Пример выполнения этапа №6 РГР (Примеры выполнения РГР (все в одном архиве))

Образец выполнения этапа №6 РГРРасчетно-графическая работапо курсу «Теория оптимизации и численные методы».Выполнил студент группы 04-206 Иванов И.И.Вариант №1Задание:Этап №6. Тема: Интерполяция иаппроксимация функций, заданныхтабличноВариант #1xf(x)112103241Задание:Для функции, заданной таблично:а) построитьинтерполяционныйполиномЛагранжа. б) интерполяционный полином Ньютона.в) Аппроксимировать функцию полиномами 1-го и2-го порядка методом наименьших квадратов.г) Сделать общий чертеж.6. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ,ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНОПример 6а).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:xy = f (x)112103241Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной функции.Решение:L 3 (x) =(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 2)(x − 4)(x −1)(x − 2)(x − 3)⋅1 +⋅10 +⋅2 +⋅1.(1− 2)(1− 3)(1− 4)(2 −1)(2 − 3)(2 − 4)(3 −1)(3 − 2)(3 − 4)(4 −1)(4 − 2)(4 − 3)L 3 (x) =x3 − 9x2 + 26x − 24x3 − 8x2 +19x −12x3 − 7x2 +14x − 8x3 − 6x2 +11x − 6+⋅10 +⋅2 +.−62−2632Раскроем скобки и приведем подобные члены: L 3 (x) = 4x − 32,5x + 78,5x − 49Проверка выполнения условия интерполяции:L 3 (1) = 4 ⋅ 13 − 32,5 ⋅ 12 + 78,5 ⋅ 1 − 49 = 1 .L 3 (2) = 4 ⋅ 23 − 32,5 ⋅ 22 + 78,5 ⋅ 2 − 49 = 10 .L 3 (3) = 4 ⋅ 33 − 32,5 ⋅ 32 + 78,5 ⋅ 3 − 49 = 2 .L 3 (4) = 4 ⋅ 43 − 32,5 ⋅ 42 + 78,5 ⋅ 4 − 49 = 1 .1Образец выполнения этапа №6 РГРПример 6б).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:11xy = f (x)2103241Построить интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции.Решение:Построим таблицу конечных разностей, пользуясь формулами:∆y0 = y1 − y 0 ,∆ 2 y0 = ∆y1 − ∆y0 ,∆3 y 0 = ∆ 2 y1 − ∆ 2 y 0 .∆y1 = y 2 − y1 ,∆y 2 = y3 − y 2 ;∆ 2 y1 = ∆y 2 − ∆y1 ;№ точкиy = f (x)∆y0123110219-8-1∆2 y-177∆3 y24Пользуясь таблицей, запишем интерполяционную формулу Ньютона:∆y0∆2 y0∆2 y0P 3 (x) = y0 +(x − x0 ) +(x − x0 )(x − x1 ) +(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) ,h ⋅ 1!h2 ⋅ 2!h3 ⋅ 3!где h = x1 − x 0 = 1 .P 3 (x) = 1 +9−1724(x − 1) +(x − 1)(x − 2) +(x − 1)(x − 2)(x − 3) ,1 ⋅ 1!12 ⋅ 2!13 ⋅ 3!P 3 (x) = 1 + 9 ⋅ (x − 1) − 8,5 ⋅ (x 2 − 3x + 2) + 4 ⋅ (x 3 − 6x 2 + 11x − 6) .32Раскроем скобки и приведем подобные члены: P 3 (x) = 4x − 32,5x + 78,5x − 49Проверка выполнения условия интерполяции:P 3 (1) = 4 ⋅ 13 − 32,5 ⋅ 12 + 78,5 ⋅ 1 − 49 = 1 .P 3 (2) = 4 ⋅ 23 − 32,5 ⋅ 22 + 78,5 ⋅ 2 − 49 = 10 .P 3 (3) = 4 ⋅ 33 − 32,5 ⋅ 32 + 78,5 ⋅ 3 − 49 = 2 .P 3 (4) = 4 ⋅ 43 − 32,5 ⋅ 42 + 78,5 ⋅ 4 − 49 = 1 .2Образец выполнения этапа №6 РГРЗамечание !Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, построенные по однойсеточной функции, совпадают!Пример 6в).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:11xy = f (x)2103241Аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядка методом наименьшихквадратов.Решение:Будем искать аппроксимирующийg 2 (x) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 .многочлен2-гопорядка(m = 2)ввиде:Неизвестные коэффициенты a 0 , a1 , a 2 определяются из системы линейных алгебраическихуравнений:s0 a 0 + s1a1 + s 2 a 2 = t 0 ,s1a 0 + s 2 a1 + s3 a 2 = t1 ,s a + s a + s a = t .2 2 0 3 1 4 2Соответственно аппроксимирующий полином 1-го порядка ( m = 1 ) будем искать в виде:g1 (x) = a1 x + a 0 .

Неизвестные коэффициенты a 0 , a1 определяются из системы линейныхалгебраических уравнений: s0 a0 + s1a1 = t0 , s1a0 + s2 a1 = t1.С целью составления систем для определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующихполиномов составим таблицу:№ точки0123Σx01111s041234s1x214916s2x3182764s3x411681256s4y11021t0y⋅x12064t1y ⋅ x21401816t21030100354143175x3Образец выполнения этапа №6 РГРЗапишем систему для определения коэффициентовпорядка:4a 0 + 10a1 + 30a 2 = 14,10a 0 + 30a1 + 100a 2 = 31,30a + 100a + 354a = 75.012аппроксимирующегополинома 2-гоНайдем решение системы по правилу Крамера:41030∆ = 10 30 100 = 80 ,30 100 3541410304∆1 = 31 30 100 = −560 ,75 100 35414304∆ 2 = 10 31 100 = 936 ,30 750 3541014∆ 3 = 10 30 31 = −200 .30 100 75Вычислим значения коэффициентов:a0 =∆∆1 −560∆936−200== −7 , a1 = 2 == −2,5 .

Тогда= 11, 7 , a 2 = 3 =∆80∆80∆80g2 (x) = −2,5x 2 + 11, 7x − 7Найдём сумму квадратов отклонений значений найденного многочлена от заданной сеточнойфункции в узлах:∆ 2 = [(−2,5 ⋅ 12 + 11,7 ⋅ 1 − 7) − 1]2 + [(−2,5 ⋅ 2 2 + 11,7 ⋅ 2 − 7) − 10]2 + [(−2,5 ⋅ 32 + 11,7 ⋅ 3 − 7) − 2]2 ++ [(−2,5 ⋅ 4 2 + 11,7 ⋅ 4 − 7) − 1]2 = (2,2 − 1) 2 + (6,4 − 10) 2 + (5,6 − 2) 2 + (−0,2 − 1) 2 = 28,8.Аналогично, запишем систему для определения4a 0 + 10a1 = 14,многочлена 1-го порядка: 10a 0 + 30a1 = 31.коэффициентоваппроксимирующегоНайдем решение системы по правилу Крамера:∆=41010 30= 20 ,∆1 =14 1031 30= 110 ,∆2 =41410 31= −16 .Вычислим значения коэффициентов:a0 =∆1 110== 5,5 ,∆20a1 =∆ 2 −16== −0,8 . Тогда∆20g1 (x) = −0,8x + 5,54Образец выполнения этапа №6 РГРНайдём сумму квадратов отклонений найденного многочлена от заданной сеточной функции:∆1 = [(−0,8 ⋅ 1 + 5,5) − 1]2 + [(−0,8 ⋅ 2 + 5,5) − 10]2 + [(−0,8 ⋅ 3 + 5,5) − 2]2 + [(−0,8 ⋅ 4 + 5,5) − 1]2 == (4,7 − 1) 2 + (3,9 − 10) 2 + (3,1 − 2) 2 + (2,3 − 1) 2 = 53,8.Заметим, что ∆ 2 < ∆1 .На рисунке 1.

представлены интерполяционные многочлены Лагранжа L 3 (x) и НьютонаP 3 (x) , а также аппроксимирующие многочлены g1 (x) и g 2 (x) .Рис. 1.5.