tul10 (Лекции по теории управления)

Лекция 10.НАХОЖДЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮУстановим связь ДНПФ с дифференциальным уравнением (6), описывающим систему. Согласно определению импульсная переходная функция удовлетворяют уравнениюan ()d n k (, )d n ...  a0 () k (, )  bm ()d m (  )d m ...  b0 () (  ) .Применим к левой и правой частям спектральное преобразование с учетом свойств-функции:tdn t(,,)(,)...()a n ()pitkda00 p(i, t , ) k (, ) d  d  n 0dn bm ()dmtt p(i, t , ) (  ) d   ....  b ()  p(i, t , ) (  ) d  000 bm ()d p (i, t , ) ...  b0 () p (i, t , ).d mmtВведем обозначение H (i, t , ) pp(i , t , ) k (, ) d – нестационарная сопряженная0передаточная функция.Тогда последнее уравнение перепишется в формеndk ak () d kk 0H (i, t , ) pmd k p(i , t , )k 0d k bk ().Применим спектральное преобразование к левой и правой частям с учетом свойствлинейности и умножения функций:d k H (i, t , )  dkpS a k () Ak (t , t ) S  k H (i, t , )  , k  1,..., n ;kpp  pp*dp d dkd k p(i, t , ) S bk () B k (t , t ) S  k p(i, t , )  , k  0,1,.., m ,kpdp d pp*где Ak (t , t ), Bk (t , t ) – двумерные нестационарные передаточные функции нестационарpp *pp *ных усилительных звеньев.Согласно свойству дифференцирования оригинала1 dkSH (i, t , )  P k (t , t ) S H (i, t , ) ,kp d pp p pp * dkSp(i, t , )  P k (t , t ) S  p(i , t , ).p  d kp pp *Заметим, что согласно определениям (1),(7)t tS  H (i, t , )     p * (h, t , ) p(i, t , ) k (, ) d  d   W (h, i, t , t ),p pp*p0 0t 1, h  i,S  p (i, t , )    p * (h, t , ) p(i, t , ) d   p 0, h  i.0В результате получаемnAk (t , t ) P k (t , t ) W (t , t ) k  0 pp *pp *pp *m Bk (t, t ) Pppk* (t, t )k  0 pp *или1 W (t , t )   An (t , t ) P n (t , t )  ...

 A0 (t , t )   B m (t , t ) P m (t , t )  ...  B0 (t , t )  .pp*pp*pp*pp*pp* pp*  pp*Используя свойство ( A  B ) 1  B 1  A 1 , преобразуем выражениеn An (t , t ) P (t , t )  ...  A0 (t , t )pp * pp *pp *1    An (t , t )  ...  A0 (t , t ) P  n (t , t )  P n (t , t )pp *  pp * pp *pp *1.Окончательно получаемW (t , t )  P (t , t )  An (t , t )  ...  A0 (t , t ) P  n (t , t )pp *pp *pp * pp *pp *n1mB m (t , t ) P (t , t )  ...

 B 0 (t , t ) .pp * pp *pp *(8)4.1.2. Связь вход-выходНайдем связь вход-выход, устанавливаемую двумерной нестационарной передаточной функцией при нулевых начальных условиях. Воспользуемся формулой связивход-выход с помощью ИПФ с учетом формулы обращения и условия физической реализуемости ( k (, )  0 при    ):x () 2t00 k (, ) g () d   k (, )  Gp (i, t ) p(i, t , ) d .iПрименим спектральное преобразование и формулу (7):tS [ x ()] pt tp * (h, t , ) x () d  X (h, t ) p0 ip * (h, t , ) p(i , t , ) k (, ) d d G (i , t ) p00(h, i , t , t ) G (i , t ).Wpp *piВ итоге получаемX (t )  W (t , t )G (t ) .ppp *(9)p4.1.3. Двумерные нестационарные передаточные функции соединенийЕсли система представляет собой соединение звеньев, то для нахождения ДНПФсистемы применяются следующие соотношения:для последовательного соединения (см. рис.

1, а):W (t , t )  W 2 (t , t )W1 (t , t ) ,pp *pp *(10)pp *для параллельного соединения (рис. 1, б):W (t , t )  W1 (t , t )  W 2 (t , t ) ,pp *pp *(11)pp *для соединения с обратной связью (рис. 1, в):W (t , t )  W1 (t , t )[E  W 2 (t , t )W1 (t , t )]1  [E  W1 (t , t )W 2 (t , t )]1 W1 (t , t ) ,pp *pp *pp *pp *pp *pp *(12)pp *где знак «плюс» – для отрицательной, а знак «минус» – для положительной обратнойсвязи; W1 (t , t ), W 2 (t , t ) – двумерные нестационарные передаточные функции первого иpp *pp *второго звеньев соответственно.X 1 (t )pW1 (t , t )X 1 (t )G (t )pW1 (t , t )pp аpX (t )W 2 (t , t )pppG (t )pp *X (t )p*pW 2 (t , t )pp *X 2 (t )p3бG (t )pX (t )E (t )ppW1 (t , t )pp *W 2 (t , t )X 2 (t )pp *pвРис.

1Действительно, для последовательного соединения с учетом связи (9) имеемX 1 (t )  W 1 (t , t ) G (t ),pX (t )  W 2 (t , t ) X 1 (t ) .ppp *ppp *pИсключая X 1 (t ) , получаем формулу (10):pX (t )  W 2 (t , t )W1 (t , t )G (t ) .pppp *pp*W (t , t )pp *Заметим, что матрицы в формуле (10) могут быть не перестановочны.Для параллельного соединения справедливо:X 1 (t )  W1 (t , t ) G (t ),ppp *pX 2 (t )  W 2 (t , t )G (t ),ppp *pX (t )  X 1 (t )  X 2 (t ).pppОтсюда следует формула (11):X (t )  W1 (t , t )  W 2 (t , t ) G (t , t ) .p pp * ppp *W (t ,t )pp *Для соединения с обратной связью имеем4X (t )  W1 (t , t ) E (t ),ppp *pE (t )  G (t )  X 2 (t ),pppX 2 (t )  W 2 (t , t ) X (t ).pppp *ТогдаX (t )  W1 (t , t ) G (t , t )  W 2 (t , t ) X (t )  W1 (t , t )G (t )  W1 (t , t )W 2 (t , t ) X (t ),pppppp *pp *pp *pp * p pp *E  W1 (t , t )W 2 (t , t ) X (t )  W1 (t , t )G (t ).p ppp *pp *pp *Отсюда следует вторая из формул (12):1X (t )  E  W1 (t , t )W 2 (t , t ) W1 (t , t ) G (t , t ) .pp pp *pp *pp *W (t ,t )pp *Получим эквивалентную формулу.

Для этого умножим уравнениеX (t )  W1 (t , t ) E (t ) слева на W 2 (t , t ) :ppp *ppp *W 2 (t , t ) X (t )  W 2 (t , t )W1 (t , t ) E (t ),ppp *pp *ppp *E (t )  G (t )  W 2 (t , t ) X (t ).ppppp *ОтсюдаE (t )  G (t )  W 2 (t , t )W1 (t , t ) E (t )pppp*ppp*и, следовательно, имеемG (t )   E  W 2 (t , t )W1 (t , t )  E (t ) .ppp*pp*pПоэтому1E (t )   E  W 2 (t , t )W1 (t , t )  G (t )ppp*pp* pи1X (t )  W1 (t , t )  E  W 2 (t , t )W1 (t , t )  G (t ) .ppp*pp*pp* pW ( t ,t )pp *Отсюда следует первая из формул (12).54.1.4. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g() ;б) система, заданная в одной из возможных форм математического описания;в) нулевые начальные условия.Требуется найти выходной сигнал x() .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИПеред решением задачи анализа задается длина t отрезка [0,t] и система базисныхфункций (здесь предлагается использовать либо систему полиномов Лежандра, либо систему нестационарных косинусоид).1.

Найти спектральную характеристику G (t ) входного сигнала g () .p2. Определить ДНПФ W (t , t ) системы одним из двух способов – по дифференциpp *альному уравнению или по структурной схеме:а) если задано дифференциальное уравнение (6), то ДНПФ определяется по формуле (4.8):W (t , t )  P (t , t )  An (t , t ) ... A0 (t , t ) P n (t , t )pp *pp *pp * pp *pp *n1mBm (t , t ) P (t , t ) ... B0 (t , t ) ,pp * pp *pp *где Ai (t , t ) , B j (t , t ) – ДНПФ усилительных звеньев ai (), b j () ; P (t , t ), P 1 (t , t ) –pp*pp *pp*pp *ДНПФ дифференцирующего и интегрирующего звеньев.Если система стационарная, т.е. a i ()  a i = const , b j ()  b j = const , имеемAi (t , t )pp * ai E , B j (t , t )  b j E , где E – единичная матрица;pp *б) если система состоит из звеньев и их соединений, то для нахождения ДНПФсистемы применяются соотношения(10)–(12).

ДНПФ элементарных звеньев берутся изтаблиц.3. Вычислить спектральную характеристику выходного сигнала по формуле (4.9):X (t )  W (t , t ) G (t ) .pp *pp4. Определить выходной сигнал по формуле обращения (5):x ()  S 1[ X (t )] p6piX (i, t ) p(i, t , ),p0    t.З а м е ч а н и е.1. При практических расчетах используются базисные системы с конечным числомфункций, т.е. { p(i, t , ), i  0,1,..., N } . Тогда бесконечные матрицы заменяются конечными соответствующих размеров. Число N называется масштабом усечения.2. Решение одной и той же задачи с применением разных базисных систем или одной базисной системы с разным масштабом усечения является одним из эффективныхспособов контроля достоверности и точности результата.4.2.

ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ4.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания случайных процессов используются спектральные характеристики их моментных функций.Первой нестационарной спектральной плотностью случайного процесса G ()называется нестационарная спектральная характеристика его математического ожидания:t1S g (i , t ) pp * (i , t , ) m g () d , i  0,1,2,...

.(13)0Второй нестационарной спектральной плотностью случайного процесса G ()называется двумерная нестационарная спектральная характеристика его ковариационнойфункции:S g (h, i , t , t ) pp *tt00 d1 p *(h, t , 1 ) p(i , t ,  2 ) R g (1 ,  2 ) d 2 , h, i  0,1,2,... .(14)Первая нестационарная спектральная плотность представляется бесконечной матрицей-столбцом, вторая – бесконечной матрицей.Математическое ожидание и ковариационная функция определяются по спектральным плотностям с помощью формул обращения:mg ()  1S g (i , t ) p(i , t , ),iR g (1 ,  2 )   S g (h, i, t , t ) p(h, t , 1 ) p * (i, t ,  2 ),hi0    t;p0  1  t , 0   2  t .(15)pp *Вторая нестационарная спектральная плотность стационарного белого шума с учетом (15) и формулы его ковариационной функции имеет видS g (t , t )  S 0 E ,(16)pp *где S 0 – интенсивность шума; E – единичная матрица.72.