Пример выполнения этапа №5 РГР (Примеры выполнения РГР (все в одном архиве))

Образец выполнения этапа №5 РГРРасчетно-графическая работапо курсу «Теория оптимизации и численные методы».Выполнил студент группы 04-206 Иванов И.И.Вариант №1Задание:Этап №5. Тема: Методы решенияалгебраических уравненийВариант #1x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0Задание:а) Отделить все корни алгебраического уравнения.Сделать чертеж.Уточнить наименьший корень алгебраическогоуравнения:б) методом Ньютона (точность счета 0.01).в) методом простой итерации (точность счета0.01).г) методом дихотомии (точность счета 0.03).5. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯПример 5а).Дано: нелинейное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 .Отделить корни алгебраического уравнения.Решение:1.

Построим график функции (рис. 1). Очевидно, уравнение имеет три корня: левый, средний иправый.2. Найдем стационарные точки функции, определяемой левой частью исходного уравнения:f ′(x) = 3x 2 − 22x + 36 = 0 ⇒стx1,2=22 ± 222 − 4326⇒ x1ст = 2, 4648; x ст2 = 4,8685 .3. Вычислим значения функции в полученных точках: f (x1ст ) = 0,8794; f (x ст2 ) = −6, 0646.Рассмотрим отрезок [x1ст , x ст2 ] = [2, 4648, 4,8685] . Так как функция принимает на концахотрезка [x1ст , x ст2 ] разные знаки, а первая производная сохраняет знак (функция на отрезкеубывает), то средний корень может быть отделен на отрезке [2,5; 4, 7] ⊂ (2, 4648; 4,8685) .4. Отделим левый корень. В качестве правой границы отрезка может быть выбрана точкаb = 2,3 < 2, 4648 , а в качестве левой границы - любая точка из интервала (−∞, 2) .

Возьмемa = 1, 6 .1Образец выполнения этапа №5 РГРОтделим правый корень. В качестве левой границы отрезка выберем точку a = 4, 9 > 4,8685 , а вкачестве правой границы - любую точку из интервала (6, + ∞) . Возьмем b = 7,1 .Окончательно:• левый корень уравнения отделен на отрезке [1,6; 2,3];• средний корень уравнения отделен на отрезке [2,5; 4,7];• правый корень уравнения отделен на отрезке [4,9; 7,1].Рис. 1.2Образец выполнения этапа №5 РГРПример 5б).Дано: нелинейное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 .Уточнить наименьший (левый) корень[1, 6; 2,3] (точность счёта ε = 0, 01 ).уравнения методом Ньютона на отрезкеРешение:1.

Выберем начальное приближение корня x 0 = 1, 6 .Для проверки достаточных условий сходимости метода Ньютона из выбранной начальнойточки построим график второй производной функции, определяемой левой частью уравнения:f (x) = x 3 − 11x 2 + 36x − 36⇒f ′(x) = 3x 2 − 22x + 36 ⇒f ′′(x) = 6x − 22 .Построим на чертеже график второй производной функции f ′′(x) = 6x − 22 (рис. 1). По графикувидно, что в выбранной начальной точке условия сходимости метода Ньютона выполняются:f (1, 6) ⋅ f ′′(1, 6) > 0 .2. Производим вычисления по формулам метода Ньютона.Вычислим первое приближение корня:x1 = x 0 −f (x 0 )f ′(x 0 )= 1, 6 −1, 63 − 11 ⋅ 1, 62 + 36 ⋅ 1, 6 − 363 ⋅ 1, 62 − 22 ⋅ 1, 6 + 36= 1,89057 . Тогда∆ = x 0 − x1 = 1, 6 − 1,89057 = 0, 2906 > 0, 01 ; продолжаем вычисления.Вычислим второе приближение корня:x 2 = x1 −f (x1 )f ′(x1 )= 1,89057 −1,890573 − 11 ⋅ 1,89057 2 + 36 ⋅ 1,89057 − 363 ⋅ 1,89057 2 − 22 ⋅ 1,89057 + 36= 1, 98782 .

Тогда∆ = x1 − x 2 = 1,89057 − 1,9878 = 0, 0972 > 0, 01 ; продолжаем вычисления.Последующие итерации запишем в виде таблицы.f (x)№ итерацииx∆01,6−2,46411,8906−0,49890,290621,9878−0,04950,097231,9998−0,00070,012042,00000,00000,0002Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆ = 0, 0002 < 0, 01 .Запишем полученное решение x* ≈ 2 .Ответ: найдено приближенное решение нелинейного уравнения, достаточно близкое кточному: x* = 2 .3Образец выполнения этапа №5 РГРПример 5в).Дано: нелинейное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 .Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций на отрезке[1, 6; 2,3] (точность счёта ε = 0, 01 ).Решение:1.

Преобразуем исходное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 следующим образом:x = x + α ⋅ (x 3 − 11x 2 + 36x − 36) .Возьмем α = −0, 2 , следовательно ϕ(x) = x − 0, 2 ⋅ (x 3 − 11x 2 + 36x − 36) .Проверим условие сходимости метода простых итераций для преобразованного уравнения. Дляэтого найдем производную функции ϕ′(x) = 1 − 0, 2(3x 2 − 22x + 36) и построим ее график наотрезке [1, 6; 2,3] . Вычислим несколько точек для построения графика на отрезке [1, 6; 2,3] :x1,61,71,81,922,12,22,3ϕ ′(x)−0,696−0,454−0,224−0,0060,20,3940,5760,746На рисунке 2 представлен график функции ϕ′(x) = 1 − 0, 2(3x 2 − 22x + 36) . По графику видно,✸что условие сходимости выполнено ): ϕ′(x) < 1 на отрезке [1, 6; 2,3] .2.

Выберем начальное приближение корня на отрезке [1, 6; 2,3] : x 0 = 1, 6 .3. Производим вычисления по формулам метода простых итераций.Вычислим первое приближение корня:x 1 = ϕ ( x 0 ) = 1, 6 − 0, 2(1, 6 3 − 1 1 ⋅ 1, 6 2 + 36 ⋅ 1, 6 − 3 6) = 2, 0 92 8 . Тогда∆ = x 0 − x1 = 1, 6 − 2,0928 = 0, 4928 > 0, 01 ;✸)Если условие сходимости для функцииϕ(x) не выполняется, необходимо подобрать другой коэффициент α .4Образец выполнения этапа №5 РГРРис. 2.Вычислим второе приближение корня:x 2 = ϕ(x1 ) = 2, 0928 − 0, 2(2, 09283 − 11 ⋅ 2, 09282 + 36 ⋅ 2, 0928 − 36) = 2, 02701 .

Тогда∆ = x1 − x 2 = 2, 0928 − 2, 02701 = 0, 06579 > 0, 01 ; продолжаем вычисления.Последующие итерации запишем в виде таблицы:f (x)№ итерацииx∆01,6−2,4640012,092800,328940,4928022,027010,104420,0657932,006130,024320,0208842,001260,005040,00486Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆ = 0, 00486 < 0, 01 .Запишем полученное решение x* ≈ 2, 00126 .Ответ: найдено приближенное решение нелинейного уравнения, достаточно близкое кточному: x* = 2 .5Образец выполнения этапа №5 РГРПример 5г).Дано: нелинейное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 .Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинного деленияотрезке [1, 6; 2,3] (точность счёта ε = 0,03 ).наРешение:1.

Проверим условие сходимости метода половинного деления на отрезке [1, 6; 2,3] :f (1, 6) = −2, 464f (2,3) = 0, 777⇒ f (1, 6) ⋅ f (2,3) < 0 - значит, условие сходимости выполнено.2. Производим вычисления по формулам метода половинного деления.Итерация 1.Вычислим значения функции на концах текущего отрезка [1, 6; 2,3] :f (a) = f (1, 6) = −2, 464 ,f (b) = f (2,3) = 0, 777 .a + b 1, 6 + 2,3Найдем середину текущего отрезка c === 1,95 .22Вычислим значение функции в середине отрезка: f (c) = f (1,95) = −0, 2126 .Рассмотрим произведение f (a) ⋅ f (c) , это произведение имеет положительный знак:f (a) ⋅ f (c) > 0 , так как f (a) < 0 и f (c) < 0 , значит, новый отрезок для отыскания корня будет[c, b] = [1,95; 2,3] . Тогда∆ = 2,3 − 1, 95 = 0, 35 > 0, 03 ; продолжим вычисления.Итерация 2.Вычислим значения функции на концах текущего отрезка [1,95; 2,3]:f (a) = f (1, 95) = −0, 2126 ,f (b) = f (2,3) = 0, 777 .a + b 1,95 + 2, 3Найдем середину текущего отрезка c === 2,125 .22Вычислим значение функции в середине отрезка: f (c) = f (2,125) = 0, 4238 .Рассмотрим произведение f (a) ⋅ f (c) , это произведение имеет неположительный знак:f (a) ⋅ f (c) < 0 , так как f (a) < 0 и f (c) > 0 , значит, новый отрезок для отыскания корня будет[a, c] = [1, 95; 2,125] .

Тогда∆ = 2,125 − 1, 95 = 0,175 > 0, 03 ; продолжим вычисления.6Образец выполнения этапа №5 РГРПоследующие итерации запишем в виде таблицы:f (a)ab№ итерацииf (c)a+b∆201,62,3−2,4640,7771,95−0,212611,952,3−0,21260,7772,1250,42380,3521,952,125−0,21260,42382,03750,14300,17531,952,0375−0,21260,14301,9938−0,02520,087541,99382,0375−0,02520,14302,01560,06130,043851,99382,0156−0,02520,06132,00470,01860,0219Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆ = 0, 0219 < 0, 03 . Поэтомуf (b)c=x* ∈ [1,9938; 2, 0156] . Выберем решение x* ≈ 2, 0047 .Ответ: найдено приближенное решение нелинейного уравнения, достаточно близкое кточному: x* = 2 .7.