17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (Лекции по теории оптимизации и численным методам)

Лекция 17(3).3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМС КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых вектор-функций x(t )  (x1(t ),...,xn (t ))T ,удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [t 0 ,T ] ,где t 0 ,T заданы, т.е. x i (t )  C 1 ([t 0 ,T ]), i  1,..., n ;б) функции x i (t ) удовлетворяют граничным условиям:x i (t 0 )  x i 0 , x i (T )  x iT ,i  1,..., n ,(1)где x i 0 , x iT , i  1,..., n , заданы, т.е.

каждая из кривых x i (t ) проходит через две закрепленные граничные точки;в) функции x i (t ) при всех t  [t 0 ,T ] удовлетворяют конечным связям: j (t , x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m,m  n,(2)где функции  j (t , x1 ,..., x n ), j  1,..., m, непрерывно дифференцируемы по всем переменным.Предполагается, что уравнения (2) независимы, т.е.  1  x1rang  ...  m  x1 1 xn...... m... xn...  m,а также связи (2) согласованы с граничными условиями (1).Последнее означает, что граничные точки должны удовлетворять уравнениям (2)при t  t 0 и t  T .На множестве M задан функционалTI [ x1 (t ),..., x n (t )] F (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt ,(3)t01где функция F (t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых вектор-функций x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найти вектор-функцию x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , на которой функционал (3) достигает экстремума, т.е.*T*I [ x1 (t ),..., x n (t )]  extrx (t ) MF (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt .(*)t0Поставленная задача относится к задачам поиска условного экстремума функционалов, так как кроме граничных условий на искомые функции наложены дополнительныеусловия, в данном случае конечные.

В третьей главе рассматриваются еще задачи с интегральными и дифференциальными условиями (связями).НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 1 (необходимые условия экстремума в задаче (*)).Если на вектор-функциии x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , где x i * (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиям (1) и конечным связям (2), функционал (3) достигаетэкстремума, то функции x1* (t ),..., x n * (t ) удовлетворяют системе уравнений ЭйлераdF x*i  F x*  0 , i  1,..., n ,dt iсоставленной для функционалаI * [ x1 (t ),..., x n (t )] TF * (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt t0Tt0F (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) Здесь F * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) mmj 1  j (t )   j (t, x1 (t ),..., x n (t )) dt .  j (t )   j (t, x )называется функцией Лагранжа,j 1а функции  j (t ), j  1,..., m , – множителями Лагранжа.В общем случае используется обобщенная функция ЛагранжаF * (t , x, x  )   0 (t )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x ) .j 1При этом рассматриваются два случая:  0 (t )  0 и  0 (t ) $ 0 .

Такая методика аналогичнаприменяемой при условной минимизации функций.2АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (*)1. Составить функцию ЛагранжаF * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x ) ,j 1где функции  j (t ), j  1,..., m , – множители Лагранжа.2. Записать систему уравнений Эйлера и условия связи:F x*i d *F   0,dt xii  1,..., n , j (t , x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m .3.

Найти общее решение системыx i (t )  x i (t ,C1 ,...,C 2n ),i  1,..., n ,и выражения для множителей Лагранжа  1(t ),...,  m (t ) .4. Определить постоянные C1 ,...,C 2n из граничных условий:x i (t 0 ,C1 ,...,C 2n )  x i 0 ,i  1,..., n ,x i (T ,C1 ,...,C 2n )  x iT ,i  1,..., n ,и выписать выражение для экстремали x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T .Пример. Найти экстремаль функционалаI [ x1 (t ), x 2 (t )] 2 [ x12(t )  x 2 2 (t )  x1 2 (t )  x 2 2 (t ) ] dt ,0удовлетворяющую граничным условиям:x1 (0)  1, x 2 (0)  1, x1    1, x 2    122и уравнению связи x1  x 2  2 cos t  0 . 1.

Составим функцию Лагранжа. Так какF  x1 2  x 2 2  x1 2  x 2 2 ,1 (t , x )  x1  x 2  2 cos t ,m  1,то3F *  F  1 (t )  1 (t , x )  x1 2  x 2 2  x1 2  x 2 2  1 (t )  [ x1  x 2  2 cos t ] .2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так какF x*1  2 x1  1 (t ),F x*  2 x1 ,d *F   2 x1 ,dt x1F x*2  2 x 2  1 (t ),F x*  2 x 2 ,d *F   2 x 2 ,dt x212то справедливы следующие соотношения:F x*1 d *F   2 x1  1 (t )  2 x1  0 ,dt x1F x*2 d *F   2 x 2  1 (t )  2 x 2  0 ,dt x2x1  x 2  2 cos t  0 .3. Найдем общее решение системы.Складывая первые два уравнения системы, получаем2( x1  x 2)  2( x1  x 2 )  0или, вводя обозначение x1  x 2  y, имеемy   y  0 .Так как характеристическое уравнение 2  1  0 имеет корни 1,2   i , тоy (t )  C1 cos t  C 2 sin t  x1  x 2 .С другой стороны, из третьего уравнения системы следует 2 cos t  x1  x 2 .

Скла2 x1  C1 cos t  C 2 sin t  2 cos t илидывая два последних уравнения, получаемCCx1 (t )  1 cos t  2 sin t  cos t .22Тогдаx 2 (t )  x1 (t )  2 cos t ,1 (t )  2 x 2 (t )  2 x 2(t ) .4. Определим произвольные постоянные из граничных условий:4x1 (0) C121  1, Cx1    2  1 .22Отсюда C1  0, C 2  2 и x1* (t )  sin t  cos t , x 2 * (t )  x1* (t )  2 cos t  sin t  cos t ,1 (t )  2 sin t  2 cos t  2 sin t  2 cos t  0 .Заметим, что граничные условия и уравнения связи в задаче, очевидно, согласованы, так как x1 (0)  x 2 (0)  2 cos 0  0, x1    x 2    2 cos  0 .222Этот факт следует проверять перед решением задачи.Таким образом, в задаче найдена экстремаль x * (t )  ( x1* (t ), x 2 * (t ))T :x1* (t )  sin t  cos t ,x 2 * (t )  sin t  cos t .3.2.

ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых вектор-функций x (t )   (x1 (t ),...,x n (t ))T ,удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [t 0 ,T ] ,где t 0 ,T заданы, т.е. x i (t )  C 1 ([t 0 ,T ]), i  1,..., n;б) функции x i (t ) удовлетворяют граничным условиямx i (t 0 )  x i 0 ,x i (T )  x iT , i  1,..., n ,(1)где x i 0 , x iT , i  1,..., n , заданы, т.е. каждая из кривых проходит через две закрепленныеграничные точки;в) функции x i (t ) при всех t  [t 0 ,T ] удовлетворяют дифференциальным связям j (t ,x1 (t ),..., x n (t ),x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m,m  n,(2)где функции  j (t , x1 ,...,x n ,x1 ,...,x n ), j  1,..., m , непрерывно дифференцируемы по всемпеременным.Предполагается, что уравнения (2) независимы, т.е.5 1   1... x n   x1rang  :::   m.  m m ...  x1 x n На множестве M задан функционалTI [ x1 (t ),...,x n (t )] F (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt ,(3)t0где функция F (t ,x1 ,...,x n ,x1 ,...,x n ) имеет непрерывные частные производные до второгопорядка включительно по всем переменным.Среди допустимых вектор-функций x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найти вектор-функцию x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , на которой функционал (3) достигает экстремума, т.е.*T*I [ x1 (t ),...,x n (t )]  extrx (t ) MF (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt ,(**)t0Поставленная задача называется задачей Лагранжа.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 2 (необходимые условия экстремума в задаче (**)).Если на вектор-функции x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , где x i * (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиям (1) и дифференциальным связям (2), функционал (3)достигает экстремума, то функции x1* (t ),..., x n * (t ) удовлетворяют системе уравненийЭйлераF x*i d *F   0,dt xii  1,..., n ,составленной для функционала*TI [ x1 (t ),..., x n (t )] F * (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt t0T[ F (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) t0Здесь F * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) ] dt .j 1m  j (t )   j (t, x, x  )называется функцией Лагранжа, аj 1 j (t ), j  1,..., m, – множителями Лагранжа.В общем случае применяется обобщенная функция Лагранжа.6АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (**)1.

Составить функцию ЛагранжаF * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x, x  ),j 1где  j (t ), j  1,..., m , – множители Лагранжа.2. Записать систему уравнений Эйлера и уравнения связи:F x*i d *F   0,dt xii  1,..., n , j (t , x1 (t ),..., x n (t ),x1 (t ),..., x n (t ))  0, j  1,..., m .3. Найти общее решение системы x i  x i (t ,C1 ,...,C 2n ), i  1,..., n и выражения длямножителей Лагранжа 1 (t ),...,  m (t ).4. Определить постоянные C1 ,...,C 2n из граничных условий:x i (t 0 ,C1 ,...,C 2n )  x i 0 , i  1,..., n,x i (T ,C1 ,...,C 2n )  x iT , i  1,..., n,и выписать выражение для экстремали x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T .Пример. Найти экстремаль функционала1I [ x1 (t ), x 2 (t )]  [ x12(t )  x 2 2 (t ) ] dt ,0удовлетворяющую граничным условиям:x1 (0)  2, x 2 (0)  0, x1 (1)  2 ch1, x 2 (1)  2 sh1и дифференциальной связи x1  x 2  0 . 1.

Составим функцию Лагранжа. Так как1 (t , x, x  )  x1  x 2 ,F (t , x, x  )  x1 2  x 2 2 ,m  1,тоF * (t , x, x  )  x1 2  x 2 2  1 (t )  [ x1  x 2 ] .2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так какF x*1  0,F x*  2 x1  1 (t ),1F x*2   1 (t ),F x*  2 x 2 ,2d *F   2 x1  1 (t ) ,dt x1d *F   2 x 2 ,dt x27тоF x*1 d *F    2 x1  1 (t )  0 ,dt x1F x*2 d *F    1 (t )  2 x 2  0 ,dt x2x1  x 2  0 .3.