RulTO-6 (Правила выполнения РГР для заочников)

Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.1Этап №6Тема: Интерполяция и аппроксимация функций заданных табличноДано:xy = f (x )112103241а) Построить интерполяционный полином Лагранжа для заданной функцииДля заданной табличной функции:xy = f (x )x0y0x1y1x2y2……x n −1y n −1xnynполином Лагранжа L n ( x ) записывается следующим образом:n( x − x 0 )( x − x 1 )...( x − x i−1 )( x − x i+1 )...( x − x n )yi−−−−−(xx)(xx)...(xx)(xx)...(xx)i =0i0i1ii −1ii +1inL n (x) = ∑Решение:(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 2)(x − 4)⋅2 +⋅1 +⋅10 +(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(2 −1)(2 − 3)(2 − 4)(3 −1)(3 − 2)(3 − 4)(x −1)(x − 2)(x − 3)+⋅1(4 −1)(4 − 2)(4 − 3)L(x) =Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:x3 − 9x 2 + 26x − 24 x3 − 8x 2 +19x −12x3 − 7x 2 +14x − 8+⋅10 +⋅2 +−62−2x3 − 6x 2 +11x − 6+6L(x) =L(x) = 4x 3 − 32.5x 2 + 78.5x − 49Проверка:L(1) = 4 ⋅13 − 32.5 ⋅12 + 78.5 ⋅1 − 49 = 1L(2) = 4 ⋅ 23 − 32.5 ⋅ 2 2 + 78.5 ⋅ 2 − 49 = 10L(3) = 4 ⋅ 33 − 32.5 ⋅ 32 + 78.5 ⋅ 3 − 49 = 2L(4) = 4 ⋅ 43 − 32.5 ⋅ 4 2 + 78.5 ⋅ 4 − 49 = 1Пример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.2б) Построить интерполяционную формулу НьютонаДлязаданнойтабличнойфункциисравноотстоящимиузламиинтерполяцииx 0 , x 1 , x 2 ...., x n :x0y0xy = f (x )x1y1……x2y2x n −1y n −1xnynполином Ньютона Pn ( x ) записывается следующим образом:∆y 0∆2 y 0∆3 y 0Pn ( x ) = y 0 +(x − x 0 ) +( x − x 0 )( x − x 1 ) +( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 ) +........h2!h 23!h 3......+∆n y 0n!h n( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 )....( x − x n −1 )2322где h = x 1 − x 0 - шаг по сетке, а ∆y 0 = y1 − y 0 , ∆ y 0 = ∆y1 − ∆y 0 , ∆ y 0 = ∆ y1 − ∆ y 0и.т.д. – конечные разности, соответствующих порядков.Решение:Построим таблицу конечных разностей, пользуясь формулами:∆y 0 = y1 − y 0∆2 y 0 = ∆y1 − ∆y 0∆y1 = y 2 − y1∆y 2 = y 3 − y 2∆2 y1 = ∆y 2 − ∆y1№точки0123y = f (x )∆y∆2 y∆3 y110219-8-1-17724∆3 y 0 = ∆2 y1 − ∆2 y 0Пользуясь таблицей, запишем интерполяционную формулу Ньютона:∆y 0∆2 y 0∆2 y 0P(x) = 0+(x − x 0 ) + 2 (x − x 0 )(x − x1 ) + 3 (x − x 0 )(x − x1 )(x − x 2 ) ,h ⋅ 1!h ⋅ 0!h ⋅ 2!h ⋅ 3!y0гдеh = x1 − x 0 = 1P(x) =19− 1724+(x − 1) + 2 (x − 1)(x − 2) + 3 (x − 1)(x − 2)(x − 3)1 ⋅ 0! 1 ⋅ 1!1 ⋅ 2!1 ⋅ 3!0Пример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.3Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:P( x ) = 1 + 9( x − 1) − 8.5( x 2 − 3x + 2) + 4( x 3 − 6 x 2 + 11x − 6)P(x) = 4x 3 − 32.5x 2 + 78.5x − 49Проверка:P(1) = 4 ⋅13 − 32.5 ⋅12 + 78.5 ⋅1 − 49 = 1P(2) = 4 ⋅ 23 − 32.5 ⋅ 22 + 78.5 ⋅ 2 − 49 = 10P(3) = 4 ⋅ 33 − 32.5 ⋅ 32 + 78.5 ⋅ 3 − 49 = 2P(4) = 4 ⋅ 43 − 32.5 ⋅ 42 + 78.5 ⋅ 4 − 49 = 1Внимание !В случае равноотстоящих узлов интерполяции интерполяционные полиномыЛагранжа и Ньютона совпадают!Пример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.4в) Аппроксимировать функцию полиномами 1-го и 2-го порядка по методунаименьших квадратовБудем искать аппроксимирующий полином 2-го порядка в виде:g 2 (x ) = a 2 x 2 + a1x + a 0Неизвестные коэффициентыалгебраических уравнений:a 0 , a1 , a 2определяютсяизсистемылинейныхs 0 a 0 + s1a 1 + s 2 a 2 = t 0s1a 0 + s 2 a 1 + s 3a 2 = t 1s a + s a + s a = t2 2 0 3 1 4 2Соответственно аппроксимирующий полином 1-го порядка будем искать в виде:g1 ( x ) = a 1 x + a 0Неизвестные коэффициенты a 0 , a 1 определяются из системы линейных алгебраическихуравнений:s 0 a 0 + s1a 1 = t 0s1a 0 + s 2 a 1 = t 1Параметры системы определяются формулами:s 0 = x 00 + x 10 + x 02 + x 30s1 = x 10 + x 11 + x 12 + x 13s 2 = x 02 + x 12 + x 22 + x 32s 3 = x 30 + x 13 + x 32 + x 33s 4 = x 04 + x 14 + x 42 + x 34t 0 = y 0 + y1 + y 2 ⋅ + y 3t 1 = y 0 ⋅ x 0 + y1 ⋅ x 1 + y 2 ⋅ x 2 + y 3 ⋅ x 3t 2 = y 0 ⋅ x 02 + y1 ⋅ x 12 + y 2 ⋅ x 22 + y 3 ⋅ x 32Решение:Длясоставлениясистемдляопределенияаппроксимирующих полиномов составим таблицу:неизвестныхкоэффициентов№точкиx0x1x2x3x4yy⋅xy ⋅ x2012311111234149161827641168125611021120641401816s0s1s2s3s4t0t1t241030100354143175ΣПример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.5Запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома 2-гопорядка:4a 0 + 10a 1 + 20a 2 = 1410a 0 + 30a 1 + 100a 2 = 3130a + 100a + 354a = 75012Найдем решение системы по правилу Крамера:41030∆ = 1030100 = 80 ,30 100 354141030∆1 = 3130100 = −560 ,41430∆ 2 = 1031100 = 936 ,75 100 35441014∆ 3 = 103031 = −20030 750 35430 100 75Тогда запишем значения коэффициентов:a0 =∆∆1 − 560∆936− 200== −7 , a 1 = 2 == 11.7 , a 2 = 3 == −2.5∆80∆80∆80g 2 (x) = −2.5x 2 + 11.7x − 7Найдём сумму квадратов отклонений найденного полинома от заданной табличнойфункции:S2 = [(−2.5 ⋅12 + 11.7 ⋅1 − 7) − 1]2 + [(−2.5 ⋅ 22 + 11.7 ⋅ 2 − 7) − 10]2 + [(−2.5 ⋅ 32 + 11.7 ⋅ 3 − 7) − 2]2 ++ [(−2.5 ⋅ 4 2 + 11.7 ⋅ 4 − 7) − 1]2 = (2.2 − 1) 2 + (6.4 − 10) 2 + (5.6 − 2) 2 + (−0.2 − 1) 2 = 28.8Аналогично, запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующегополинома 1-го порядка:4a 0 + 10a 1 = 1410a 0 + 30a 1 = 31Найдем решение системы по правилу Крамера:∆=41010 30= 20 ,∆1 =14 1031 30= 110 ,∆2 =41410 31= −16 ,Пример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.6Тогда запишем значения коэффициентов:a0 =∆1 110∆− 16== 5.5 , a 1 = 2 == −0.8∆20∆20g1 (x) = −0.8x + 5.5Найдём сумму квадратов отклонений найденного полинома от заданной табличнойфункции:S1 = [(−0.8 ⋅1 + 5.5) − 1]2 + [(−0.8 ⋅ 2 + 5.5) − 10]2 + [(−0.8 ⋅ 3 + 5.5) − 2]2 + [(−0.8 ⋅ 4 + 5.5) − 1]2 == (4.7 − 1) 2 + (3.9 − 10) 2 + (3.1 − 2) 2 + (2.3 − 1) 2 = 53.8На чертеже представлены интерполяционные полиномы Лагранжа L( x ) и Ньютона P( x ) ,а также аппроксимирующие полиномы g1 ( x ) и g 2 ( x ) .Пример выполнения этапа №6, 2010 г..