Пример выполнения этапа №4 РГР (Примеры выполнения РГР (все в одном архиве))

Образец выполнения этапа №4 РГРРасчетно-графическая работапо курсу «Теория оптимизации и численные методы».Выполнил студент группы 04-206 Иванов И.И.Вариант №1Задание:Вариант #12 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 +x1 − 2 x 2 − 5 x 3 += 2,= −5,5 x1 − 3 x 2 +10 x1 + 2 x 2 −= −1,= 13x3x3x4x4− 4 x4+ 2 x4Этап №4. Тема: Методы решения системлинейных алгебраических уравненийЗадание:а) Решить СЛАУ методом итераций.б) Решить СЛАУ методом Зейделя.Точность вычислений 0.014. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙПример 4а).Дано:2 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 + x 4 = 2,x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5,5 x1 − 3 x 2 + x 3 − 4 x 4 = −1,10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13.Найти решение системы методом простых итераций (точность счёта ε = 0, 01 ).Решение:1. Проверим условие сходимости для заданной системы:2 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 + x 4 = 2→ | 2 | < | 3 | + | −4 | + | 1 |,→ | −2 | < | 1 | + | −5 | + | 1 |,→ | 1 | < | 5 | + | −3 | + | −4 |,→ | 2 | < | 10 | + | 2 | + | −1 |.x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −55 x1 − 3 x 2 + x 3 − 4 x 4 = −110 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13Очевидно, условие сходимости не выполнено ни для одного из уравнений системы,следовательно, необходимо преобразовать исходную систему к виду, при которомдиагональные коэффициенты преобладают.Преобразуем исходную систему.Обозначим уравнения системы латинскими буквами A, B, C, D.

Найдем в левой части каждогоуравнения максимальный по модулю коэффициент.2 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 +x1 − 2 x 2 − 5 x 35 x1 − 3 x 2 + x 310 x1 + 2 x 2 − x 3x4 =+ x4 =− 4 x4 =+ 2 x4 =2A−5B−1C13D.1Образец выполнения этапа №4 РГРВ уравнениях B и D выделенные коэффициенты по модулю больше суммы всех остальных,переставим соответствующие уравнения так, чтобы эти коэффициенты стали диагональными:10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13---------------------------x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5----------------------------DBДля остальных уравнений применим линейные преобразования:10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13Dx1 + 5 x 2 + x 3= 7A-Bx1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5B3 x1− 9 x 4 = −62A−B+2C−D.Проверим условие сходимости итерационных методов для полученной системы:10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13→ | 10 | > | 2 | + | −1 | + | 2 |,x1 + 5 x 2 + x 3= 7→ | 5 | > | 1 | + | 1 | + | 0 |,x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5→ | −5 | > | 1 | + | −2 | + | 1 |,3 x1− 9 x 4 = −6Условие сходимости выполнено.→ | −9 | > | 3 | + | 0 | + | 0 |.2.

Запишем систему, эквивалентную полученной. Для этого из первого уравнения системывыразим переменную x1 , из второго - x2 и т.д.13111− x2 +x3 − x4105105711x 2 = − x1 − x 3555121x 3 = 1 + x1 − x 2 + x 455521x 4 = + x133x1 =βαX3. Выберем в качестве начального приближения следующие значения переменных:13107x 02 =50x3 = 12x 04 =3x 10 =2Образец выполнения этапа №4 РГР4. Производим вычисления по формулам метода простых итераций:Итерация 1.Запишем формулы для вычисления первого приближения решения:1311 01x 11 =− x 02 +x 3 − x 04 ,105105711x 12 = − x 10 − x 30 ,555121x 13 = 1 + x 10 − x 02 + x 04 ,55521x14 = + x10 .33Вычислим первое приближение:131 711 2x11 =− ⋅ +⋅ 1 − ⋅ = 0, 987 ,105 5105 371131x 12 = − ⋅− ⋅ 1 = 0,940 ,55 1051 132 71 2x13 = 1 + ⋅− ⋅ + ⋅ = 0,833 ,5 105 55 321 13x14 = + ⋅= 1,100 .33 10Вычислим∆X = max x i0 − x 1i :ix 10 − x 11 = | 1,3 - 0,987 | = 0,313,x 02 − x12 = | 1,4 - 0,940 | = 0,460, ⇒∆X = 0,46 > 0,01 ; продолжаем вычисления.x 30 − x13 = | 1,0 - 0,833 | = 0,167,x 04 − x14 = | 0,667 - 1,1 | = 0,433Итерация 2.Запишем формулы для вычисления второго приближения решения:1311 11x 12 =− x 12 +x 3 − x 14 ,105105711x 22 = − x 11 − x 13 ,555121x 32 = 1 + x 11 − x 12 + x 14 ,55521x 24 = + x11 .33Вычислим второе приближение:3Образец выполнения этапа №4 РГР13111− ⋅ 0,940 +⋅ 0,833 − ⋅ 1,100 = 0,975 ,105105711x 22 = − ⋅ 0,987 − ⋅ 0,833 = 1,036 ,555121x 32 = 1 + ⋅ 0,987 − ,0.940 + ⋅ 1,100 = 1,041 ,55521x 24 = + ⋅ 0,987 = 0, 996 .33x 12 =Вычислим∆X = max x 1i − x i2 :ix11− x12= | 0,987 - 0,975 | = 0,012,x12 − x 22 = | 0,940 - 1,036 | = 0,096 , ⇒∆X = 0,208 > 0,01 ; продолжаем вычисления.x13 − x 32 = | 0,833 - 1,041 | = 0,208,x14 − x 24 = | 1,100 - 0,996 | = 0,104Последующие итерации запишем в виде таблицы.№ итерацииx1x2x301,3001,4001,00010,9870,9400,83320,9751,0361,04130,9980,9970,97841,0001,0040,99950,9991,0000,998Вычисления закончены, так как ∆X = 0,004 < ε = 0,01 .x40,6671,1000,9960,9920,9991,000∆X0,4600,2080,0630,0210,004Запишем полученное решение:x1* = 0, 999 ≈ 1,x*2 = 1,x*3 = 0,998 ≈ 1,x*4 = 1.Ответ: найдено приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений,достаточно близкое к точному: x 1* = 1, x *2 = 1, x *3 = 1, x *4 = 1 .4Образец выполнения этапа №4 РГРПример 4б).Дано:2 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 +x 4 = 2,x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5,5 x1 − 3 x 2 + x 3 − 4 x 4 = −1,10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13.Найти решение системы методом Зейделя (точность счёта ε = 0, 01 ).Решение:Первые 3 пункта алгоритма метода аналогичны методу простых итераций, поэтому используемте же подготовленные расчётные формулы и то же начальное приближение:13107x 02 =50x3 = 12x 04 =3x 10 =4.

Производим вычисления по формулам метода Зейделя:Итерация 1.Запишем формулы для вычисления первого приближения решения:1311 01x 11 =− x 02 +x 3 − x 04 ,105105711x 12 =− x 11 − x 30 ,555121x 13 = 1 + x 11 − x 12 + x 04 ,55521x14 = + x11 .33Вычислим первое приближение:131 711 2x11 =− ⋅ +⋅ 1 − ⋅ = 0, 987 ,105 5105 3711x 12 = − ⋅ 0,987 − ⋅ 1 = 1,003 ,555121 2x13 = 1 + ⋅ 0,987 − ⋅ 1, 003 + ⋅ = 0,930 ,555 311x 14 = + ⋅ 0,987 = 0,996 .63Вычислим∆X = max x i0 − x 1i :i5Образец выполнения этапа №4 РГРx10 − x11 = | 1,3 - 0,987 | = 0,313,x 02 − x12 = | 1,4 - 1,003 | = 0,397 , ⇒∆X = 0,397 > 0,01 ; продолжаем вычисления.x 30 − x13 = | 1,0 - 0,930 | = 0,070,x 04 − x14 = | 0,667 - 0,996 | = 0,329Итерация 2.Запишем формулы для вычисления второго приближения решения:1311 11x 12 =− x 12 +x 3 − x 14 ,105105711x 22 = − x 12 − x 13 ,555121x 32 = 1 + x 12 − x 22 + x 14 ,55521x 24 = + x12 .33Вычислим второе приближение:13111x 12 =− ⋅ 1,003 +⋅ 0,930 − ⋅ 0,996 = 0,993 ,105105711x 22 = − ⋅ 0,993 − ⋅ 0,930 = 1,015 ,555121x 32 = 1 + ⋅ 0,993 − ⋅ 1,003 + ⋅ 0,996 = 0,992 ,55521x 24 = + ⋅ 0,993 = 0,998 .33∆X = max x 1i − x i2 :Вычислимix11− x12= | 0,987 - 0,993 | = 0,006,x12 − x 22 = | 1,003 - 1,015 | = 0,012 , ⇒∆X = 0,062 > 0,01 ; продолжаем вычисления.x13 − x 32 = | 0,930 - 0,992 | = 0,062,x14 − x 24 = | 0,996 - 0,998 | = 0,002Последующие итерации запишем в виде таблицы.№ итерацииx1x2012341,3000,9870,9930,9970,9991,4001,0031,0151,0021,000x4x31,0000,9300,9920,9980,999∆X0,6670,9960,9980,9980,9990,3970,0620,0130,0026Образец выполнения этапа №4 РГРВычисления закончены, так как ∆X = 0,002 < ε = 0,01 .Запишем полученное решение:x1* = 0, 999 ≈ 1,x*3 = 1,x*3 = 0.999 ≈ 1,x*4 = 0,999 ≈ 1.Ответ: найдено приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений,достаточно близкое к точному: x 1* = 1, x *2 = 1, x *3 = 1, x *4 = 1 .7.