16 Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с подвижными концами (Лекции по теории оптимизации и численным методам)

Лекция 16(2).2.2. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХС ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИT2.2.1. ФункционалыF (t , x (t ), x (t ))dt , зависящие от одной функции.t0Случай гладких экстремалейПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям (см. рис.1):а) функции x (t ) непрерывно дифференцируемые, т.е. x (t ) C 1 () , где  – некоторый конечный отрезок, внутренними точками которого являются значения t 0 и T ,которые заранее не заданы;б) значения t 0 , x 0  x (t 0 ) и T , xT  x (T ) , определяющие концы допустимых кривых, удовлетворяют граничным условиям:(t 0 , x 0 )  0 ,(T , xT )  0 ,(1)где (t , x ) , (t , x ) – заданные непрерывно дифференцируемые функции.На множестве M задан функционалI x (t ) TF (t , x (t ), x (t )) dt ,(2)t0где функция F (t , x, x ) имеет непрерывные частные производные до второго порядкавключительно по всем переменным.Среди допустимых кривых x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x * (t ) , на которой функционал (2) достигает экстремума , т.е.I  x * (t )   extrx ( t )MT F (t , x(t ), x(t )) dt .(*)t0З а м е ч а н и я.1.

Условия (1) определяют подвижные границы (рис. 1). Таким образом, экстремумв поставленной задаче ищется в классе гладких кривых, концы которых скользят по двум1заданным линиям, описываемым уравнениями(T , xT )  0 (для правого конца).(t 0 , x 0 )  0(для левого конца),x(T , xT )  0(t 0 , x 0 )  0x  (t )x * (T  )x * (t 0 )t 00TtРис. 1Можно выделить следующие частные случаи общей постановки задачи.А. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым,описываемым уравнениями: t  t 0 , t  T (рис.

2).xt  t0t Tx  (t )0t0TtРис. 2Б. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым, описываемымуравнениями2x  (t ) ,x  (t ) .Рисунок аналогичен рис. 1.В рамках рассматриваемого частного случая выделим задачу, в которой заданныекривые являются прямыми линиями, параллельными оси абсцисс: x  x 0 , x  xT (рис.3).xx  x0x0x  (t )Tt 00tx  xTxTРис. 32. В поставленной задаче наряду с поиском кривой x * (t ) фактически производитсявыбор значений t 0 * и T * (см.

рис. 2 и рис. 3), т.е. ищется тройка ( x * (t ), t 0 * ,T * ). Приэтом ее  -окрестность первого порядка (   0 ) образуется тройками ( x (t ), t 0 ,T ), удовлетворяющими условиюx (t )  x * (t )C 1()t 0  t 0 *  , ,T T *   .Функционал (2) точнее записывается в формеI x (t ), t 0 ,T  TF (t , x (t ), x (t )) dt .t0Функционал достигает на тройке ( x * (t ), t 0 * ,T * ) слабого минимума, еслиI x (t ), t 0 ,T   I x * (t ), t 0 * ,T *в  -окрестности первого порядка.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 6 (необходимые условия экстремума функционала в задаче (*)).Если на функции x * (t ) C 1 () , удовлетворяющей граничным условиям(t 0 , x 0 )  0, (T , xT )  0 , функционал (2) достигает слабого экстремума, то онаудовлетворяет:3dF   0;dt xа) уравнению Эйлера F x б) условиям трансверсальности: *  t0 * *,()txt0t 0x F xFxt**T , x (Tt T *t  t 0**T )xt0* , x * (t0* )T * , x * (T * )  xT  [F  x  F x  ]t T *  x 0  [F  x  F x  ]t  t0 * x0  0 , xT  0 , T  0 , t 0  0 .З а м е ч а н и я.1.

Если один из концов допустимых кривых закреплен, то условия трансверсальности для этого конца не выписываются.2. Если рассматривается задача, в которой концы кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым t  t 0 , t  T (см. рис.2), поскольку t 0 и T заданы, то вариации t 0  0 , T  0 . Следовательно, условия трансверсальности имеют видFxt T * 0,Fxt  t0 * 0.3. Если концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым x  (t ) иx  (t ) , то условия трансверсальности можно записать в виде[F  (  x  )F x  ]t T *[F  (   x  )F x  ]t  t0 * 0, 0.Если рассматривается случай задания кривых в видеx  x 0  (t )  const ,x  xT  (t )  const ,то (t )  0,  (t )  0 , а условия упрощаются:[F  x  F x  ]4t T * 0,[F  x  F x  ]t  t 0* 0.4.

Если условия (t 0 , x 0 )  0 , (T , xT )  0 , отсутствуют, то вариации xT , T , x 0 , t 0 произвольны. ТогдаFxt T *Fxt  t0 * 0,[F  x  F x  ]t T * 0,[F  x  F x  ]t  t 0* 0, 0.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (*)1. Записать уравнение ЭйлераFx dF   0.dt x2. Найти общее решение уравнения Эйлера: x  x (t ,C1 ,C 2 ) .3. Записать условия трансверсальности и граничные условия (t 0 , x 0 )  0 ,(T , xT )  0 . В частных случаях граничных условий выбрать требуемое условие трансверсальности.4.

Определить C1 ,C 2 ,t 0 * ,T * и получить уравнение экстремали x * (t ) .T2.2.2. ФункционалыF (t , x (t ), x (t ))dt , зависящие от одной функции.t0Случай негладких экстремалейПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям (рис. 4) :а) функции x (t ) определены и непрерывны на отрезке [t 0 ,T ] , где t 0 и T заданы;б) функции x (t ) удовлетворяют граничным условиям:x (t 0 )  x 0 , x (T )  xT ,где x 0 , xT заданы, т.е. проходят через две закрепленные граничные точки А и В ;в) функции x (t ) являются кусочно-гладкими, причем непрерывностьпроизводной может нарушаться в некоторой заранее неизвестной точке t1 (точке излома).

Функции x (t ) образуются двумя гладкими функциями x AC (t ) и xCB (t ) , имеющими общуюточку C , т.е. x AC (t )  C 1 ([t 0 , t1 )) и xCB (t )  C 1 ((t1 ,T ]) .На множестве M задан функционал5TI [ x (t )] F (t , x (t ), x (t )) dt ,t0где функция F (t , x, x ) имеет непрерывные частные производные до второго порядкавключительно по всем переменным.xCxCB (t )x AC (t )BxTx0At00t1TtРис.

4Среди допустимых кривых x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x * (t ) , на которой функционал достигает экстремума , т.е.*TI x (t )  extrx (t ) MF (t , x (t ), x (t )) dt .(*)t0З а м е ч а н и я.1. Могут рассматриваться задачи, в которых несколько точек излома.2. Доказано, что в задаче поиска экстремума функционала излом возможен в точке,где F x x   0 .3. Во многих практических задачах требование непрерывности производной является неестественным, так как решение достигается на экстремалях, имеющих точки излома.

Поэтому рассматриваемая здесь задача актуальна.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 7 (необходимые условия экстремума в задаче (*)).Если на непрерывной функции x * (t ) , непрерывно дифференцируемой на промежутках [t 0 , t1 ) и (t1 ,T ] , где t1 – точка излома производной, и удовлетворяющей граничным условиям x * (t 0 )  x 0 , x * (T )  xT , функционал достигает экстремума, то онаудовлетворяет:а) уравнению Эйлера на каждом из промежутков [t 0 , t1 ) и (t1 ,T ] ;6б) условиям Вейерштрасса–ЭрдманаFx[ F  x  Fx ]t  t1  0t  t1  0 Fxt  t1  0, [ F  x  Fx ]t  t1  0.АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (*)1.

Выписать условия Вейерштрасса–Эрдмана. Если из них следует условие непрерывности первой производной x (t1  0)  x (t1  0) , воспользоваться алгоритмом нахождения гладких экстремалей.2. Записать уравнение Эйлера и найти его общее решение на промежутках [t 0 , t1 )и (t1 ,T ] : x AC (t )  x AC (t ,C1 ,C 2 ), xCB (t )  xCB (t ,C 3 ,C 4 ) .3. Определить C1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 , t1 из граничных условий x (t 0 )  x 0 , x (T )  xT , условия непрерывности x AC (t1 )  xCB (t1 ) и условий Вейерштрасса–Эрдмана.

В результатеполучить экстремаль x * (t ) .Пример. Найти экстремаль функционала4I [ x (t )] x  2 (t )  [ x (t )  2]2 dt ,0удовлетворяющую граничным условиям x (0)  0 , x (4)  4 . 1. Запишем условия Вейерштрасса–Эрдмана:Fxt  t1  0F  x F x t  t1  0 2 x ( x   2)(2 x   2)t  t1  0 2 x ( x   2)(2 x   2)t  t1  0 Fxt  t1  0 x  2 ( x   2)(2  3 x ) t  t1  0  x  2 ( x   2)(2  3x ) t  t1  0  F  x F x ,t  t1  0.Отсюда следуют варианты одновременного выполнения записанных условий:а) x (t1  0)  x (t1  0) ;б) x (t1  0)  0 , x (t1  0)  2 ;в) x (t1  0)  2 , x (t1  0)  0 .Вариант «a» соответствует случаю поиска гладких экстремалей. Так как подынтегральная функция не зависит от x и t явно, то общее решение уравнения Эйлера имеетвид x (t )  C1 t  C 2 .

Из граничных условий x (0)  C 2  0 , x (4)  4 C1  C 2  4 находим C1  1 , C 2  0 и экстремаль x * (t )  t .2. Решение уравнения Эйлера на промежутках [0 , t1 ) и (t1 , 4] имеет вид7x AC (t )  C1 t  C 2 ,xCB (t )  C 3 t  C 4 .3. Определим C1 , C 2 , C 3 , C 4 , t1 из граничных условий:x AC (0)  C 2  0 ,x CB (4)  4 C 3  C 4  4 ,из условия непрерывности:x AC (t1 )  C1  t1  C 2  C 3  t1  C 4  xCB (t1 ) ,и из условий Вейерштрасса–Эрдмана (см.п.1).Варианту «б» соответствуют условия:x (t1  0)  x AC (t1  0)  C1  0 , (t1  0)  C 3  2 .x (t1  0)  xCBТогда получаем C 4  4  4 C 3   4 , C 3 t1  C 4  0 , t1  2 .

В результате получена экс(t )  2t  4 при t  [2; 4] .тремаль x AC (t )  0 при t  [0; 2] , xCBВарианту «в» соответствуют условия:x (t1  0)  x AC (t1  0)  C1  2 , (t1  0)  C 3  0 .x  (t1  0)  xCBТогда получаем C 4  4  4C 3  4 , 2t1  C 4 , t1  2 . В результате получена экстремальx AC (t )  2t при t  [0; 2] , xCB(t )  4 при t  [2; 4] (см. рис. 5).xCB4A0C24tРис. 5Таким образом, в поставленной задаче имеются три экстремали: одна гладкая и две– негладкие.

На негладких экстремалях I x * (t )  0 , а на гладкой I  4 (очевидно, наней минимум не достигается).8T2.2.3. Функционалы F t, x1 t ,  , x n t , x1 t ,  , x n t  dt  G T , x1 T ,  , x n T  ,t0зависящие от нескольких функцийПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых вектор-функций xt   x1t ,, xn t T ,удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i t  , i  1,..., n , непрерывно дифференцируемы, т.е. x i t   C 1   , где – некоторый конечный отрезок, значение t 0   задано, а значение T не задано и является внутренней точкой  ;б) левый конец кривых закреплен, т.е. x t 0   x 0  x10 ,..., x n0 T , где x i 0 ,i  1,..., n , заданы; правый конец удовлетворяет граничным условиям: j T , x1T ,..., x nT   0 , j  1,..., p ,p  n 1,где x iT  x i T  ;  j t , x1 ,..., x n  , j  1,..., p , – заданные непрерывно дифференцируемыефункции.На множестве M задан функционалI x1 t ,..., x n t  T F t , x1 t ,..., x n t , x1 t ,..., x n t  dt  G T , x1 T ,..., x n T  ,t0где функция F t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n  имеет непрерывные производные до второго порядка включительно по всем переменным, а функция G t , x1 ,..., x n  непрерывно дифференцируема по всем переменным.Среди всех вектор-функций, принадлежащих множеству M , требуется найти век-Tтор-функцию x * t   x1* t ,..., x n* t  , на которой достигается экстремум функционала,т.е.T**I x1 t ,..., x n t   extr   F t, x1 t ,..., x n t , x1 t ,..., x n t  dt  G T , x1 T ,..., x n T   .