8. Задачи вариационного исчисления (8 практических занятий с сайта кафеды 805), страница 3

Если один из концов допустимых кривых закреплен, то условия трансверсальности для этого конца не выписываются.2. Если рассматривается задача, в которой концы кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым t  t 0 , t  T (см. рис.2), поскольку t 0 и T заданы, то вариации t 0  0 , T  0 . Следовательно, условия трансверсальности имеют видF xt T * 0,Fxt  t0* 0.3. Если концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым x  (t ) иx  (t ) , то условия трансверсальности можно записать в виде[F  (  x  )F x  ]t T *[F  (   x  )F x  ]t  t0 * 0, 0.Если рассматривается случай задания кривых в видеx  x 0  (t )  const ,x  xT  (t )  const ,то (t )  0,  (t )  0 , а условия упрощаются:[F  x  F x  ]t T * 0,[F  x  F x  ]t  t 0* 0.4.

Если условия (t 0 , x 0 )  0 , (T , xT )  0 , отсутствуют, то вариации xT , T , x 0 , t 0 произвольны. Тогда16Fxt T *F xt  t0 * 0,[F  x  F x  ]t T * 0,[F  x  F x  ]t  t 0* 0, 0.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (*)1. Записать уравнение ЭйлераFx dF   0.dt x2. Найти общее решение уравнения Эйлера: x  x (t ,C1 ,C 2 ) .3. Записать условия трансверсальности и граничные условия (t 0 , x 0 )  0 ,(T , xT )  0 . В частных случаях граничных условий выбрать требуемое условие трансверсальности.4. Определить C1 ,C 2 ,t 0 * ,T * и получить уравнение экстремали x * (t ) .Пример 1. Найти кривую, на которой функционал2I [ x (t )] [ 2t  x (t )  x (t ) x (t )  x  2 (t ) ] dt0может достигать экстремума, если левый конец ее фиксирован в точке A(0,0) ,лежит на прямой t  T  2 (рис.

2.12).а правый 1. Составим уравнение Эйлера. Так какF  2t  x  x  x   x  2 ,F x  2t  x  ,F x   x  2 x ,dF   x   2 x  ,dt xуравнение Эйлера имеет вид2t  x   x   2 x   0 илиx   t .2. Последовательно интегрируя, найдем общее решение уравнения Эйлера:t2x (t )  C1 ,2t3x (t )  C1 t  C 2 .63. Поскольку правый конец допустимых кривых скользит по вертикальной прямойt  2 , то запишем условия трансверсальности на правом конце и граничные условия налевом конце:x (0)  0 ,FxT 2 x  2x T 2 x (2)  2 x (2)  0 .4.

Найдем постоянные C1 , C 2 :17x (0)  C 2  0 ,x (2)  2 x (2) 8 2 C1  C 2  4  2 C1  0 .64Отсюда C 2  0 , C1   . В результате получаем экстремаль3рис. 4). t 2t3 4tx (t ) 63*(см.t 0xx10A1,52tx  (t )0,5014x  (t )1B t43Рис. 4Рис. 5Пример 2 (можно опустить). Найти кривую, на которой функционал1I [ x (t )]  [ x2(t )  x (t ) ] dt0может достигать экстремума, если правый конец ее фиксирован в точке B (1,0) , а левыйлежит на прямой t  0 (рис. 5). 1. Записываем уравнение Эйлера. Так какF  x  2  x,F x  1 , F x   2 x ,dF   2 x  , тоdt x1  2 x   0 .2. Найдем общее решение уравнения Эйлера:x (t ) 1,2x (t ) 1t  C1 ,2x (t ) 1 2t  C1t  C 2 .43.

Поскольку левый конец допустимых кривых скользит по вертикальной прямойt  0 , то записываем условие трансверсальности на левом конце и граничное условие направом конце:Fx18t 0 2 x (0)  0 ,x (1)  0 .4. Найдем постоянные C1 и C 2 :x (0)  C1  0 ,1 C1  C 2  0 .4x (1) Отсюда C1  0 , C 2   14 . В результате получаем экстремаль x * (t ) 1 2(t  1) (см.

рис.45). Пример 3. Среди всех гладких кривых, соединяющих точку A(0,0)x  1 , найти кривую, на которой функционалTI [ x (t )]  [ t  x (t )  x 2с прямой(t ) ] dt0может достигать экстремума (рис. 2.14). 1. Запишем уравнение Эйлера. Так какdF  t  x   x  2 , F x  0 , F x   t  2 x ,F   1  2 x  ,dt xуравнение Эйлера имеет вид 1  2 x   0 .2.

Найдем общее решение уравнения Эйлера:1x (t )   ,2tx (t )    C1 ,2t2x (t )   C1t  C 2 .43. Так как правый конец допустимых кривых лежит на прямой x  (t )  1 , параллельной оси абсцисс, запишем условие трансверсальности на правом конце и граничныеусловия:F  x  Fxt T t  x   x  2  x   (t  2 x  )x (0)  0 ,t T x  2t T 0 илиx (T )  0 ,x (T )  (T )  1 .4. Найдем C1 , C 2 ,T * :x (T )  x (0)  C 2  0 ,T C1  0 ,2x (T )  T2 C1T  C 2  1 .4T T2Отсюда C1  , 1 , C 2  0 или T  2, C1  1, C 2  0 .

Таким образом,42t2t2**получены две экстремали x1 (t )    t , x 2 (t )    t (см. рис. 6).4419xx  (t )  11x 2 (t )x1 (t )2A 02tРис. 6Пример 4. Найти кривую, на которой функционалTI [ x (t )] x  3 (t ) dt0может достигать экстремума, если ее левый конец фиксирован в точке A(0,0) , а правыйнаходится на прямой x (T )  1  T (рис. 7). 1,2. Так как подынтегральная функция F  x  3 не зависит от t и x явно (второй случай интегрируемости), уравнение Эйлера имеет следующее общее решение:x (t )  C1 t  C 2 .3. Поскольку правый конец лежит на кривой с уравнением x  (t )  1  t , запишем условие трансверсальности:F  (  x  )F x t T x  3  (1  x )  3x  2x (T )  0,t T x  2  [ 2x   3 ]x (T )  t T32и граничные условия:x (0)  0,x (T )  1  T .4. Найдем C1 , C 2 ,T  из двух систем:x (0)  C 2  0 ,x (T )  C1  0 ,x (T )  C1T  C 2  1  T .20x (0)  C 2  0 ,x (T )  C1  3,2x (T )  C1T  C 2  1  T . 0 илиИз первой системы находимC1  C 2  0 , T *  1 , а из второйC 2  0, T *  2 .

В результате получены две экстремали: x1* (t )  0,C1  x 2 * (t )  3,23t (см.2рис. 7), на которых может достигаться экстремум функционала.x31x 2 (t )x (t )  1  t  (t )A20x1 (t ) 1tРис. 7Пример 5. Найти кривую, на которой функционалTI [ x (t )] 1  x  2 (t ) dtt0может достигать экстремума, если ее левый конец лежит на кривой x (t )  (t )  t 2  2 , аправый конец – на кривой x (t )  (t )  t . 1,2.

Так как подынтегральная функция F x , уравнение Эйлера имеет общее решение:1  x  2 не зависит явноот t иx (t )  C1 t  C 2 .3. Выпишем условия трансверсальности и граничные условия:F  (   x  )F x t  t0F  (  x  F x  )t T 1  x  2  (2t  x  ) 1  x  2  (1  x  )x1 x2x1  x2t  t0t T 0, 0,x (t 0 )  C1t 0  C 2  (t 0 )  t 0 2  2 ,x (T )  C1T  C 2  (T )  T .214. Найдем C1 ,C 2 , t 0 * ,T * , упростив систему, записанную в п.3 :1  2 t 0 x (t 0 )  1  2 t 0 C1  0 ,1  x (T )  1  C1  0 ,C1 t 0  C 2  t 0 2  2 ,C1T  C 2  T .Отсюдаt0* C1   1,тремаль x * (t )   t 1,2C2 11,411. В результате получаем экс8T* 11.4xx (t )  t 2  2  (t )x (t )  (t )  tx * (t )20t0T*2tРис. 8Геометрический смысл примера состоит в нахождении гладкой кривой минимальной длины, соединяющей две заданные кривые (рис.8).

Она определяется величинойфункционала I [ x * (t )] 11812221  (1) 2 dt 7 2.8.