.Численные варианты всех заданий даны в табл. 1.2.2. Указания по выполнению домашнего заданияДомашнее задание, включая подготовку отчета, выполняется сиспользованием программы Microsoft ExcelTM.

Исходные данные вячейки электронной таблицы следует вводить, используя международную систему единиц.Выполнение расчетов по заданиям 1 и 2В результате моделирования и численного эксперимента на егооснове получаем распределение концентрации насыщаемого впроцессе диффузии элемента по глубине или координате х. Всюобласть изменения х разбивают на N узлов и средствами моделирования рассчитывают значение концентрации в каждой узловойточке. Шаг по координате ∆x выбирают из следующих соображений: произведение ∆x (N – 1) должно заведомо превышать толщину диффузионного слоя, которая при цементации может достигнуть 1,0…1,5 мм, иначе нарушается граничное условие (11). Шагпо времени (в задании 2) рассчитывают по формуле (14).В расчетах (кроме задания 1) необходимо учитывать влияниетемпературы T и содержания углерода в стали С, %, на коэффициент диффузии углерода, м2/с, в аустените:DCγ = (0,07 + 0,06 C ) ⋅ 10−4 exp −133760.RTПримеры выполнения заданий показаны на рис.