1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (Коткин, Образовский - Задачи по статической физике), страница 9

Ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü îäíó ÿ÷åéêó êàê ñèñòåìó, ñïîñîáíóþ îáìåíèâàòüñÿ ýíåðãèåé è ÷àñòèöàìè ñ ãàçîì. Ñòåïåíü àäñîðáöèè θ îòíîøåíèå ÷èñëààäñîðáèðîâàííûõ ìîëåêóë ê ÷èñëó ìåñò íà ïîâåðõíîñòè ðàâíàñðåäíåìó ÷èñëó ìîëåêóë, íàõîäÿùèõñÿ íà êàæäîì èç âîçìîæíûõìåñò. Ìîæíî âèäåòü, ÷òî óñëîâèÿ çàïîëíåíèÿ ìåñò òàêèå æå, êàêÐåøåíèÿ64äëÿ ôåðìèîíîâ ñ ýíåðãèåé −ε (âîçìîæíîå ÷èñëî ÷àñòèö 0 èëè 1).Ïîýòîìó âåëè÷èíà θ îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ôåðìè:θ=1e−(ε+µ)/T + 1,ãäå µ õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë àäñîðáèðîâàííûõ ìîëåêóë, ñîâïàäàþùèé âñëåäñòâèå óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ îòíîñèòåëüíî îáìåíà÷àñòèöàìè ñ õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ýòèõ ÷àñòèö â ãàçå"Vµ = −T lnNµmT2π~2¶3/2#·¸T 5/2 ³ m ´3/2= −T ln,P2π~2(äëÿ ïðîñòîòû çàïèñè ìû ñ÷èòàåì ãàç îäíîàòîìíûì).Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì äëÿ ñòåïåíè àäñîðáöèè òàê íàçûâàåìóþ èçîòåðìó Ëåíãìþðà.θ = [eε/T T 5/2(m/2π~)3/2/P + 1]−1 ≡P,P + P0ãäå èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå P0 = eε/T T 5/2 (m/2π~)3/2 .Âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé, çàìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå Ôåðìè âîçíèêëî â ýòîé çàäà÷å íå âñëåäñòâèå òîæäåñòâåííîñòè ÷àñòèö, à âñëåäñòâèå èõ ½ñèëîâîãî“ âçàèìîäåéñòâèÿ, (ñì.

òàêæå [8,ãë. 1, çàäà÷à 29]). Ðåçóëüòàò íå çàâèñèò îò òîãî, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòèöû ôåðìèîíàìè èëè áîçîíàìè. Ó÷¼ò æå òîãî ôàêòà, ÷òî àäñîðáèðîâàííàÿ ÷àñòèöà ìîæåò èìåòü ðàçíûå ñîñòîÿíèÿ (íàïðèìåð,ñïèíîâûå), ïðèâåä¼ò ê íåêîòîðîìó èçìåíåíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì.çàäà÷ó 4.12).4.2. Ñ÷èòàÿ, ÷òî êàæäûé àòîì ìåäè ïîñòàâëÿåò îäèí ýëåêòðîíïðîâîäèìîñòè, èìååìNe 9 · 6 · 1023=≈ 9 · 1022ñì−3,V64µ¶2/3N~23π 2≈εF =2mVÔåðìè-ãàç65¢10−54ýðã2c2 ¡22−3 2/3−114 o≈30·9·10ñì≈10ýðã≈7·10K ≈ 6ýÂ,2 · 10−27ã2NP =εF ≈ 0, 4 · 1023ñì−3 · 10−11ýðã ≈ 4 · 105àòì.5VÎöåíêà εF ïîêàçûâàåò, ÷òî ýëåêòðîííûé ãàç â ìåòàëëàõ ïðè ëþáûõ òåìïåðàòóðàõ ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííûì.Ýòîò ðàñ÷¼ò çàñëóæèâàåò íàèìåíîâàíèÿ ½îöåíêà“ , òàê êàê âäåéñòâèòåëüíîñòè ýëåêòðîííûé ãàç â ìåòàëëàõ (â òîì ÷èñëå è âìåäè) ìíîãèìè ñâîéñòâàìè îòëè÷àåòñÿ îò îïèñàííîãî èäåàëüíîãîãàçà ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ.4.3.

Ñâÿçü ìåæäó èìïóëüñîì Ôåðìè è ïëîòíîñòüþ îñòàåòñÿ òàêîé æå, êàê äëÿ íåðåëÿòèâèñòñêîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà:µNp0 = ~ 3π 2V¶1/3,(19)îäíàêî âûðàæåíèÿ äëÿ ýíåðãèè è äàâëåíèÿ ìåíÿþòñÿµ¶1/3Nε0 = cp0 = ~c 3π 2,Vµ¶1/3Zp0NV33E = 2 3 cp p2dp = N ε0 = N ~c 3π 2,π ~44V0µ ¶4/3c ¡ 2¢1/3N1EP =3π~=.4V3VÏðèâåäåì òàêæå çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ âûðîæäåííîãî ôåðìèãàçà îò åãî ïëîòíîñòè â ñëó÷àå ïðîìåæóòî÷íûõ ïëîòíîñòåé, êîãäàãàç íå ÿâëÿåòñÿ óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèì.

Ìîæíî, íàïðèìåð, âûðàçèòü äàâëåíèå êàêZP =Zp02pxvxf (ε)dΓ/V =vx >00pv 2 · 4πp2dp,3 (2π~)3Ðåøåíèÿ661010P2ln P−dd lnV0101.51−10100.5VVNλ3c−2010−10100100 −5101010010510Ðèñ. 11. Çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ (â åäè- Ðèñ. 12. Çàâèñèìîñòü íàêëîíà èçîòåð-ln Píèöàõ mc2 /λ3c ) îò îáú¼ìà (â åäèíèöàõ ìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 11, − dd lnV,îò îáú¼ìàN λ3c )pãäå p0 ïî-ïðåæíåìó îïðåäåëÿåòñÿ (19), à ε = c m2 c2 + p2 ,v = c2p/ε.  ðåçóëüòàòå íåñëîæíûõ âûêëàäîê ïîëó÷àåì4 5mcP = 2 33π ~Zx0ξ 4dξp=21+ξi√mc2 h √2= 2 3 x 1 + x2(2x /3 − 1) + ln (x + 1 + x2) ,8π λcãäå x = p0 /mc , λc = ~/mc=3,8·10−11 ñì êîìïòîíîâñêàÿ äëèíàâîëíû ýëåêòðîíà.Ïåðåõîä îò çàâèñèìîñòè P ∝ V −5/3 ê P ∝ V −4/3 ïðîèñõîäèò âäîâîëüíî øèðîêîì èíòåðâàëå ïëîòíîñòåé â îêðåñòíîñòè λ−3c .

Íàðèñ. 11 ïðèâåäåíà èçîòåðìà ýëåêòðîííîãî ãàçà ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå (â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå), íà ðèñ. 12 çàâèñèìîñòüln PVíàêëîíà èçîòåðìû − dd lnV îò N λ3c .Çäåñü óìåñòíî íàïîìíèòü, ÷òî ñ ïîâûøåíèåì ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî ãàçà ðîëü êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ïàäàåò.Ôåðìè-ãàç674.4. ×èñëî ýëåêòðîíîâ Ne = Z , îáú¼ì V ≈ r3. Òîãäà êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà åñòüZ~2Eêèí ≈mµ ¶2/3ZZ 5/3~2≈.r3mr2Ïîñêîëüêó â ñðåäíåì ýëåêòðîíû íàõîäÿòñÿ áëèæå ê ÿäðó ÷åìäðóã ê äðóãó, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïîïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíàZe2Eêóë ≈ −Z.rÌèíèìèçèðóÿ ïîëíóþ ýíåðãèþ E = Eêèí + Eêóë êàê ôóíêöèþr, ïîëó÷àåìaB~2≈.r≈me2Z 1/3Z 1/3Î ìîäåëè Òîìàñà Ôåðìè ñì.

[5, Ÿ 70].  çàäà÷å ê óêàçàííîìóïàðàãðàôó ïîêàçàíî, ìåæäó ïðî÷èì, ÷òî ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿýëåêòðîíîâ ñ ÿäðîì â ìîäåëè Òîìàñà Ôåðìè â 7 ðàç áîëüøå ýíåðãèè èõ âçàèìîäåéñòâèÿ äðóã ñ äðóãîì, ÷òî äî íåêîòîðîé ñòåïåíèîïðàâäûâàåò ïðåíåáðåæåíèå ïîñëåäíåé.4.5. Âîçìîæíû äâå ðàçíûå ïðîåêöèè ñïèíà íà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîîòâåòñòâåííî, äâà çíà÷åíèÿ ïðîåêöèè ìàãíèòíîãîìîìåíòà ýëåêòðîíà, ±µ0 , µ0 = e~/(2mc) (“ ïî ïîëþ“ è “ ïðîòèâïîëÿ“ ), è ðàçíûå âêëàäû â ýíåðãèþ ýëåêòðîíà, ∓µ0 H.  çàâèñèìîñòè îò îðèåíòàöèè ñïèíà ðàçëè÷íûìè îêàæóòñÿ è çíà÷åíèÿãðàíè÷íîãî èìïóëüñà (ïðè îäíîé ãðàíè÷íîé ýíåðãèè εF )p2↓p2↑− µ0 H =+ µ0H = εF .2m2m(20)Êîëè÷åñòâà ÷àñòèö ñ êàæäîé èç îðèåíòàöèé ñïèíàN↑↓4πp3↑↓V,=3(2π~)3(21)Ðåøåíèÿ68Ïîëíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ N = N↑ + N↓ â îáú¼ìå V ñ ó÷¼òîì(20),(21) îïðåäåëÿåò âåëè÷èíó εF .

Ìàãíèòíûé ìîìåíò íàïðàâëåíâäîëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ è îïðåäåëÿåòñÿ êàêM = (N↑ − N↓)µ0.Ó÷ò¼ì òåïåðü, ÷òî ýíåðãèÿ ñïèíà â ìàãíèòíîì ïîëå ìàëà ïîñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé Ôåðìè13 µ0 H ¿ εF , è ðàçëîæèì N↑↓ ïî3/2µ0H/εF (ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè ýòîì óñëîâèè N ∝ εF ) :N↑↓N=2µ¶3 µ0 H1±.2 εFÎòñþäà âèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ Ôåðìè ïðè âêëþ÷åíèè ìàãíèòíîãîïîëÿ ñ òî÷íîñòüþ äî µ0 H/εF âêëþ÷èòåëüíî íå èçìåíÿåòñÿ. Ìàãíèòíûé ìîìåíò3N µ20H,M=2εFà ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü3µ20NM=.χ=V H 2εF VÝòî ïàðàìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü Ïàóëè.

Äëÿ âûðîæäåííîãîýëåêòðîííîãî ãàçà îíà îêàçàëàñü ìíîãî ìåíüøå, ÷åì äëÿ áîëüöìàíîâñêîãî (ñ òîé æå êîíöåíòðàöèåé), ïîòîìó ÷òî ôàêòè÷åñêè ìîãóò îðèåíòèðîâàòüñÿ âî âíåøíåì ïîëå òîëüêî ýëåêòðîíû, ýíåðãèÿêîòîðûõ áëèçêà ê ýíåðãèè Ôåðìè.Äëÿ âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà, êàê è äëÿ áîëüöìàíîâñêîãî, ïàðàìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü íà òðåòü êîìïåíñèðóåòñÿäèàìàãíåòèçìîì Ëàíäàó, îáóñëîâëåííûì îðáèòàëüíûì äâèæåíèåì ýëåêòðîíîâ, (ñì.

ïîäðîáíåå â [1, Ÿ 59 - 60] , [7, Ÿ 59]).Ê òîìó æå ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê χ =Çäåñü M = M/V íàìàãíè÷åííîñòü.13¯∂M ¯∂H H=0 .Ôåðìè-ãàç694.6. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãîãàçà åñòü2~Eêèí ∼ NemeµNeV¶2/35/3~2 N e∼,meR2Èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîëíîé ýíåðãèè~2GM 2+Eïîëí ∼ −RmeR2µNe ∼M4mpM.4mp¶5/3ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ ðàäèóñà áåëîãî êàðëèêàRáê ∼~25/3Gmemp M 1/3≈ 104êì.(22)Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñõîäñòâî ñ çàäà÷åé 4.4.4.7. Ïðè êîíöåíòðàöèè âåùåñòâà, êîãäà ýíåðãèÿ Ôåðìè ýëåêòðîííîãî ãàçà íå î÷åíü ïðåâûøàåò âåëè÷èíó ∆m ¿ mn , íåéòðîííûé ãàç åù¼ îñòà¼òñÿ íåðåëÿòèâèñòñêèì. Ðàäèóñ çâåçäû îïðåäåëÿåòñÿ ïðîòèâîäåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííîãî ñæàòèÿ è äàâëåíèÿ âûðîæäåííîãî íåéòðîííîãî ãàçà. Äëÿ îöåíêè ðàäèóñà íåéòðîííîéçâåçäû ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì ïðåäûäóùåé çàäà÷è,(22), çàìåíèâ òîëüêî ìàññó ýëåêòðîíà íà ìàññó íåéòðîíà.

 èòîãåîöåíêà äàåò ðàäèóñ, ïðèìåðíî â 1 000 ðàç ìåíüøèé.Åñëè ìàññà íåéòðîííîé çâåçäû åù¼ áîëüøå, òî íåéòðîííûéãàç ñòàíîâèòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì.  ïðåäåëå óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîãî ôåðìè-ãàçà çàâèñèìîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ãàçà îò ðàçìåðàçâåçäû ñòàíîâèòñÿ òàêîé æå, êàê ïîòåíöèàëüíîé (E ∝ R−1 ).

Êîýôôèöèåíò æå â ýòîé çàâèñèìîñòè äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèèðàñòåò ñ ìàññîé áûñòðåå. Ïîýòîìó ïðè íåêîòîðîé âåëè÷èíå ìàññû çâåçäû ãðàâèòàöèîííîå ñæàòèå ñòàíîâèòñÿ ïðåîáëàäàþùèì,çâåçäà íåîãðàíè÷åííî ñæèìàåòñÿ è ïðåâðàùàåòñÿ â ÷¼ðíóþ äûðó.Îöåíêà ïðåäåëüíîé ìàññû íåéòðîííîé çâåçäû íà ïðèíÿòîì âýòèõ çàäà÷àõ óðîâíå òî÷íîñòè äàñò â ðåçóëüòàòå âåëè÷èíó ïîðÿäêà ìàññû Ñîëíöà. Ýòî ïðàâèëüíî, íî èíòåðåñåí è áîëåå òî÷íûéÐåøåíèÿ70ðàñ÷åò. Êîððåêòíûé ðàñ÷¼ò òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.4.8. ÂñïîìíèìΩ = F − N µ = F − Φ = −P V , dΩ = −SdT − P dV − N dµ ,YX(µ−εk )/TΩ = −T ln Q , Q =qk , qk = 1 + e, ln Q =ln qk .kk ñëó÷àå ñëàáî âûðîæäåííîãî ãàçà e(µ−ε)/T ¿ 1, òàê ÷òî1ln qk = e(µ−εk )/T − e2(µ−εk )/T ,21ln Q = eµ/T z(T ) − e2µ/T z(T /2) ,2¶3/2µXmT.z=e−εk /T = 2V2π~2kÈòàê,P V = T ln Q = T eµ/T³µ/T´z(T ) 1 − e z(T /2)/2z(T ) =³´µ/Tµ/T5/2= T e z(T ) 1 − e /2= −Ω ,³´∂Ωµ/Tµ/T5/2N =−= e z(T ) 1 − 2e /2,∂µPV= 1 + eµ/T /25/2 .NTÏîäñòàâèâ â ìàëóþ ïîïðàâêó eµ/T = N/z(T ) (êàê äëÿ áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà), ïîëó÷àåìPVN ~3 ³ π ´3/2.=1+NT4V mT(23)Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, íåâîçìîæíîñòü íàõîäèòüñÿ äâóì èáîëåå ýëåêòðîíàì â îäíîì è òîì æå ñîñòîÿíèè ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ äàâëåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ èäåàëüíûì áîëüöìàíîâñêèìãàçîì.Ôåðìè-ãàç71Ýíåðãèÿ íåðåëÿòèâèñòñêîãî ãàçà â çàäàííîì îáúåìå ñâÿçàíà ñåãî äàâëåíèåì ñîîòíîøåíèåì E = (3/2)(P V /N ).

Èç (23)3E = NT2à òåïëî¼ìêîñòüCV =µ∂E∂T¶VµN ~3 ³ π ´3/21+4V mT3= N2µ¶,¶³´3/2N~π1−.8V mT3Óìåíüøåíèå òåïëî¼ìêîñòè òàêæå ìîæíî êà÷åñòâåííî îáúÿñíèòüâëèÿíèåì ïðèíöèïà Ïàóëè: êîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé, â êîòîðûå âîçìîæåí ïåðåõîä, óìåíüøèëîñü, è äëÿ íàãðåâàíèÿ ãàçà ýòî ïîäîáíîóìåíüøåíèþ ÷èñëà åãî ÷àñòèö.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ Cp âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíîé ôîðìóëîéµCp − Cv = −T èòîãå5CP = N2µ∂P∂T¶2 . µ ¶∂P.∂VVT11N ~3 ³ π ´3/21−40VmT¶.4.10. Êàê âèäíî èç ïîñòàíîâêè âîïðîñà, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òîíà êàæäîé âûñîòå äîñòèãíóòî ëîêàëüíîå ðàâíîâåñèå ãàçà.Ãðàíè÷íûé èìïóëüñ è ãðàíè÷íàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ôåðìèîíîâ íà äàííîé âûñîòå ñâÿçàíû ñ ïëîòíîñòüþ ãàçà íà ýòîé âûñîòå:p0 = (3π 2)1/3~n1/3 , ε0 = p20/2m = An2/3 , äàâëåíèå P = 25 nε0 .Ìîæíî áûëî áû âîñïðîèçâåñòè âûâîä áàðîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëû, çíàêîìûé ïî êóðñó îáùåé ôèçèêè, ñòàðòóÿ îò ðàâåíñòâàdP = −mngdx.Äðóãîé ñïîñîá çàïèñàòü ðàâåíñòâî µ = µ(x), ãäå µ õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ôåðìè-ãàçà, à µ(x) = ε0 + mgx ëîêàëüíîåçíà÷åíèå õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, ñêëàäûâàþùååñÿ èç ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.Ðåøåíèÿ72Ýòî ñðàçó æå äà¼òn = [(µ − mgx)/A]3/2 = (mg/A)3/2(xmax − x)3/2.Çäåñü xmax = µ/mg âûñîòà ñòîëáà ãàçà.

Õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàëñâÿçàí ñ ïîëíûì ÷èñëîì ôåðìèîíîâ â ñòîëáå ãàçà åäèíè÷íîãîñå÷åíèÿ N óñëîâèåì N =xRmaxndx =025¡ mg ¢3/2A5/2xmax .Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî òåìïåðàòóðà ìàëà, íî íå ðàâíà íóëþ. Òîãäà ïðè âûñîòàõ, áëèçêèõ ê xmax , óñëîâèå µ(x) À T áóäåòíàðóøåíî, ãàç ïåðåñòàíåò áûòü âûðîæäåííûì, à ïðè x > xmax âçàâèñèìîñòè n(x) ïîÿâèòñÿ ½ õâîñò“ â âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ Áîëüöìàíà.4.11. Óäîáíî èñïîëüçîâàòü èçâåñòíûå óðîâíè ýíåðãèè è êðàò-íîñòè èõ âûðîæäåíèÿ äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà14 εn =~ω(n + 3/2), gn ≈ 2n2/2 = n2, òàê ÷òîN=∞Xgn f (εn), E =∞X0εn gn f (εn).0Ïåðåõîäÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî dε = ~ωdn (ñ dn = 1), ïîëó÷àåìN=1(~ω)3Z∞ε2f (ε)dε,0E=1(~ω)3Z∞ε3f (ε)dε.(24)0Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ èíòåãðàëîâ âèäàZ∞ZµF (ε)f (ε)dε ≈00π2T 2 0F (µ),F (ε)dε +6f (ε) =ïðèìåíèìîå ïðè óñëîâèè T ¿ µ, ïîëó÷àåìµ3N≈3(~ω)314µπ2T 21+ 2µ¶,µ4E≈4(~ω)3µ1e(ε−µ)/T + 12π 2T 21+µ2,¶.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ ïîëåçíî âñïîìíèòü çàäà÷ó 2.2.Ôåðìè-ãàç73Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà íàõîäèì ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðè1/3áëèæåíèé µ.