bilety_iidu (Теория)

Билет11.Определенный интеграл с переменным верхним пределомЕсли функция () интегрируема на отрезке [; ], то для любого , ≤ ≤ , существует интеграл() = ∫ () , (∗) который называется интегралом с переменным верхним пределом.Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределомПусть функция () интегрируема на отрезке [; ] и непрерывна в некоторой точке этого отрезка. Тогдафункция (∗) дифференцируема в точке , и ′ () = ().ДоказательствоДостаточно доказать, что lim (|(+Δ)−()ΔΔ→0(+Δ)−()|1ΔΔx+Δ(∫− ()) = 0. (∗∗)1x+Δ− ()| = |Δ (∫+Δ() − ∫+Δ1(() − ()) )| ≤ Δ ⋅ |∫() )| =|Δ|Δ2если |Δ| < . Это означает справедливость (∗∗). Теорема доказана.Формула Ньютона-ЛейбницаЕсли функция () непрерывна на отрезке [; ], и Φ() — какая-либо первообразная этой функции науказанном отрезке, то ∫ () = Φ() − Φ().ДоказательствоОдной из первообразных функции () является () = ∫ () ; Φ() − ∫ () = .∫ () Подставим сюда = и получим, что = Φ().

Поэтому= Φ() − Φ().При = получаем требуемую формулу. Теорема доказана.2. (, , ′ ) = , - независимая переменная, () - неизвестная функции. Уравнение первого порядказаписывается так:y’=f(x,y)Интегральная кривая - график решения геометрически неопределённого интеграла, представляющего собойсемейство «параллельных» кривых y = F(x)+ C. График каждой кривой и называется интегральной кривой.Общее решение уравнения - такое соотношение Ф(, , 1, 2, … , ), что любое решение =(, 1, 2, … , ) относительно - частное решение уравнения;Частное решение - любая n раз дифференцируемая функция = (),обращающая уравнение на этоминтервале в тождество.Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. В окрестности т-ки нарушается сущ.

иединственность решения задачи Коши → точку (0 ; 0 ) называют особой точкой дифференциальногоуравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность - особое решение.Билет2Теорема об интегрировании заменой переменнойПусть функция дифференцируема на промежутке 1 и взаимно однозначно отображает его на промежуток 2,причем ′() ≠ 0 для ∀ ∈ 1. Пусть, далее, функция определена на 2. Тогда, если на промежутке 1∫ (())′ () = () + , то на промежутке 2 ∫ () = ( −1 ()) + , где −1 () – функция,обратная к функции ().Доказательство′1Из условия теоремы следует, что функция −1 () дифференцируема, и (−1 ()) =−1 ()).′(′((−1 ())) = ′(−1 ()) ⋅ (−1 ())′ =(( −1 ()))⋅( −1 ()) ′ (−1 ())= ()Теорема об интегрировании по частямПусть функции и дифференцируемы на промежутке , и функция ′ ⋅ имеет на этом промежуткепервообразную.

Тогда ∫ ′ = − ∫ ′ .Доказательство ( ⋅ )′ = ′ + ′ . ∫ ′ = ∫(( ⋅ )′ − ′ ) = − ∫ ′ .2.Пусть правая часть уравнения [] = () с постоянными коэффициентами имеет вид () = () . Вчастности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа являетсяфункция () = (() cos + ( )sin ) у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы.

Справедливследующий результат.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью данногоспециального вида имеет частное решение () = (() cos + ( )sin ), где k - кратность корняα+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) - полиномы,подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).Билет3Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат (ось вращения ).

= 2 ∫ ()√1 + ( ′ ())2 .ДоказательствоПусть кривая , имеющая уравнение = (), вращается вокруг оси . Разобьем на части и впишем внее ломаную так, как это было сделано при изучении длины дуги кривой. = (1 + 2 ) , где 1 , 2 – радиусыоснований конуса, – длина его образующей.Так же, как при выводе формулы длины дуги в декартовых координатах, можно получить, что =√1 − ′( )2 ∆ . Тогда = 2( )√1 − ′( ).Площадь поверхности вращения = ∑=1 2( )√1 − ′( ) ; = 2 ∫ () √1 − ( ′( ) )2 .2. (, , ′ ) = , - независимая переменная, () - неизвестная функции.

Уравнение первого порядказаписывается так: ’ = (, ).Интегральная кривая - график решения геометрически неопределённого интеграла, представляющего собойсемейство «параллельных» кривых = () + . График каждой кривой и называется интегральной кривой.Частное решение - любая раз дифференцируемая функция = (), удовлетворяющая этому уравнению, т.е.обращающая уравнение на этом интервале в тождество.Теорема Коши. (, ) в области непрерывна и имеет непрерывную частную производную ′ (, )→ длялюбой точки (0 ; 0 ) ∈ в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи∫ () −11πρ²(ξᵢ)→∞21−1ПримерПусть =01∫−1 3√( 2 −1)=∫ ()и разбиением явл. = −1 < 0 < 1 = 1∫−1 + ∫0 , оба последних инт. сходятся => () =2.

Определение. Линейно независимые и зависимые системы функцийДва решения уравнения 1 и у2 называются линейно независимыми на отрезке [а, ], если ихотношение на этом отрезке не является постоянным, т. е. если 2 ≠ 1В противном случае решения называются линейно зависимыми.Пример .Пусть имеем уравнение у"—у~0. Легко проверить, что функции ех, е-х, Зех, 5е-х являются решениямиэтого уравнения. При этом функции ех и е-х линейно независимы на любом отрезке, так как ихотношение ех / е-х = е2х не остается постоянным при изменении х. Функции же ех и Зех линейнозависимы, так как Зех / ех = const.Определение. Вронскиан1 2Если y1 и y2 являются функциями от x, то определитель (1, 2 ) = | ′ ′ | = 1 2′ − 2 1′12Называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.Теорема (О вронскиане линейно зависимых функций)Если функции y1 и у2 линейно зависимы на отрезке [а, b] то определитель Вронского на этом отрезкетождественно равен нулю.ДоказательствоЕсли по свойству зависимости, 2 = 1, где = , то2′ = 1′ и :1 21 1 1| = | ′ ′ | = 0(1 , 2) = | ′ ′ | = | 1′1 1′1211Билет6ОпределениеСовокупность всех первообразных функции f (x) (на некотором промежутке) называетсянеопределенным интегралом и обозначается ∫ () , при этом символ ∫ называется интегралом, ()подынтегральной функцией, () подынтегральным выражением, – переменнойинтегрирования.Свойства1.

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциалнеопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:(∫ () )′ = (); (∫ () )′ = (() + )′ = ′ () + ′ = (); ∫ () = () . ∫ () = (∫ () )′ = () .2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции ипроизвольной постоянной:∫ ′() = () + . (() + )′ = ′ ().3. Постоянный множитель, отличный от нуля, можно вынести за знак неопределенного интеграла:( ∫ () )′ = (∫ () )′ = ().∫ () = ∫ () , ≠ 0.4. Неопределенный интеграл от суммы двух (или большего числа) функций равен сумменеопределенных интегралов от слагаемых:∫(() + ()) = ∫ () + ∫ () .

(∫ () + ∫ () )′ = () + ().5. Свойство линейности: ∫(() + ()) = ∫ () + ∫ () .2. Определение. Вронскиан1 2Если y1 и y2 являются функциями от x, то определитель (1, 2 ) = | ′ ′ | = 1 2′ − 2 1′12Называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.Теорема (О вронскиане линейно НЕзависимых функций)Если решения у1г и у2 уравнения C) линейно независимы на отрезке [а, b], то определитель ВронскогоW, составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.ДоказательствоДопустим, что (1 , 2 ) = 0 в некоторой точке отрезка [а, b].

Тогда по теореме о линейно зависимыхфункциях, определитель Вронского будет равен нулю во всех точках отрезка [а, b] (1 , 2 ) = 0 или12′ − 21′ = 0.Допустим, что 1 ≠ 0 на отрезке [а, Ь]. Тогда на основании последнего равенство можно написать1 2′ −2 1′y21′12. Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами ′ = ∑=1 , = 1, … , .В матричной форме это система запишется так: ′ = (2)11 12 …122 …2………………) = (… ) , = ( 211 2 …Характеристическим уравнением системы11 − 12 … 12 | = 0′ = ∑=1 , = 1, … , . называется уравнение | …21… …11…−……………1 2 … − Если корни характеристического уравнения вещественны и различны, то нетрудно построитьфундаментальную систему решений системы ′ = ∑=1 , = 1, … , .В самом деле ,обозначив эти корни 1 … и для каждого корня найдем отвечающий емусобственный вектор:11… ) , … , 1=(1… ).1= = = ∫ () .ДоказательствоРазобьем отрезок [, ] на частей и в каждой полученной точке проведем плоскость,перпендикулярную оси .