8. Задачи вариационного исчисления (8 практических занятий с сайта кафеды 805)

Семинар 8.ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА.МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИTФункционалы F t, x (t ), x (t ) dt , зависящие от одной функцииt0ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям:a) функции x (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезкеt 0 ,T , где t 0 и Tзаданы, т.е.

x (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) ;б) функции x (t ) удовлетворяют граничным условиямx t 0   x 0 ,x (T )  xT ,(1)где значения x 0 , xT заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничныеточки.На множестве M задан функционалTI [ x (t )]  F t, x (t ), x (t ) dt ,(2)t0где подынтегральная функция F (t , x, x  ) имеет непрерывные частные производные довторого порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых кривых x t  , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x  t  , на которой функционал (2) достигает экстремума, т.е.I [ x * (t )]  extrx (t ) MT F t, x (t ), x (t ) dt .(3)t0Так как на кривые x t  , образующие множество M , не наложено дополнительныхусловий, кроме граничных, задача (3) называется задачей поиска безусловного экстремума. Этому классу задач посвящена вторая глава.

В третьей главе рассматриваются задачи поиска условного экстремума, когда на искомые функции кроме граничных условий накладываются дополнительные конечные, интегральные или дифференциальныеусловия.АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (3)1. Найти Fx , Fx  ,dF  и записать уравнение Эйлераdt x1Fx dF   0.dt x2. Найти общее решение уравнения Эйлера x  x t ,C1 ,C 2  , где C1 и C 2 –произвольные постоянные.3.

Определить постоянные C1 и C 2 из граничных условий, решая системуx t 0 ,C1 ,C 2   x 0 ,x T ,C1 ,C 2   xT .В результате получить экстремаль x * t  , на которой может достигаться экстремумфункционала.З а м е ч а н и е.1. Уравнение Эйлера можно записать в развернутой формеF x  F x t  F x x  x   F x x   x   0и при F x x   0 представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение x  x t ,C1 ,C 2  зависит от двух произвольных постоянных C1 и C 2 и определяет двухпараметрическое семейство экстремалей.

Дваграничных условия x t 0   x 0 и x T   xT позволяют найти постоянные C1 и C 2 и,как следствие, кривую x * t  , на которой может достигаться экстремум функционала. Чтобы выяснить, достигается ли на экстремали экстремум функционала, а еслида, то какой (минимум или максимум), следует использовать достаточные условия.2.

Уравнение Эйлера интегрируется в квадратурах лишь в исключительныхслучаях. Приведем некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.Первый случай. Функция F t , x, x  не зависит от x явно: F t , x, x   F t , x  .dF   0 и, следовательно,Уравнение Эйлера принимает видdt xF x   C1 .Соотношение называется первым интегралом уравнения Эйлера.x явно:Второй случай. Функция F t , x, x  не зависит от tиF t , x, x   F x  . Уравнение Эйлера записывается в форме F x x   x   0 . Его общеерешение имеет видx t   C1 t  C 2 ,так как x   0 , а условие F x x   0 дает обыкновенное дифференциальное уравнениепервого порядка. Если уравнение F   (x )  0 имеет один или несколько действительxxных корней вида x   ki , то получаем однопараметрические семейства прямыхx (t )  ki t  C , содержащиеся в двухпараметрическом семействе.2Третий случай.

Функция F t , x, x  не зависит от tи x  явно:F t , x, x   F x  или не зависит от x  явно: F t , x, x   F t , x  . Задача (3) в общемслучае решения не имеет, так как уравнение Эйлера принимает видFx  0и не является дифференциальным, т.е. его решение не содержит элементов произвола и поэтому не удовлетворяет граничным условиям.

Однако, если решение уравнения F x  0 проходит через граничные точки t 0 , x 0  и T , xT  , экстремаль существует.Четвертый случай. Подынтегральная функция имеет видF t , x, x   P t , x   Q t , x  x  .Уравнение Эйлера записывается в форме P Q 0.xtЭто уравнение не является дифференциальным. Если его решение удовлетворяет гра P Qничным условиям, то экстремаль существует. Если, то под знаком интеxtграла (2) находится полный дифференциал и, следовательно, величина интегралане зависит от пути интегрирования, а вариационная задача теряет смысл.Пятый случай.

Функция F t , x, x  не зависит от t явно: F t , x, x   F x, x .Уравнение Эйлера имеет первый интегралF  x  F x   C1 .Заметим, что часто непосредственное применение уравнения Эйлера оказывается проще использования первых интегралов.Пример 1. Найти экстремаль функционалаI x t  22  x t   x  t  dt ,10удовлетворяющую граничным условиям x 0   0 , x 1  1 . 1. Запишем уравнение Эйлера.

Так как F  x 2  x  2 , F x  2 x , F x   2 x  ,dF    2 x  , получаем 2 x  2 x   0 или x   x  0 .dt x2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Оно является однородным с постоянными коэффициентами, поэтому составим характеристическое уравнение2  1  0 .

Его корни 1  1 ,  2  1 – действительные разные. Общее решение однородного уравнения имеет видx t   C1e 1t  C 2e 2t  C1e t  C 2e t .3. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:3x 0   C1  C 2  0,x 1  C1e  C 2Отсюдаx * t  e2e 1C1 et e2e 1e1e2C2 ,e1  e2.1 1.eВрезультатеполучаемэкстремальe t .Пример 2.

Найти экстремаль функционалаI x t  12t x t   x  t  dt ,021удовлетворяющую граничным условиям x  1  1 , x 0   0 .F x 1. Составим уравнение Эйлера (9). Так как F  12t x  x  2 ,dF    2 x  , получаем 12t   2 x   0 или x    6t . 2 x  ,dt xx1x1x * (t )  t 310F x  12t ,x * (t )  cos tt20Рис. 1Рис. 22. Найдем общее решение уравнения Эйлера, интегрируя дваждыправые части уравнения x    6t : x   3t 2  C1 , x t    t 3  C1t  C 2 .3. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x  1  1  C1  C 2  1,x 0   C 2  0.Отсюда C1  C 2  0 .

В результате получаем экстремаль x * t    t 3 (рис.1) .Пример 3. Найти экстремаль функционалаI x t  22  x  t   x t  dt ,20удовлетворяющую граничным условиям x 0   1 , x    0 .2 Решим задачу двумя способами.4tлевую иПервый способ.1. Составим уравнение Эйлера. Так как F  x  2  x 2 , F x  2 x , F x   2 x  ,dF    2 x  , получаем  2x  2 x   0 или x   x  0 .dt x2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Поскольку оно является однородным с постоянными коэффициентами, то составим характеристическое уравнение2  1  0 . Его корни x1,2     i   i – комплексные разные   0,   1 . Поэтомуобщее решение однородного уравнения имеет видx t   e t C1 cos  t  C 2 sin  t   C1 cos t  C 2 sin t .3.

Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x 0   C1  1,x    C 2  0.2Отсюда получаем экстремаль x * t   cos t (рис. 2).Второй способ.1. Заметим, что подынтегральная функция F  x  2  x 2 не зависит явно от t ,следовательно, соответствует пятому случаю интегрируемости. Уравнение Эйлераимеет первый интеграл:F  x F x   x  2  x 2  x   2 x   C1 или x  2  x 2   C1  C 2 .2.

Найдем общее решение дифференциального уравнения. Сделаем замену переdx2 . Отсюда x 2  C 2   2 и x  C 2  2 , dx  d . Номенной: x  22dt2 C dt dxd. Проинтегрировав обе части, получим t   arcsin  C 2 .CC 2  2arcsin C2  t ,Cx (t )  C 2   2 Эйлера. sin C 2  t  ,C  C sin C 2  t  .ТогдаПоэтомуC 2  C 2 sin 2 C 2  t   C cos C 2  t  – общее решение уравнения3.

Определим постоянные C и C 2 из граничных условий:x 0   C cos C 2  1,x    C cos C 2    C sin C 2  0 .22Отсюда C  1 , C 2  0 . В результате получена экстремаль x * t   cos t . Заметим,что в данной задаче непосредственное применение уравнения Эйлера приводит кболее простому дифференциальному уравнению.5Пример 4. Найти экстремаль функционала2  4 x t   x  t   12t x t  dt ,1I x t  0удовлетворяющую граничным условиям x 0   1 , x 1  4 .Запишем уравнение Эйлера. Так как F  4 x  x  2  12t x  , F x  4 ,dF    2 x   12 , то 4  2 x   12  0 или x   4 .F x   2 x   12t ,dt x2.

Найдем общее решение уравнения Эйлера, интегрируя последовательно обечасти: x t   4 t  C1 , x t   2 t 2  C1t  C 2 .3. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий: 1.x 0   C 2  1 ,x 1  2  C1  C 2  4.Отсюда C1  1, C 2  1 . В результате находим экстремаль x * t   2t 2  t  1 .Пример 5.

Найти экстремаль функционалаI x t  ln 2 x2t   2 x 2 t   2 x t   e  t dt ,0удовлетворяющую граничным условиям x 0   x ln 2   0 . 1.F x  4 x  2  e t , F x уравнениеЭйлера.Так как F  x  2  2 x 2  2 x e t ,dF x    2 x  e  t  2 x  e  t , то получаем 2 x  e t ,dtЗапишем4 x  2  e t 2 x  e t  2 x  e t  0 или x   x   2 x  1 .2. Найдем общее решение уравнения Эйлера:а) определим общее решение однородного уравнения x   x   2 x  0 . Корнихарактеристического уравнения 2    2  0 – действительные разные: 1  2 , 2  1 , поэтому x 0 t   C1e 2t  C 2e t ;б) подберем частное решение неоднородного уравнения в видеx ч t   A .1;2в) найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму результатов1пп.

«а» и «б» : x t   C1e 2t  C 2e t  .23. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:Подставляя в уравнение, получаем  2 A  1 или A  x 0   C1  C 2 x ln 2   C1e61 0,212 ln 2 C 2e ln 2ln1111  C1e ln 4  C 2e 2   4 C1  C 2   0 .222213,C2 и,следовательно, получаем1471 2t 3 t 1x * t  e  e  .1472Пример 6.

Найти экстремаль функционалаОтсюдаC1 I x t  экстремаль22t  x t   x  t   2x t  e dt ,10удовлетворяющую граничным условиям x 0   0 , x 1  0 .Fx 1. Запишем уравнение Эйлера. Так как F  x 2  x  2  2 x e t , F x  2 x  2e t ,dF    2 x  , то получаем 2x  ,dt x2 x  2e t  2 x   0 или x   x  e t .2. Найдем общее решение уравнения Эйлера:а) определим общее решение однородного уравнения x   x  0 .Корни характеристического уравнения 2  1  0 действительные разные: 1  1 , 2  1 . Поэтому x 0 t   C1e 1t  C 2e 2t  C1e t  C 2e t ;б) подберем частное решение неоднородного уравнения в виде x ч t   A t e t ,где A – неизвестный параметр.